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1、几何最值问题的讨论几何中的最值问题大多是利用几何图形的性质、作各种几何变换、作图及几何中的不等量关系来求解的平面几何中有三种量：线段的长度、角度和面积(其中面积和周长相关)，所以这类问题大体分为以下三种一、关于线段的最值问题例1 要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用的水管最短？(人教版几何第二册P91例3)解 如图1，取点A关于直线L的对称点A，连AB交L于点P，P点即为所求事实上，若在L上另取一点Q，因为APPBAPPBAB，而AQQBAQQBAB，故AQQBAPPB例2 在同底等积的三角形中，求周长最小者解 如图2，设AB为公共底，因为等积，所以等高，即

2、顶点C的轨迹是平行于AB的直线L设AB的中垂线与L交于C点，ABC即为所求即当ABC为等腰三角形时，周长最小事实上，若在l上另取一点C，取B关于L的对称点 B，则有ABBCCAABBCCAABBAABACCBABACCB例3 经过两条相交公路内的某村庄修建一便道，使与两相交公路构成的三角形的周长最小解 如图3，设两公路Ox，Oy构成定角xOy，村庄P为定角xoy内一定点，过P作圆切xoy的两边于F、G，且使O，P在FG的同侧，过P作圆的切线，交xoy的两边于A、B，OAB即为所求事实上，若过P任作另一直线CD，再作切线CD使CDCD，易知APAF，BPBC，从而POABOFOG，同理POCDO

3、FOG，因为POCDpOCD，因而OAB是周长最小的三角形说明 以上三例都是采用几何作图，先作出要求的最短线段，然后再用几何图形的性质证明它是最短的解决这个问题的另一途径是，恰当地选择自变量，列出函数解析式，把实际问题转化为求函数的最值问题，然后在给定区间内，求出函数的最值及相对应的自变量的值二、关于角度的最值问题例4 在ABC中，设BCa，CAb为定值，试求ABc为何值时，才能使三角形的最大内角具有最小度数解 因为任何三角形的最大内角不小于60，所以当ab时，即当且仅当cab(ABC为正三角形)时，其最大内角取最小值60；当ab时，不妨设ab，则ABC (ABC为等腰三角形)时，ABC的最大角具有最小的度数事实上，当ac时，ACAC；若ac，则三角形的最大角是A，根据前面的讨论，必有AA；若ac，则三角形的最大角是C，同样有CC注 余弦定理：a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC，其中，a，b，c，A，B，C分别为ABC的三条边和三个角三、关于面积的最值问题例5 如图4，在ABC中，BC2，BC边上的高AD1，P是BC边上任一点，PEAB交 AC于EPFAC交AB于F设BPx，用x

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