(完整版)求数列的通项公式方法总结,推荐文档

1、数列常见题型总结题型四：求数列的通项公式一.公式法：当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即： an 和 an-1 的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法1、叠加法：一般地，对于型如 an+1 = an + f (n) 类的通项公式，且f (1) + f (2) +l + f (n) 的和比较好求，我们可以采用此方法来求 an 。即： an = (an - an-1 ) + (an-1 - an-2 ) +l+ (a2 - a1 ) +a1 (n 2) ；11

2、【例 1】已知数列an满足 a1 = 2 , an + 1 = an + n2 + n ，求数列an的通项公式。1111nn解：（1）由题知： an + 1 - an =-n2 + nn(n +1)+ 1 an = (an - an - 1) + (an - 1 - an - 2) + +(a2 - a1) + a1= ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + + (1 - 1 ) + 1= 3 - 1n -1nn - 2n -11222n2、叠乘法：一般地对于形如“已知 a ，且 an+1 =f（n）（f（n）为可求积的数列）”的形式1an可通过叠乘法求数列的通项公式。即： a = a

3、n an -1 l a2 a (n 2) ； naaa1n -1n - 21【例 2】在数列 an 中， a1 =1,(n+1) an+1 =n an ，求 an 的表达式。- 6 -解：由(n+1) an+1 =n an得 an+1an=n，n + 11an a2a3 a4 an= 1 2 3 l n - 1 = 1 所 以 a =a1a1 a2 a3an-12 3 4nnnn3、构造法：当数列前一项和后一项即 an 和 an-1 的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。（1）、待定系

4、数法：、一般地对于 an =kan-1 +m(k、m 为常数）型，可化为的形式 an +=k(an-1 +).重新构造出一个以 k 为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求 ，然后再求 an 。a【例 3】设 b0,数列a 满足 a =b， a =nban-1(n 2)n求数列an的通项公式；1nn-1+ 2n - 2.解：=baan n-1，得n = an-1 + 2(n - 1)= 1 +2 n - 1 ， nan-1 + 2(n - 1)anban-1bban-1 n21n设 a = bn ，则bn = b bn-1 + b (n 2) ，11（）当b = 2 时，bn是以 为首项，

5、 为公差的等差数列，22111即bn = 2 + (n -1) 2 = 2 n ， an = 2222b（）当b 2 时，设bn + l= b (bn-1 + l) ，则bn = b bn-1 + l(- 1) ，211121令 l( - 1) =b1，得l=b2 - b， bn +12 - b= b (bn-1 +122 - b) (n 2) ，1知b +是等比数列， b += (b +) ( )n-1 ，又b =，n2 - bn2 - b12 - bb1b12 n112n - bnnbn (2 - b)bn = 2 - b (b ) - 2 - b = 2 - b bn， an =2n -

6、 b n、对于 an + 1 = pan + f (n)(其中p为常数) 这种形式,一般我们讨论两种情况：i、当 f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为 an+1 = aan + bn + c 型，可化为an+1 + l1n + l2 = aan + l1 (n - 1) + l2 的形式来求通项。【例 4】设数列an中， a1 = 1, an + 1 = 3an + 2n +1，求an的通项公式。解：设 an + 1 + a(n +1) + b = 3(an + an + b) an + 1 = 3an + 2 an + 2b - a 2 a = 2 a = 1与原式比较系数得： 2b

7、- a = 1 b = 1即 an + 1 + (n +1) +1 = 3(an + n + 1)令bn = an + n +1,则bn+1=3bn且b1=a1+1+1=3b 是b =3为首项，公比q=3的等比数列 bn = 3 3n-1 = 3nn1即: an = 3n - n -1ii、当 f(n)为指数幂时，即数列递推关系为 a n+1 = aa n + b cn （a、b、c 为常数，）型，可化为 an+1+ l cn+1 = a(an an+ l cn ）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求当 a=c 时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以 cn+1,重新构造数列，来求

8、an 。【例 5】设 a0 为常数，且 an = 3n-1 - 2an-1 （ n n * ），= 1 3n + (-1) 2n + (-1)n 2n a证明：对任意 n1， an50解：证明：设 an- t 3n = -2(an-1- t 3n-1 ) 用 an= 3n-1 - 2an-1代入可得t = 15- 33n 的等比数列，an5 是公比为- 2 ，首项为 a1 - 53n3a -= (1 - 2a - ) (-2) n-1 （ n n * ），n505即 ： an= 3n + (-1)n-1 2n5+ (-1)n 2n a0（2） 、倒数法：一般地形如 aan-1、 a a= a-

9、 a 等形式的递推数列可以用=nkan-1+ bnn-1n-1n倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。【例 6】.已知数列an满足： a1 = 1, an =13an - 1 +an - 13an - 1 +111，求an的通项公式。解：原式两边取倒数得：= 3 + 1anan - 1an - 1设bn = ,则bn- bn- 1=3, 且b1=1 bn是b1=1 为首项，公差d=2的等差数列anbn = 1+ (n -1) 3 = 3n - 2 即an =313n - 2（3） 、对数法：当数列 an 和 an-1 的递推关系涉及到高次时，形如：anp = man-1q（ 其中 m、p

