高考数学立体几何向量法总结课堂

1、1,向量方法部分,学海无涯,2,空间,向量,空间,向量,的运,算,空间,向量,基本,定理,空间,向量,的坐,标运,算,加减,和数,乘运,算,共线,向量,共面,向量,空间,向量,的数,量积,知识结构,夹角和距离,平行和垂直,学海无涯,3,1,空间直角坐标系,以单位正方体,的顶点,O,为原点，分别以射线,OA,OC,的方向,为正方,向，以线段,OA,OC,的,长为单位长，建立三条数轴,x,轴,y,轴,z,轴,这时我们建立了一,个,空间直角坐标系,C,B,A,D,OABC,xyz,O,D,O,D,O,C,D,B,A,C,O,A,B,y,z,x,O,为坐标原点,x,轴,y,轴,z,轴叫坐标轴，通过每两

2、个坐,标轴的平面叫坐标平面,一、基本概念,学海无涯,4,x,o,右手直角坐标系,y,z,空间直角坐标系,Oxyz,横轴,纵轴,竖轴,1,1,1,学海无涯,5,2,空间直角坐标系中点的坐标,有序实数组,x,y,z,叫做点,M,在此,空间,直角坐标系中的坐标,记作,M,x,y,z,其中,x,叫做点,M,的横坐标,y,叫做点,M,的,纵坐标,z,叫做点,M,的竖坐标,点,M,X,Y,Z,学海无涯,6,如果表示向量,n,的有向线段所在的直线垂,直于平面,称这个向量垂直于平面,记作,n,这时向量,n,叫做平面,的法向量,4,平面的法向量,n,ur,若,则,称,是,直,线,的,方,向,向,量,a,l,al

3、,r,r,r,3,直线的方向向量,学海无涯,7,1,假设平面法向量的坐标为,n=(x,y,z,2,根据,n,a = 0,且,n,b = 0,可列出方程组,1,1,1,2,2,2,0,0,x,x,y,y,z,z,x,x,y,y,z,z,3,取某一个变量为常数,当然取得越简单越好,便得到平面法向量,n,的坐标,a,n,b,5,平面法向量的求法,设,a=( x,1,y,1,z,1,b=(x,2,y,2,z,2,是平面,内的两个不共线,的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若,n,a,且,n,b,则,n,换句话说,若,n,a = 0,且,n,b = 0,则,n,可按如下步骤求出平面的法向量的坐标,

4、学海无涯,8,例、已知,A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1,求平,面,ABC,的法向量,4,6,1,4,3,2,A,B,A,C,u,u,u,r,u,u,u,r,4,6,0,4,3,2,0,x,y,z,x,y,z,解：平面,ABC,的法向量为,3,4,1,2,n,r,得,4,3,z,x,z,y,得,12,z,令,3,4,1,2,A,B,C,n,r,平,面,的,法,向,量,n,xyz,r,学海无涯,9,例、在棱长为,2,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,O,是面,AC,的中心,求面,OA,1,D,1,的法向量,解：以,A,为原点建立空间直角坐标系,O-xy

5、z,如图,则,O,1,1,0,A,1,0,0,2,D,1,0,2,2,设平面,OA,1,D,1,的法向量的法向量为,n=(x,y,z,由,1,1,2,1,1,2,得,1,O,A,uuur,1,O,D,uuuu,r,2,0,2,0,x,y,z,x,y,z,2,0,x,z,y,解得,取,z =1,得平面,OA,1,D,1,的法向,量的坐标,n=(2,0,1,A,B,O,z,y,A1,C1,B1,A,x,C,D,D1,学海无涯,10,5,两法向量所成的角与二面角的关系,l,1,n,2,n,l,1,n,2,n,设,n,1,n,2,分别是二面角两个半平面,的法向量,由几何知识可知，二面角,L,的大小与法

6、向量,n,1,n,2,夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为,求两个平面法向量的夹角,学海无涯,11,二、基本公式,1,两点间的距离公式（线段的长度,2,2,2,2,1,2,1,21,A,B,A,B,x,x,y,y,z,z,u,u,u,r,2,向量的长度公式（向量的模,2,2,2,2,a,a,x,y,z,r,r,学海无涯,12,1,2,1,2,1,2,a,b,x,xy,yz,z,r,r,3,向量的坐标运算公式,1,1,1,2,2,2,a,x,y,z,b,x,y,z,r,r,若,那,么,121,2,12,a,b,x,x,y,y,z,z,r,r,1,1,1,a,x,y,z,r,学海无涯,13,

7、1,2,1,2,12,r,r,a,b,x,x,y,y,z,z,R,1,1,1,2,2,2,x,y,z,a,b,x,y,z,r,r,4,两个向量平行的条件,5,两个向量垂直的条件,1,2,1,2,1,2,0,r,r,a,b,x,x,y,y,z,z,或,学海无涯,14,1,2,3,1,2,3,1,2,3,3,3,3,x,x,x,x,y,y,y,y,z,z,z,z,7,重心坐标公式,6,中点坐标公式,1,2,1,2,1,2,2,2,2,x,x,x,y,y,y,z,z,z,学海无涯,15,9,直线与平面所成角公式,s,in,P,M,n,P,M,n,u,u,u,u,u,r,u,r,u,u,u,u,u,r

8、,u,r,PM,l,M,n,r,为,的法向量,8,直线与直线所成角公式,c,o,s,A,B,C,D,A,B,C,D,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,10,平面与平面所成角公式,1,2,1,2,c,o,s,n,n,n,n,u,r,u,u,r,u,r,u,u,r,为二面角两个半平面的法向量,1,n,u,r,2,n,u,u,r,学海无涯,16,11,点到平面的距离公式,PM,n,d,n,u,u,u,u,r,r,r,PM,为平面,的斜线,为平面,的法向量,n,r,12,异面直线的距离公式,AB,n,d,n,uuu,r,r,r,A,B,为异面直线上两点,为公垂线的方向向量

9、,n,r,学海无涯,17,利,用,向,量,求,角,直线与直线所成的角,直线与平面所成的角,平面与平面所成的角（二面角,利,用,向,量,求,距,离,点到直线的距离,点到平面的距离,直线到平面的距离,平行到平面的距离,直线到直线的距离,三、基本应用,学海无涯,18,利,用,向,量,证,平,行,利,用,向,量,证,垂,直,直线与直线垂直,直线与平面垂直,平面与平面垂直,直线与直线平行,直线与平面平行,平面与平面平行,学海无涯,19,设直线,l,m,的方向向量分别为,a,b,r,r,平面,l,m,a,r,b,r,a,b,r,r,线面平行,u,r,v,r,u,v,r,r,线线平行,l,a,r,u,r,0

10、,a,u,r,r,面面平行,的法向量分别为,u,v,r,r,则,四、基本方法,1,平行问题,学海无涯,20,的法向量分别为,u,v,r,r,则,设直线,l,m,的方向向量分别为,a,b,r,r,平面,线线垂直,线面垂直,u,v,0,v,u,l,m,a,r,b,r,0,a,b,r,r,l,a,r,u,r,a,u,r,r,面面垂直,垂直问题,学海无涯,21,设直线,l,m,的方向向量分别为,a,b,r,r,平面,两直线,l,m,所成的角为,0,2,cos,a,b,a,b,r,r,r,r,直线,l,与平面,所成的角为,0,2,sin,a,u,a,u,r,r,r,r,平面,与平面,所成的角为,0,u,

11、v,u,v,cos,r,r,r,r,的法向量分别为,u,v,r,r,则,角度问题,学海无涯,22,距离问题,点到点的距离、点到平面的距离、直线,到直线的距离直接用公式求解,点到直线的距离、直线到平面的距离、平,面到平面的距离转化为点到平面的距离求,解,学海无涯,23,例,0,9,0,R,t,A,B,CB,C,A,A,B,C,中,现,将,沿,着,1,1,1,A,B,C,A,B,C,平,面,的,法,向,量,平,移,到,位,置,已,知,1,1,1,1,1,1,1,取,的,中,点,B,C,C,A,C,C,A,B,A,C,D,F,1,1,B,D,A,F,求,与,所,成,的,角,的,余,弦,值,C,A,1

12、,A,B,1,B,1,C,1,D,1,F,题型一：线线角,五、典型例题,学海无涯,24,A,1,A,B,1,B,C,1,C,1,D,1,F,x,y,z,所以,题型一：线线角,A,1,A,B,1,B,1,C,1,D,1,F,1,0,0,0,1,0,A,B,解：以点,C,为坐标原点建立空间,直角坐标系,如图所示,不妨设,则,1,1,CC,C,xyz,C,1,1,1,1,1,0,1,1,2,2,2,F,D,1,2,1,2,1,1,0,2,1,1,1,D,B,F,A,1,1,1,1,3,0,1,0,A,F,B,D,A,F,B,D,r,r,r,r,1,1,c,o,s,A,F,B,D,u,u,u,r,u,

13、u,u,u,r,所以,与,所成角的余弦值为,1,B,D,1,A,F,3,0,1,0,学海无涯,25,例,在,三,棱,柱,中,底,面,是,正,三,角,形,底,面,求,证,A,B,C,A,B,C,A,A,A,B,C,A,C,A,B,B,C,A,B,2,3,0,0,0,1,0,0,1,0,3,0,0,1,0,1,解,建,立,如,图,空,间,坐,标,系,不,妨,设,底,面,边,长,为,高,为,h,A,B,C,A,h,B,hC,h,A,B,C,B,C,A,2,0,1,3,1,3,h,BC,h,C,A,h,AB,2,2,2,0,3,1,2,0,2,0,A,B,A,C,h,h,A,B,B,C,h,B,CA,

14、B,u,u,u,u,ru,u,u,u,r,u,u,u,u,ru,u,u,u,r,题型二：线线垂直,学海无涯,28,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,例,在正方体,AC,1,中,E,为,DD,1,的中点，求证,DB,1,面,A,1,C,1,E,E,F,题型四：线面平行,1,0,0,2,2,0,2,0,2,2,1,1,E,C,A,AD,xyz,D,则,设,证明：如图建立坐标系,x,y,z,1,1,1,1,2,2,0,2,0,1,1,1,1,A,C,A,E,D,B,u,u,u,u,v,u,u,u,v,u,u,u,u,v,则,的法向,设平面,1,1,z,y,x,n,C,E,A,0,0,1

15、,1,1,n,E,A,n,C,A,0,2,0,2,2,z,x,y,x,即,2,1,1,n,解得,0,2,1,1,1,1,n,B,D,n,B,D,1,1,1,E,C,A,DB,平面,学海无涯,29,例,在,正,方,体,中,E,F,分,别,是,的,中,点,求,证,平,面,A,B,C,D,A,B,C,D,C,C,B,D,A,F,B,D,E,F,E,X,Y,Z,D,A,D,CD,D,x,y,z,A,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,u,r,证,明,如,图,取,分,别,为,轴,轴,轴,建,立,空,间,直,角,坐,标,系,设,正,方,体,的,棱,长,为,2,A,2,0,0,B,2,2,0,2,0

16、,2,E,0,2,1,F,1,1,0,1,1,2,2,2,0,0,2,1,1,1,2,2,2,0,0,1,1,2,0,2,1,0,A,F,D,B,D,E,A,FD,B,A,FD,E,A,F,D,B,A,F,D,E,D,B,D,E,D,A,F,B,D,E,u,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,u,r,u,u,u,r,Q,u,u,u,u,r,u,u,u,r,Q,u,u,u,u,r,u,u,u,ru,u,u,u,r,u,u,u,r,I,又,平,面,题型五：线面垂直,或先求平面,BDE,的法向量,再证明,AF,n,u,u,u,u,v,v,P,n,v,学海无涯,30,题型六：面

