计算机数值方法试题[教学相关]

1、 数值计算方法试题一、 填空（共20分，每题2分） 1、设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x=_.2、设一阶差商 ， 则二阶差商 3、数值微分中，已知等距节点的函数值 则由三点的求导公式，有 4、求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么 5、解初始值问题 近似解的梯形公式是 窗体顶端6、 ，则A的谱半径 ，A的 窗体底端窗体顶端7、 设 ，则 和=8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都_窗体底端窗体顶端9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_ 窗体底端窗体顶端10、设 ，当 时，必有分解式 ，其中L为下

2、三角阵，当其对角线元素 足条件 时，这种分解是唯一的。 窗体底端窗体顶端二、计算题 （共60 分，每题15分） 1、设 （1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式H（x）使满足 H（x）以升幂形式给出。（2）写出余项 的表达式 窗体底端窗体顶端2、 已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1收敛？ 窗体底端窗体顶端3、 试确定常数A，B，C和 ，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？ 窗体底端窗体顶端4、 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式： 窗体底端窗体顶端三、证明题 1、 设 （1） 写出

3、解 的Newton迭代格式（2） 证明此迭代格式是线性收敛的 窗体底端窗体顶端2、 设R=ICA，如果 ，证明： （1）A、C都是非奇异的矩阵（2） 参考答案：一、填空题1、2.31502、 3、 4、1.55、 6、 7、 8、 收敛9、O（h） 10、 二、计算题1、1、（1） （2） 2、由 ，可得 因 故 故 ，k=0,1,收敛。 3、 ，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分，得 ，记步长为h,对积分 用Simpson求积公式得 所以得数值解公式： 三、证明题1、证明：（1）因 ，故 ，由Newton迭代公式：

4、n=0,1, 得 ，n=0,1, （2）因迭代函数 ，而 ， 又 ，则 故此迭代格式是线性收敛的。 2、证明：（1）因 ，所以IR非奇异，因IR=CA，所以C，A都是非奇异矩阵 (2) 故 则有 （2.1）因CA=IR，所以C=（IR）A-1，即A-1=（IR）-1C又RA-1=A-1C，故由 （这里用到了教材98页引理的结论）移项得 (2.2)结合（2.1）、(2.2)两式，得模拟试题 一、 填空题（每空2分，共20分） 1、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 收敛 2、 迭代过程 （k=1,2,）收敛的充要条件是 3、 已知数 e=2.718281828.,取近似值 x=2.718

5、2,那麽x具有的有效数字是 4、 高斯-塞尔德迭代法解线性方程组 的迭代格式中求 5、 通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足，则p(x)是不超过二次的多项式 6、 对于n+1个节点的插值求积公式 至少具有次代数精度. 7、 插值型求积公式 的求积系数之和 8、 ,为使A可分解为A=LLT, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围 9、 若 则矩阵A的谱半径 (A)= 10、解常微分方程初值问题 的梯形格式 是阶方法 二、 计算题（每小题15分，共60分） 1、 用列主元消去法解线性方程组 2、 已知y=f（x）的数据如下 x 0 2 3 f（x） 1 3 2 求二次插值多项式

6、 及f（2.5）3、用牛顿法导出计算 的公式，并计算 ，要求迭代误差不超过 。4、 欧拉预报-校正公式求解初值问题 取步长k=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. 三、证明题 （20分 每题 10分 ） 1、 明定积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度 2、 若 ，证明用梯形公式计算积分 所得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。参考答案：一、 填空题 1、局部平方收敛 2、 1 3、 4 4、 5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 8、 9、 1 10、二阶方法 二、计算题 1、 2、 3、 1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位)4、y(0.2

7、)0.01903 三、证明题 1、证明：当 =1时，公式左边： 公式右边： 左边=右边当 =x时 左边： 右边： 左边=右边当 时 左边： 右边： 左边=右边当 时 左边： 右边： 左边=右边当 时 左边： 右边： 故 具有三次代数精度 2、 证明：略数值计算方法试题一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。3、已知是三次样条函数，则=( )，=（ ），=（ ）。4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则( )，( )，当时( )。5、设和节点则 和。6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公

8、式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则 。8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。10、 设，当（ ）时，必有分解式其中为下三角阵，当其对角线元素满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。二、 二、选择题（每题2分）1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（ ）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）， （2）， （3）， （4），3、有

9、下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（ ）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（ ）。(1), (2), (3), (4)三、1、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：1925303819.032.349.073.32、（15分）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算时，(1) (1) 试用余项估计其误差。（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。四、1、（15分）方程在附近有根

10、，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、（8分）已知方程组，其中，（1） （1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2） （2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格库塔法求的值。2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足,六、（下列2题任选一题，

11、4分）1、 1、 数值积分公式形如 （1） （1） 试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。2、 2、 用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题一、判断题：（共16分，每小题分）、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）、 当时，Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳定性。（）3、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为。 （）、矩阵的范数。（）5、设，则对任意实数，方程组都是病态的。（用） （ ）6、设，且有（单位阵），则有。

12、（ ）7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。（ ）8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：，则的值分别为2，2。（ ）二、填空题：（共20分，每小题2分）1、设，则均差 _，_。2、设函数于区间上有足够阶连续导数，为的一个重零点，Newton迭代公式的收敛阶至少是 _阶。、区间上的三次样条插值函数在上具有直到_阶的连续导数。4、向量,矩阵，则 _，_。5、 为使两点的数值求积公式：具有最高的代数精确度，则其求积基点应为_，_。6、设，则（谱半径）_。（此处填小于、大于、等于）7、设，则_。三、简答题：（9分）1、 1、 方程在区间内有唯一根，若用迭代公式： ，则其产生的序列是否

