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1、1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换,一、 引 入,二、 初等变换与高斯消元法,三、 初 等 矩 阵,一、引入,1.2 高斯消元法与矩阵的初等变换,1.2 高斯消元法,齐次方程组：AX = 0,非齐次方程组：AX = b, b 0 (b中至少有一分量不为零,为AX = b的解,AX = b 成立,1.2 高斯消元法,例1 解如下方程组,得一般解（无穷多组解,1.2 高斯消元法,交换第一行和第二行的位置,第一行的(-2)倍加到第二行,例2 解如下方程组,显然，有唯一解,1.2 高斯消元法,1.第一行乘以1/2. 2.第二行乘以1/3. 3.第三行乘以1/7,例3 解如下方程组,显然，无解,第二行的

2、(-1)倍加到第三行,行阶梯形矩阵,例一,例二,例三,有无穷多组解,有唯一解,无解,看一看,经过对行的处理，三个方程组的增广矩阵处理后的最终形式具有什么特点,答,1)零行位于非零行的下面,2)下一行非零首元位于上一行非零首元的右边,定义1（初等变换）矩阵的行（列）初等变换,交换两行（列）的位置； 用一非零数乘某一行（列）的所有元； 把矩阵的某一行（列）的适当倍数加到另一行（列）上去,高斯消元法就是对增广矩阵实施行初等变换化为简化行阶梯形,例4 是否为行阶梯形或简化行阶梯形,二、初等变换与高斯消元法,例5 解方程组,解,无解,1.2 高斯消元法,例6 解方程组,解,1.2 高斯消元法,为方程组的

3、全部解,1.2 高斯消元法,例6,例2,例5,该数不为零,唯一解,行（简化）阶梯形中 非零行的行数=未知量个数,行（简化）阶梯形中 非零行的行数未知量个数,无穷多解,小结：增广矩阵经 行 初等变换化为行（简化）阶梯形，该阶梯形与方程组解的关系如下,无解,行阶梯形矩阵,1.2 高斯消元法,定理1,1.2 高斯消元法,1.2 高斯消元法,想一想：表示出全部解的步骤,答,第一步，选取每一个非零行的第一个非零元所在的列代表的未知量为基本未知量。其余未知量为自由未知量,第二步，从最后一个非零行开始，将基本未知量用自由未知量和常数来表示,齐次方程组 AX = 0 的解有几种情况,行（简化）阶梯形中 非零行

4、的行数未知量个数,有非零解(无穷多解,行（简化）阶梯形中 非零行的行数=未知量个数,只有零解(唯一解,1.2 高斯消元法,想一想,A 与 B 等价：A B,1.2 高斯消元法,矩阵等价具有以下性质,三、初等矩阵,例,1.2 高斯消元法,定义2（初等矩阵）对单位矩阵作一次初等变 换所得矩阵,i行,j 行,三种初等矩阵,1.2 高斯消元法,i 行,i 行,j 行,1.2 高斯消元法,定理3 对矩阵A作一次行(列)初等变换，相当于 在A的左（右）边乘上相应的初等矩阵,“左乘行，右乘列”,定理的应用,1.若矩阵B是A经有限次行初等变换得到的，则存在有限个初等矩阵E1, , Ek , 使得,2.若矩阵B是A经有限次列初等变换得到的，则存在有限个初等矩阵E1, , Ek , 使得,3.若矩阵B是A经有限次初等

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