17、面角,A,B,C,D,S,0,9,0,1,1,2,例,已,知,是,一,直,角,梯,形,平,面,求,面,与,面,所,成,的,二,面,角,的,余,弦,值,A,B,C,D,A,B,C,S,A,A,B,C,D,S,A,A,B,B,CA,D,S,C,DS,B,A,解,建,立,直,角,坐,系,A,x,y,z,如,所,示,0,2,1,0,D,A,0,0,0,C,1,1,0,0,0,1,S,1,2,1,0,0,2,1,1,D,S,D,C,0,2,1,0,1,D,A,n,SBA,的法向量,易知，面,2,S,C,D,n,x,y,z,u,u,r,的,法,向,量,2,2,n,C,D,n,S,D,u,u,r,u,u,u

18、,r,u,u,r,u,u,u,r,由,得,设平面,0,2,0,2,z,y,y,x,1,2,1,2,n,解得,3,6,cos,2,1,2,1,2,1,n,n,n,n,n,n,6,3,即,所,求,二,面,角,的,余,弦,值,是,x,y,z,学海无涯,31,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1,证,明,如,图,分,别,以,三,边,所,在,的,直,线,为,轴,建,立,空,间,直,角,坐,标,系,设,正,方,体,的,棱,长,为,1,则,则,A,A,即,直,线,A,C,则,A,平,面,同,理,

19、可,证,A,平,面,平,面,A,D,A,D,C,D,D,x,y,z,A,B,C,D,D,B,C,D,B,C,D,B,D,C,B,D,B,C,B,D,B,D,u,u,uu,r,u,u,u,r,u,u,uu,r,u,u,u,r,1,1,平,面,C,B,D,X,Y,Z,1,C,A,B,C,D,1,D,1,B,1,A,例：在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，求证：面,A,1,BD,面,CB,1,D,1,题型七：面面平行,或先求两平面的法向量,再证明,1,2,n,n,v,v,1,2,n,n,v,v,P,学海无涯,32,例、在正方体,AC,1,中,E,F,分别是,BB,1,CD,的中点

20、,求证：面,AED,面,A,1,FD,1,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,E,F,X,Y,Z,题型八：面面垂直,1,1,0,0,0,2,0,0,2,2,1,0,0,2,0,1,0,0,2,1,2,0,0,0,1,2,0,0,1,1,1,1,1,1,证,明,如,图,直,角,坐,标,系,设,正,方,体,的,棱,长,为,2,则,则,A,E,D,F,A,E,D,F,D,F,A,E,D,F,D,F,D,F,平,面,平,面,平,面,u,ur,u,u,ur,u,u,ur,u,ur,u,u,ur,u,u,ur,u,u,ur,u,ur,u,u,ur,u,u,ur,u,u,ur,u,u,ur,D,

21、A,E,D,F,D,A,D,A,D,A,A,E,D,A,F,D,A,E,D,或证明两平面的法向量垂直,学海无涯,33,A,B,C,1,A,1,C,1,B,N,M,z,x,y,练习,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,9,0,2,1,2,c,o,s,3,如,图,直,三,棱,柱,中,棱,分,别,是,的,中,点,求,的,长,的,值,证,明,O,A,B,C,ABC,C,A,C,B,B,C,A,A,A,M,N,AB,A,A,B,N,B,A,C,B,AB,CM,学海无涯,34,x,z,y,A,B,C,D,1,A,1,D,1,C,1,B,E,F,练习,1,1,1,1,1,1,2,4,已,知,长,

22、方,体,中,分,别,是,的,中,点,求,异,面,直,线,所,成,角,的,大,小,A,CA,B,B,C,A,A,E,F,A,D,A,B,B,E,C,F,学海无涯,35,B,A,C,1,A,D,1,C,1,B,1,D,E,F,z,x,y,练习,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1:2,1,2,3,如,图,已,知,正,方,体,中,是,中,点,点,在,上,且,求,平,面,的,法,向,量,直,线,与,平,面,所,成,角,平,面,与,平,面,所,成,角,的,大,小,A,B,C,D,ABCD,E,B,C,F,A,A,AF,F,A,BE,F,B,B,BE,F,BE,F,ABCD,学海无涯

23、,36,A,B,D,C,1,A,1,D,1,C,1,B,x,z,y,练习,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,2,3,O,1,为,直,四,棱,柱,底,面,A,B,C,D,是,直,角,梯,形,D,A,B,A,D,C,9,0,求,异,面,直,线,和,所,成,角,求,和,底,面,B,所,成,角,求,二,面,角,的,大,小,A,B,C,D,A,B,CD,A,D,C,D,a,A,A,A,B,a,A,C,B,C,A,C,B,C,C,C,A,B,A,学海无涯,37,B,M,P,D,C,A,N,z,y,O,练习,2,3,3,1,2,如,图,所,示,已,知,正,方,形,所,在,平,面,点,分

24、,别,在,上,求,证,面,面,若,求,二,面,角,的,大,小,P,A,A,B,C,D,M,N,A,B,P,C,A,M,A,B,P,C,N,C,P,A,D,P,C,D,P,A,A,B,N,D,M,C,学海无涯,38,题型九：异面直线的距离,z,x,y,A,B,C,C,1,4,2,0,0,0,2,0,1,1,0,0,0,1,B,A,E,C,xyz,C,则,解：如图建立坐标系,1,1,1,0,2,2,4,C,E,A,B,u,u,u,r,u,u,u,u,r,则,的公垂线的方向,设,1,z,y,x,n,B,A,E,C,0,0,1,B,A,n,E,C,n,即,0,4,2,2,0,z,y,x,y,x,取,x

25、=1,z,则,y=-1,z=1,所以,1,1,1,n,0,0,1,A,C,A,C,在两直线上各取点,1,2,3,3,n,C,A,C,E,A,B,d,n,r,r,r,r,r,与,的,距,离,E,A,1,B,1,1,1,1,1,0,1,4,2,9,0,例,已,知,直,三,棱,柱,的,侧,棱底,面,中,为,的,中,点,求,与,的,距,离,A,B,C,A,B,C,A,A,A,B,C,A,C,B,C,B,C,A,E,A,B,C,E,A,B,学海无涯,39,0,0,0,0,0,2,0,4,0,4,4,0,4,0,0,4,2,0,2,4,0,4,2,2,2,4,2,0,2,0,C,D,C,B,C,G,X,Y

26、,Z,G,B,A,D,E,F,G,E,G,F,E,F,G,n,x,y,z,n,G,E,x,y,n,G,F,uuu,r,uuu,r,uuu,r,uuu,r,uuu,r,uu,r,uu,r,uuu,r,uu,r,uuu,r,解,以,的,方,向,为,轴,轴,轴,的,正,方,向,建,立,空,间,坐,标,系,则,设,平,面,的,法,向,量,为,则,有,0,0,0,1,0,1,2,0,3,1,1,3,2,0,4,1,0,4,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,x,z,y,x,y,z,z,n,G,B,n,G,B,d,B,E,F,G,n,uu,r,uuu,r,Q,uu,r,uuu,r,uu,r,又,即,点,到,平,面,的,距,离,为,A,B,C,D,E,F,G,X,Y,Z,题型十：点到平面的距离,4,2,例,如,图,已,知,是,边,长,为,的,正,方,形,分,别,是,的,中,点,垂,直,于,所,在,的,平,面,且,求,点,到,平,面,的,距,离,A,B,C,D,E,F,A,D,A,B,G,C,A,B,C,D,G,C,B,E,F,G,学海无涯,40,1,A,B,A,1,B,C,1,C,D,E,1,D,x,z,y,练习,1,1,1,1,1,8,1,已,知,正,方,体,的,棱,长,等,于,为,中,点,求