13、收敛于？说明理由。2、 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？3、 3、 设，试选择较好的算法计算函数值。四、（10分）已知数值积分公式为： ，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、（8分）已知求的迭代公式为： 证明：对一切，且序列是单调递减的，从而迭代过程收敛。六、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、（9分）设线性代数方程组中系数矩阵非奇异，为精确解，若向量是的一个近似解，残向量，证明估计式：（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。八、(10分)设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条

14、件的一个次数不超过3的插值多项式，并导出其余项。012012-1133九、(9分)设是区间上关于权函数的直交多项式序列，为的零点， 是以为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，为高斯型求积公式，证明：（1） （1）当时， （2） （3）十、（选做题8分）若，互异，求的值，其中。数值计算方法答案一、 一、填空题（每空1分，共17分）1、（ 10 ） 2、（） 3、=( 3 )，=（ 3 ），=（ 1 ）4、( 1 )、 ( )、( ) 5、 6 、 6、 9 7、 0 8、9、 2 10、（ ）、（ ）二、 二、选择题（每题2分）1、（(2)） 2、（1） 3、（1） 4、（3）三、1、

15、（8分）解： 解方程组 其中 解得： 所以 ， 2、（15分）解：四、1、（15分）解：（1），故收敛；（2），故收敛；（3），故发散。选择（1）：， ，Steffensen迭代：计算结果：， 有加速效果。2、（8分）解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：， SOR迭代法：五、1、（15分）解：改进的欧拉法：所以；经典的四阶龙格库塔法：，所以。2、（8分）解：设为满足条件的Hermite插值多项式，则 代入条件得：六、（下列2题任选一题，4分）1、解：将分布代入公式得：构造Hermite插值多项式满足其中则有：， 2、解：所以 主项： 该方法是二阶的。数值计算方法试题一、（2

16、4分）填空题(1) (1) (2分)改变函数 ()的形式，使计算结果较精确 。(2) (2) (2分)若用二分法求方程在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次。(3) (3) (2分)设，则 (4) (4) (3分)设是3次样条函数，则a= , b= , c= 。(5) (5) (3分)若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。(6) (6) (6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式 ，迭代矩阵为 ，此迭代法是否收敛 。(7) (7) (4分)设,则 ， 。(8) (8) (2分)若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝对稳

17、定，则步长h的取值范围为 二. (64分)(1) (1) (6分)写出求方程在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(2) (2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。(3) (10分)求在区间0,1上的1次最佳平方逼近多项(4) 式。(5) (4) (10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。(6) (5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组： (7) (6) (8分)求方程组 的最小二乘解。(8) (7) (8分)已知常微分方程的初值问题： 用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。三(12分，在

18、下列5个题中至多选做3个题)(1) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：，(2) (2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：(3) (3) (6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为。(4) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题 的形式为 ,i=1,2,N的公式，使其精度尽量高，其中, , i=0,1,N,(5) (5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题答案一、 一、判断题：（共10分，每小

19、题分） 1、（） 2、（） 3、（ ） 4、（） 5、（ ） 6、（ ）7、（） 8、（ ）二、 二、填空题：（共10分，每小题2分） 1、0 2、_二_ 3、_二_4、_16 、90_5、6、 = 7、0三、 三、简答题：（15分）1、 1、 解：迭代函数为 2、 2、 答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素全不为0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，但若主元素的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素=0或很小的

20、情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。3、 3、 解：四、 四、解：显然精确成立； 时，；时，；时，；时，；所以，其代数精确度为3。 五、 五、证明： 故对一切。又 所以，即序列是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。六、 六、解：是。因为在基点1、2处的插值多项式为 。其代数精度为1。七、 七、证明：由题意知： 又 所以。八、解：设 所以由得：所以令，作辅助函数则在上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：反复利用罗尔定理可得：，所以 九、 九、证明：形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精度2n+1次，它对取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立1）2）因为是n次

21、多项式，且有 所以()3）取，代入求积公式：因为是2n次多项式， 所以 故结论成立。十、 十、解：数值计算方法试题一、（24分）填空题(9) (1) (2分)改变函数 ()的形式，使计算结果较精确 。(10) (2) (2分)若用二分法求方程在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次。(11) (3) (2分)设，则 (12) (4) (3分)设是3次样条函数，则a= , b= , c= 。(13) (5) (3分)若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。(14) (6) (6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式 ，迭代矩阵为

22、，此迭代法是否收敛 。(15) (7) (4分)设,则 ， 。(16) (8) (2分)若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为 二. (64分)(9) (1) (6分)写出求方程在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(10) (2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。(11) (3) (10分)求在区间0,1上的1次最佳平方逼近多项式。(12) (4) (10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。(13) (5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组： (14) (6

23、) (8分)求方程组 的最小二乘解。(15) (7) (8分)已知常微分方程的初值问题： 用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。三(12分，在下列5个题中至多选做3个题)(6) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：，(7) (2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：(8) (3) (6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为。(4) (6分)推导求解常微分方程初值问题 的形式为 ,i=1,2,N的公式，使其精度尽量高，其中, , (9) i=0,1,N,(10) (5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题答案一.(24分)(1) (2分) (2) (2分) 10(3) (2分) (4) (3分) 3 -3 1 (5) (3分) 477(6) (6分) 收敛(7) (4分) 9 91 (8) (2分) h0.2二. (64分)(1) (