2021年中考人教版数学二轮复习题型7 圆的综合题

1、题型七圆的综合题 类型1折叠问题1.2014河北,25图(1)和图(2)中,优弧AB所在O的半径为2,AB=23.点P为优弧AB上一点(点P不与A,B重合),将图形沿BP折叠,得到点A的对称点A.(1)点O到弦AB的距离是1;当BP经过点O时,ABA=60.(2)当BA与O相切时,如图(2),求折痕BP的长.(3)若线段BA与优弧AB只有一个公共点B,设ABP=,确定的取值范围.图(1)图(2)解:(1)160(2)作OCAB于点C,连接OB,如图.BA与O相切,OBA=90.在RtOBC中,OB=2,OC=1, sinOBC=OCOB=12,OBC=30,ABP=12ABA=12(OBA+O

2、BC)=60,OBP=30.作ODBP于点D,则BP=2BD.BD=OBcos 30=3.BP=23.(3)点P,A不重合,0.由(1)得,当增大到30时,点A在优弧AB上,当030,点A在O内,线段BA与优弧AB只有一个公共点B.由(2)知,当增大到60时,BA与O相切,即线段BA与优弧AB只有一个公共点B.当继续增大时,点P逐渐靠近点B,但点P,B不重合,OBP90.=OBA+OBP,OBA=30,120.当60120时,线段BA与优弧AB只有一个公共点B.综上所述,的取值范围是030或60120.2.如图,点M是以AB为直径的半圆O上的一点(不与点A,B重合),AB=4.沿着BM折叠半圆

3、O,点A,O的对应点分别是点A,O,设ABM=.(1)如图(1),过点A作ANAB,当AN与半圆O相切时,求的值;(2)如图(2),当点O落在MB上时,求阴影部分的面积;(3)如图(3),当BA与O相切时,求折痕BM的长.图(1)图(2) 图(3)解:(1)由折叠易知,ABA=2ABM=2,AB=AB=4.如图(1),设AN与半圆O相切于点D,连接OD,则ODAN,OD=12AB=2.过点A作ACAB于点C,ANAB,AC=OD=2,sinABA=ACAB=12,ABA=30,故=15.图(1) 图(2)(2)如图(2),连接OO.由折叠的性质可知,BO=OB=2.OO=OB,OOB为等边三角

4、形,OOB=60,S阴影=S扇形OOB-SOOB=6022360-12OB2sin 60=23-3.(3)如图(3),连接AM,则AMB=90.图(3)当BA与O相切时,ABA=90,ABM=45,AM=MB.又AB=4,BM=22AB=22,即折痕BM的长为22.3.2020河北九地市联考一如图(1),扇形OAB的半径为4,AOB=90,P是半径OB上一动点,Q是AB上一动点.(1)连接AQ,BQ,PQ,则AQB的度数为135.(2)当P是OB的中点,且PQOA时,求AQ的长.(3)如图(2),将扇形OAB沿PQ折叠,折叠后的QB恰好与半径OA相切于点C.若OP=3,求点O到折痕PQ的距离.

5、图(1)图(2)解:(1)135(2)连接OQ.PQOA,OPQ=180-AOB=90.扇形OAB的半径为4,P是OB的中点,OP=2,OQ=4,OP=12OQ,OQP=30,AOQ=OQP=30,AQ的长为304180=23.(3)如图,作点O关于PQ的对称点O,连接OO,OP,OC,OO,OC分别交PQ于点M,N,连接ON,则OM=OM,OOPQ,OP=OP=3,ON=ON,点O是BQ所在圆的圆心,OC=OB=4.弧QB恰好与OA相切于C点,OCAO,OCOB,COM=POO=POM.又PMO=QMO=90,OPM=MNO,ON=OP=3,CN=OC-ON=4-3=1.在RtONC中,OC

6、=ON2-CN2=32-12=22,在RtOCO中,OO=OC2+OC2=42+(22)2=26,OM=12OO=6,即点O到折痕PQ的距离为6.4.2020石家庄42中模拟已知AP是半圆O的直径,AP=d,点C是半圆O上的一个动点(不与点A,P重合),连接AC,沿直线AC翻折AO,将点O的对应点记为O1,射线AO1交半圆O于点B,连接OC.(1)如图(1),请判断AB和OC的位置关系.(2)如图(2),当点B与点O1重合时,用d表示弧PC的长.(3)过点C作射线AO1的垂线,垂足为点E,连接OE交AC于点F.当d=10,O1B=1时,求CFAF的值.解:(1)点O1与点O关于直线AC对称,O

7、AC=O1AC.OA=OC,OAC=C,C=O1AC,ABOC.(2)如图(1),连接OB.点B与点O1重合,AB=AO.又OA=OB,AOB是等边三角形,BAO=60.ABOC,POC=BAO=60,弧PC的长为60d360=d6.(3)ABOC,OCFEAF,CFAF=OCAE.过点O作AB的垂线,垂足为点H,连接OB.OA=OB,OHAB,AH=12AB.易证四边形OCEH为矩形,HE=OC=12d=5.分以下2种情况讨论.当点O1在线段AB上时,如图(2).AO1=AO=12d=5,O1B=1,AB=AO1 +O1B=6,AH=3,AE=AH+HE=3+5=8,CFAF=OCAE=58

8、.当点O1在线段AB的延长线上时,如图(3).AO1=AO=12d=5,O1B=1,AB=AO1-O1B=4,AH=2,AE=AH+HE=2+5=7,CFAF=OCAE=57.综上,CFAF=58或57. 类型2旋转问题5.2020迁安二模如图(1)、图(2),在O中,OA=1,AB=3,将弦AB与劣弧AB围成的弓形(包括边界的阴影部分)绕点B顺时针旋转,旋转角为(0360),点A的对应点是A.(1)点O到线段AB的距离是12;AOB=120;点O落在阴影部分(包括边界)时,的取值范围是3060.(2)如图(3),线段AB交优弧AB于点D,当ABA=90时,请说明点D在AO的延长线上.(3)当

9、直线AB与O相切时,求的值及此时点A的运动路径的长度.图(1)图(2)图(3)解:(1)121203060解法提示:如图(1),过点O作OHAB于点H,则AH=12AB=32.图(1)又OA=1,sinAOH=AHAO=32,AOH=60,OH=OAcos 60=12.OA=OB,OHAB,AOB=2AOH=120.在旋转过程中,当点O在AB上时,=OBA=30.在旋转过程中,当点O在AB上时,过点O作OMAB于点M,易得OBM=30,此时=HBO+OBM=60,的取值范围是3060.(2)如图(2),连接AD.图(2)ABA=90,AD为O的直径,D在AO的延长线上.(3)由(1)易知OBA

10、=30.当AB与O相切,且点A在直线AB上方时,OBA=90,=90+30=120,点A的运动路径的长度为1203180=233.当AB与O相切,且点A在直线AB的下方时,=120+180=300,点A的运动路径的长度为3003180=533.6.2019唐山路南区一模在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,O是AD的中点,以点O为圆心,在AD的下方作半径为3的半圆O,交AD于点E,F.(1)思考:如图(1),连接BD,交半圆O于点G,H,求GH的长.(2)探究:如图(2),将线段AF连带半圆O绕点A顺时针旋转,旋转角为(072时,求的取值范围;当半圆O与线段AB或线段BC相切时,设切点为R,求

11、弧FR的长.(结果保留.参考数据:sin 4934,cos 4134,tan 3734)解:(1)如图(1),过点O作ONBD于点N,连接OH,则HN=GN.四边形ABCD是矩形,AD=BC=8,BAD=90,又AB=6,BD=10.BAD=OND=90,ADB=NDO,ADBNDO,BDOD=ABON,104=6ON,ON=125.又OH=3,HN=OH2-ON2=32-(125)2=95,GH=2HN=185.(2)过点F作FQAD于点Q.当点Q在线段AD上,且点F到直线AD的距离为72时,有FQ=72,如图(2),此时sin =727=12,=30.当点Q在线段DA的延长线上,且点F到直

12、线AD的距离为72时,有FQ=72,如图(3),易得=150.故当m72时,的取值范围为30150.如图(4),当半圆O与AB相切于点R时,连接OR,则ORA=90,OR=3.sinOAR=34,OAR49,FOR=90+49=139,弧FR的长为1393180=13960.如图(5),当半圆O与BC相切于点R时,连接OR,过点O作OPAB于点P,则OR=3,ORBC.易得四边形PBRO是矩形,BP=OR=3,AP=3,cosPAO=34,PAO=41,ROF=41,弧FR的长为411803=4160.综上所述,弧FR的长为13960或4160.7.如图,ABC为等边三角形,边长是4,O为圆形

13、纸片,点P是ABC的高AD的中点.(1)当点O与ABC的外心重合时,求OP的长.(2)先将圆形纸片在点P处固定,再将圆形纸片绕点P逆时针旋转,每秒旋转30.设旋转时间为t(t=0时,点O与ABC的外心重合),当t=1 s时,圆形纸片正好与AC相切.求圆形纸片的半径.在旋转过程中,圆形纸片被ABC的边AC截得的最大弦长是多少?在O旋转第一周的过程中,请直接写出其与ABC的边有公共点的时长.解:(1)连接OB,由题易得BD=2,OD=BDtan 30=233.在RtABD中,AD=ABsin 60=23.点P是AD的中点,PD=3,OP=PD-OD=3-233=33.(2)当t=1 s时,DPO=

14、30,如图(1).设O与AC相切于点G,连接OP,OG,过点P作PHAC于点H.AP=PD=3,PAH=30,PH=12AP=32. DPO=30=DAH,OPAC.又OGAC,PHAC,OG=PH=32,即圆形纸片的半径是32.如图(2),当POAC时,圆形纸片被ABC的边AC截得的弦长最大.设PO的延长线与AC交于点F,O交AC于点M,N,连接OM,由(2)可知PF=32,OF=PF-OP=32-33=36. 在RtMOF中,MF=OM2-OF2=(32)2-(36)2=63.由垂径定理可知MN=2MF=23 6,即圆形纸片被ABC的边AC截得的最大弦长是23 6.在O旋转第一周的过程中,

15、其与ABC的边有公共点的时长为10 s. 解法提示:分析题意,可知O分别与AC,AB有2次相切.由可知O第1次与AC相切时,旋转角为30,t=1 s,根据对称的性质可知O第2次与AB相切时,DPO=30,此时旋转角为330,t=11 s.11-1=10(s),故在O旋转第一周的过程中,其与ABC的边有公共点的时长为10 s. 8.2019张家口桥东区一模如图(1),在OAB中,OA=OB=10,点P在OA上,且OP=6,以点O为圆心、OP的长为半径画弧,交OB于点P.将扇形POP绕点O逆时针旋转,旋转角为(0360),连接AP,BP,如图(2).图(1)图(2)发现:直接写出AP,BP的数量关

16、系.探究:若AOB=80.(1)当扇形POP旋转到点O的左侧,且OPAB时,旋转角=310.备用图(2)当扇形POP旋转到点O的右侧,且AP与PP相切时,求BP的长.(3)若点Q是PP上任意一点,在扇形POP绕点O逆时针旋转的过程中,当AOQ的面积最大时,直接写出BOQ的度数.延伸:若AOB=90,当A,P,P三点共线时,请直接写出线段BP的长.解:发现:AP=BP.解法提示:当=0或180时,点A,P,O共线,易得AP=BP.当0或180时,由旋转的性质可知AOP=BOP,OP=OP,又OA=OB,AOPBOP,AP=BP.探究:(1)310解法提示:如图(1),OPAB,AOP=OAB=1

17、2(180-AOB)=50,故旋转角=360-50=310. 图(1) 图(2)(2)如图(2),AP与PP相切,APOP,即AOP是直角三角形,AP=OA2-OP2=8,BP=8.(3)10或170.解法提示:由题意可知点Q是O(以点O为圆心、OP的长为半径)上的点,如图(3),当OQOA时,AOQ的面积取最大值,当点Q在点O的右侧时,记为Q,OQAO,AOQ=90,BOQ=AOQ-AOB=10;当点Q在点O的左侧时,记为Q,OQAO,BOQ=AOB+AOQ=170.综上,BOQ的度数为10或170. 图(3) 图(4)延伸:82-32或82+32.解法提示:如图(4),当点A,P,P共线,

18、且扇形POP在OA右侧时,过点O作OCAP,垂足为点C,易知OC=PC=12PP=32.由勾股定理,得OA2=OC2+AC2,即102=(32)2+(AP+32)2,解得AP=82-32(负值已舍).BP=82-32.如图(5),当点A,P,P共线,且扇形POP在OA左侧时,同理得AP= 82-32,则AP=AP+PP= 82-32+62=82+32,BP=82+32. 图(5) 类型3动点、动线、动圆问题9.2018河北,25如图,点A在数轴上对应的数为26,以原点(记为O)为圆心、OA的长为半径作优弧AB,使点B在点O的右下方,且tanAOB=43.在优弧AB上任取一点P,且过点P作直线l

19、OB,交数轴于点Q,设点Q在数轴上对应的数为x,连接OP.(1)若优弧AB上AP的长为13,求AOP的度数及x的值;(2)求x的最小值,并指出此时直线l与AB所在圆的位置关系;(3)若线段PQ的长为12.5,请直接写出此时x的值. 备用图解:(1)由题意知,OA=26,设AOP=,则18026=13,解得=90,AOP=90.PQOB,OQP=AOB,tanOQP=OPOQ=26OQ=43,解得OQ=392,x=392.(2)易得当直线l与O相切,且切点在数轴下方时,x的值最小,如图(1).图(1)PQOB,OQP=AOB,tanOQP=OPPQ=26PQ=43,解得PQ=392,OQ=OP2

20、+PQ2=262+(392)2=652,x的最小值为-652,此时直线l与AB所在圆相切,且切点在数轴下方.(3)x的值为31.5,-16.5或-31.5.解法提示:分以下三种情况讨论.如图(2),当点P在点O右上方时,过点P作PMOQ于点M,图(2)PQOB,MQP=AOB,tanMQP=PMMQ=43,PMPQ=45,MQPQ=35,PM=10,MQ=7.5,OM=OP2-PM2=24,OQ=OM+MQ=24+7.5=31.5,x=31.5.如图(3),当点P在点O左上方时,过点P作PMOQ,垂足为点M.图(3)PQOB,MQP=AOB,tanMQP=PMMQ=43,PMPQ=45,MQP

21、Q=35,PM=10,MQ=7.5,OM=OP2-PM2=24,OQ=OM-MQ=24-7.5=16.5,x=-16.5.如图(4),当点P在点O左下方时,过点P作PMOQ于点M,图(4)PQOB,MQP=AOB,tanMQP=PMMQ=43,PMPQ=45,MQPQ=35,PM=10,MQ=7.5,OM=OP2-PM2=24,OQ=OM+MQ=24+7.5=31.5,x=-31.5.10.2019河北,25如图,在ABCD中,AB=3,BC=15,tanDAB=43.点P为AB延长线上一点,过点A作O切CP于点P,设BP=x.(1)如图(1),x为何值时,圆心O落在AP上?若此时O交AD于点

22、E,直接指出PE与BC的位置关系.(2)当x=4时,如图(2),O与AC交于点Q,求CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧PQ长度的大小.(3)当O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围.图(1) 图(2)备用图解:(1)O切CP于点P,圆心O在AP上,OPPC,即CPB=90.四边形ABCD是平行四边形,ADBC,CBP=DAB,tanCBP=tanDAB=43.设PC=4k,BP=3k,则BC=PC2+BP2=5k,5k=15, 即k=3,BP=9.故x=9时,圆心O落在AP上.PEBC.解法提示:圆心O落在AP上,AP是O的直径,AEP=90,即PEAD,又ADBC,PEBC

23、.图(1)(2)如图(1),连接OP,OQ,分别过点C,O作AP的垂线,垂足分别为点K,H,易得CK=12,BK=9.AK=AB+BK=12,CK=AK,CAP=ACK=45.AP=AB+BP=7,HP=12AP=72.PK=5,CK=12,PC=13.HOP+OPH=90=CPK+OPH,HOP=CPK,又OHP=PKC=90,RtHOPRtKPC,OPPC=PHCK,即OP13=7212,OP=9124.POQ=2PAQ=90,lPQ=909124180=9148.91487,图(2)lPQAP.(3)x18.解法提示:如图(2),当O切AD于点A时,连接OA,OP,则OAAD,OAD=9

24、0,OAP+DAP=90,又OPC=90,OPA+CPA=90.OA=OP,OAP=OPA,DAP=CPA.又CBP=DAP,CBP=CPB,BC=PC.过点C作CKAP于点K,则KP=BK,易得BK=9,BP=2BK=18,即x=18.故当x18时,O与线段AD只有一个公共点.11.2020石家庄桥西区质量监测已知在矩形ABCD中,AB=4, AD=3,C与对角线BD相切,点P为C上一个动点.(1)如图(1),求C的半径;(2)如图(2),连接AP,PC,AC, AP交C于点Q,若sinPAC=6325,求CPA的度数和劣弧PQ的长;(3)设点P到直线AC的距离为d,当0d635时,请直接写

25、出PCA度数的取值范围.图(1)图(2)备用图解:(1)在矩形ABCD中,CD=AB=4,BC=AD=3,BCD=A=90.如图,设C与BD的切点为H.连接CH,则CHBD.在RtABD中,由勾股定理得,BD=AD2+AB2=5.SBCD=CHBD2=CDBC2,5CH=43,CH=125,即C的半径为125.(2)连接CQ,过点C作CMAP,垂足为点M.易知AC=5,sinPAC=CMAC=CM5=6325,CM=635.在RtCPM中,sinCPM=CMCP=635125=32,CPM=60,即CPA=60.又CP=CQ,CPQ是等边三角形,QCP=60,劣弧PQ的长为60125180=4

26、5.(3)0PCA60或120PCA180.12.如图,扇形AOB的圆心角是直角,OB=7,点C是弧AB上一点,点D是射线OB上一点,连接CD,OC,CD=4,以CD为直径在CD左侧作半圆E.(1)当半圆E与OB相切时,OD=33;(2)当半圆E与射线OB有两个交点时,设另一交点为点F,当弧FD的长度等于时,求点C到OB的距离;(3)当等腰三角形OCD的内心、外心与其一个顶点在同一条直线上时,求cosCOD的值.解:(1)33解法提示:分析可知,当半圆E与OB相切时,CDOB,OD=OC2-CD2=72-42=33.(2)连接EF,则EF=2.设FED=,则2180=,=90,即FED=90.

27、又EF=ED,EDF=45.连接CF,则CFD=90,FCD=FDE=45,CF=DF=22CD=22,故点C到OB的距离为22.(3)根据等腰三角形的内心、外心与其顶角顶点在同一条直线上,讨论即可.OCCD,分两种情况讨论.如图(1),当OD=OC=7时,点D与点B重合,此时等腰三角形OCD的内心、外心与顶点O在同一条直线上.连接CF,则CFD=90.设OF=x,则BF=7-x.OC2-OF2=CD2-BF2,72-x2=42-(7-x)2,解得x=417,cosCOD=OFOC=4149.图(1) 图(2)如图(2),当OD=DC=4时,此时等腰三角形OCD的内心、外心与顶点D在同一条直线

28、上.设半圆E与OC交于另一点H,连接HD,则DHC=90,OH=CH=12OC=72,cosCOD=OHOD=78.综上所述,cosCOD的值为4149或78.13.2020唐山路北区三模已知在扇形AOB中,AOB=120,半径OA=OB=8.(1)如图(1),过点O作OEOB,交弧AB于点E,过点E作EFOA于点F,则FO的长为43, FEO 的度数为60.(2)如图(2),点P为弧AB上的动点,点M, N分别在半径OA, OB上,且PMOA,PNOB,连接MN.求点P运动的路径长.MN的长度是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.(3)在(2)的条件下,若点D是PMN的外心,

29、直接写出点D运动的路径长.图(1)图(2)解:(1)4360解法提示:OEOB,BOE=90.又AOB=120,AOE= 30.EFOA,EFO= 90,FEO=90-30=60.OE=OB=8,OF=OEcos 30=43.(2)点P在弧AB上运动,其路径也是一段弧,由题意可知,当点M与点O重合时,PMB=30,当点N与点O重合时,PNA=30,点P运动的路径所对的圆心角是120 - 30- 30=60,点P运动的路径长为608180=83.是定值.连接PO,取PO的中点H,连接MH, NH.在RtPMO和RtPNO中,点H是斜边PO的中点,MH=NH=PH=OH=12PO=4,点P, M,

30、 O, N在以点H为圆心,4为半径的圆上,MPN=180-MON=180-120=60,MHN=2 MPN=120.过点H作HKMN于点K,由垂径定理得MK=KN=12MN.在RtHMK中, MHK=12MHN=60, MH=4,MK=23,MN= 2MK=43,MN的长度是定值.(3)由(2)易知,点D为OP的中点,OD=PD=4,点D的运动路径是以点O为圆心,4为半径的一段弧.点P运动路径所对的圆心角度数是60,点D运动路径所对的圆心角度数是60,点D运动的路径长为604180=43.14.如图,AB=4,BC=6,BCAB,以BC为直径作半圆O,使半圆O与点A在BC的异侧,射线PQ从点P

31、与点A重合的位置开始沿射线AB方向移动,已知APQ=60(点P与点A重合时除外). (1)在BC上取一点M,则点M到点A的最小距离是4,最大距离是8;(2)已知点D为BC的中点,当射线PQ经过点D时,求BC被射线PQ截得的DE的长;(3)设AP=x,若射线PQ与BC有且只有一个公共点,求x的取值范围. 备用图解:(1)48解法提示:当点M与点B重合时,MA最短,为4;当M,O,A三点共线时,MA最长,此时MA=OA+OM=42+32+3=8.(2)如图(1),连接OD,OE.图(1)D为BC的中点,COD=BOD=90.BCAB,ODAB,ODE=APQ=60.又OD=OE,ODE是等边三角形

32、,DOE=60,DE的长为603180=.(3)如图(2),当射线PQ过点B时,AP=AB=4.如图(3),当射线PQ过点C时,在RtBPC中,BP=33BC=23,AP=4+23.如图(4),当射线PQ与BC相切时,设切点为N,连接ON,OP,则ON=OB,ONP=90=OBP,又OP=OP,RtOBPRtONP,BPO=12BPQ=30.在RtBOP中,BP=3OB=33,AP=4+33.故当射线PQ与BC有且只有一个公共点时,4x4+23或x=4+33.图(2)图(3)图(4)15.2020石家庄一模如图(1),在矩形ABCD中,AB=9,BC=12,点P是线段AD上的一个动点.以点P为圆心,PD的长为半径作P,连接CP.(1)当P经过PC的中点时,PC的长为63;(2)当CP平分ACD时,试探究AC与P的位置关系,并求出PD的长;(3)如图(2),当P与AC交于E,F两点,且AF=9.6时,求点P到AC的距离.图(1)图(2)解:(1)63 解法提示:P经过PC的中点,PC=2PD.设PD=x,则PC=2x.在RtCDP中,PC2=PD2+CD2,即4x2=x2+92,解得x=33(负值已舍),PC=2x=63.(2)如图(1),过点P作PHAC于点H.图(1)CP平分ACD,PH=PD,点H在P上,AC与P相切.四边形ABCD是矩形,ADC=90.在Rt