10、、q 为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。【例 7】若数列 a 中， a =3 且 a= a 2 （n 是正整数），则它的通项公式是 a =n1n+1nnlg an+1解由题意知 a 0，将 a= a 2 两边取对数得lg a= 2 lg a ，即= 2 ，nn+1nn+1nlg an所以数列lg an 是以lg a1 = lg 3 为首项，公比为 2 的等比数列，lg an= lg a1 2n-1 = lg 32n -1 ，即 a= 32n -1 .n（4） 、特征方程法、一般地对于形如已知a1 = m1, a2 = m2 , an+2=a

11、an+1 +b an (a、b 是常数）的二阶递推数列，我们可以采取两种方法来求通项。法一：可用特征方程的方法求解：我们称方程：x2-ax-b=0 为数列的特征方程（i） 当方程有两个相异的实根（或虚根）p、q 时，有： an = c1 pn + c2 qn ，其中 c1 与 c2由已知 a1 = m1 , a2 = m2 , 确定。（ii） 当方程有唯一的实根 p 时，有 a = (c n + c ) pn ，其中 c 与 c 由已知n1212a1 = m1, a2 = m2 , 确定。法二：可构造成 an + 2 - x1an +1 = x2 (an +1 - x1an ) ，则 an+1

12、 - x1an 为等比数列，进而求通项公式，这种方法过程较为繁杂。【例 8】已知 a 1 =2， a 2 =3， an + 2 = 2an +1 - an ，求通项公式。解法一：特征方程的根为 1，所以 an = (c1 n+c2)1n由 ： c1 + c2 = 2= 32c + c得 c1 = c2 = 1，所以 an = n + 1。12解法二：设 an + 2 - x1an +1 = x2 (an +1 - x1an ) ，可得 x 1 = x 2 = 1，于是an+1an 是公比为 1 的等比数列，an+1an = 1，所以 an = n + 1。、一般地形如： a= a an + b

13、 （a、b、c、d 为常数）nn+1c a + d可得到相应的特征方程： x = ax + b ，再将其变为cx2 + (d - a)x - b = 0 ，通过该方程的cx + d根的情况来重新构造数列。 a - p （i） 如果方程cx2 + (d - a)x - b = 0 有两个相异的实根，则有数列 an - q 是以a1 - p为首项， a - cp 为公比的等比数列； n a1 - qa - cq21 是以（ii） 如果方程cx + (d - a)x - b = 0 有两个相同的实根，则数列 a- p1为a - p2c首项，为公差的等差数列。a + d n1【例 9】已知数列a 满足

14、a = 2, a= an-1 + 2 (n 2) ，求数列a 的通项a 2a+1n1nnnn-1解：其特征方程为 x =x + 2 ，化简得2x2 - 2 = 0 ，解得 x = 1, x = -1，令22x +11an+1 -1 = c an -1an+1 +1an +1由a = 2, 得a = 4 ，可得c = - 1 ，1253数列an -1是以 a1 -1 = 1 为首项，以- 1 为公比的等比数列，a +1a +1 33 n1 an +-1= 13 - 13 n-1， an = 3n +- (-1)n nnn三 、当题中给出的是 sn 和 an 的关系时，我们一般通过作差法结合 an

15、 = snsn1 这个通用公式对原等式进行变形，消掉 sn 得到 an 和 an+1 的递推关系，或消掉 an 得到 sn 和sn1的递推关系，然后重新构造数列求通项公式。【例 10】已知数列an的前 n 项和为 sn ，且满足： a1 = a (a 0) ， an + 1 = rsn r r, r -1) 求数列an的通项公式；解：（i）由已知 an+1 = rsn , 可得 an+2 = rsn+1 ，两式相减可得an+2 - an+1 = r(sn+1 - sn ) = ran+1 , 即 an+2 = (r + 1)an+1 ,又 a2 = ra1 = ra, 所以 r=0 时，数列a

16、n 为：a，0，0，；(n n*，当 r 0, r -1 时，由已知 a 0, 所以an 0 （ n n * ），于是由 an+2= (r +1)an+1, 可得 an+2 = r +1(n n * ) ，an+1 a2 , a3 ,l, an +l 成等比数列，当n 2时， an = r(r +1)n-2 a.ann = 1,综上，数列an 的通项公式为 an = r(r +1)n-2 a, n 2【例 11】已知各项均为正数的数列 an 的前 n 项和满足 sn 1 ，且nnnn6s = (a + 1)(a + 2), n n * 求 a 的通项公式；解：由 a = s = 1 (a +

17、1)(a + 2) ，解得 a 1 或 a 2，由假设 a s 1，因此116111111a12。又由 as- s 1 (a+ 1)(a+ 2) = 1 (a + 1)(a+ 2) ，n+1n+1n6n+1n+16nn得 an+1- an-30 或 an+1-an因 an0，故 an+1-an 不成立，舍去。因此 an+1- an-30。从而an是公差为 3，首项为 2 的等差数列，故an的通项为an3n-2。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn ar

18、e very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevan