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1、理 论 力 学,5 2021,第一部分 静 力 学,第二章 平面汇交力系与平面力偶系,力系分类,平面力系,平面汇交力系 平面力偶系 平面任意力系,空间力系,空间汇交力系 空间平行力系(空间力偶系) 空间任意力系,第 2 章,第 2 章,第 3 章,第 4 章,第 5 章,专门问题,考虑摩擦时的平衡问题,第二章平面汇交力系与平面力偶系,本章主要内容,2-1平面汇交力系的合成与平衡 几何法 2-2平面汇交力系的合成与平衡 解析法 2-3平面力对点之矩的概念与计算 2-4平面力偶理论,本章讨论平面汇交力系两个问题,1 、合成（简化） 2 、平衡,研究方法,1 、 几何法（矢量法） 2 、解析法（投影

2、法,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,一、合成,1、两个力的合成,用平行四边形法则即可,2、多个力的合成,以四个力的情况为例,力多边形； 合力 为 力多边形的封闭边,作用线通过汇交点A,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,设平面汇交力系由n个力 （i = 1,2,n）组成,记为 。 根据平行四边形法则，将各力依次两两合成（或由力多边形法则合成），可将汇交力系合成为一个合力（记为 ）。汇交力系合力的矢量表达式为,结论：汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的矢量和确定，作用线通过汇交点,3、n个力的合成,静力学/第二章：平面汇交力

3、系与平面力偶系,F1,FR,FR2,FR1,F4,F3,F2,合力矢 与各分力矢的作图顺序无关,O,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,O,F2,F1,F4,F3,FR,利用力多边形法则注意问题,各分力矢必须首尾相接 合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端 按力的比例尺准确地画各力的大小和方向,力多边形合成的结论,平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线通过汇交点，大小和方向由力多边形的封闭边表示,二、平衡,平衡的结论,受平面汇交力系作用的刚体，平衡,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,平衡的几何条件,力多边形自行封闭,几何法的优点：直观； 缺点：求解需作图，精度不高,

4、静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,一、力在正交坐标轴上的投影,力在坐标轴上的投影是标量 注意投影的正负号 已知投影求力的大小和方向,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,二、力的解析表达式,设沿坐标轴方向的单位矢量 为,注意分力与投影的区别与联系,则力沿坐标轴方向的分力,则有,分力是矢量,投影是标量,当坐标轴非正交时，大小也不相等,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,当坐标轴非正交时，大小也不相等,注意分力与投影的区别与联系,即,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,三、合力投影定理,定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同 一轴上

5、投影的代数和,即：若,则,四、合成,由合力投影定理，合力的投影为,合力的大小和方向为,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,五、平衡,受平面汇交力系作用的刚体，平衡,而,所以,即,受平面汇交力系作用的刚体，平衡,平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可解两个未知量,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,用平衡方程解题的一般步骤,1、确定研究对象，画出 研究对象的受力图 2、建立坐标系 3、列出平衡方程 4、解出未知量,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,例1：图示结构，已知P=10 kN，AC = CB，AB与CD夹角如图，各杆自重不计。 求：A处反力和CD杆受力,解：取AB为研究对

6、象。 受力如图,E,45 o,建立坐标如图,列平衡方程,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,由几何关系,解出,说明：FA的负号表示它的实际方向与图示的假设方向相反,解题要求:(1)对象；（2）受力图（注意二力构件，三力平衡汇交）；(3)坐标；（4）平衡方程； （5）求解,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,例2：图示A、B两轮的自重比为FGA/FGB =3，AB 杆自重不计，摩擦不计。 求：平衡时的 角,解：1、取A轮为对象， 受力如图,取坐标系如图,30o,1,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,60o,2、取B轮为对象，受力如图,取图示坐标系,2,又AB杆为二力杆,3,由

7、式(1),(2),(3)可解出,所以,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,1,2 - 3 平面力对点之矩的概念和计算,一、力对点的矩,力矩：是力使物体绕一点转动作用的度量,定义,o 力矩中心，简称矩心； h 力臂； 正负号规定：逆时针为正；顺时针为负； 平面内力对点的矩是标量； 力矩的单位：N m ，或 kN m,力矩的几何表示,Mo ( F ) = 2 OAB面积,力矩的矢量表示,大小：,方向：满足右手法则,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,二、力矩的基本性质,1、力沿作用线移动时， 力矩保持不变,2,力的作用线通过矩心,三、合力矩定理,定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点

8、 的矩，等于所有分力对该点的矩的代数和,即：若,则,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,三、合力矩定理,证明,设平面汇交力系如图示,在力的作用面内取一点O，到汇交点A的矢径记为,由合力,有,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,例3、已知 , 与 x 轴夹角为，作用点 A( x, y ). 求：,解,x,y,直接根据定义计算时 ，力臂的计算较麻烦,利用合力矩定理求解,所以,力矩的解析公式,力沿坐标轴方向的投影为,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,x,x,dx,h,例4：作用在梁AB分布载荷如图示，载荷集度q, 梁长l 。 求：分布力的合力的大小 及合力作线位置,解,分布力的载

9、荷集度 q 单位长度上的力，单位为： N/m , 或 kN/m,1) 求合力的大小,设合力为P，作用线距A点为 h,建立x坐标如图,取x处微段dx , 设x处的载荷集度为q(x,q(x,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,1) 求合力的大小,取x处微段dx , 设x处的载 荷集度为q (x,则,所以,由几何关系，得,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,2) 求合力作用线位置,用合力矩定理求合力作用线位置,所以,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,合力的大小,位置,2 - 4 平面力偶理论,一、力偶和力偶矩,1、力偶的概念,力 偶 : 由大小相等,方向相反,作用线平行且不共线的

10、两个力所组成的力系,用 表示,力偶作用面,力偶臂,二力作用线之间的垂直距离 d,二力作用线所决定的平面,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,力偶是一种基本力学量,力偶对刚体的作用，只有转动效应。力偶是一种特殊的力系。力和力偶是静力学中两个基本要素,力 偶 实 例,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,2、力偶矩,力偶矩：是力偶对刚体产生转动 效应的度量。 用 表示，简记为 M,定义为,正负号规定：逆时针为正；顺时针为负； 力偶矩的单位：N m ，或 kN m 。 力偶矩的几何表示,其中，A点可以是 作用线上的任一点,平面力偶对刚体的作用效应取决于力偶的力偶矩 ， 即：力偶矩的大小与力

11、偶在作用面内的转向,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,二、力偶的基本性质,性质1,由反向平行力的合成知：力偶的合力不存在,因为力偶的合力不存在，所以力偶不能与一个 力等效,因此，力偶不能用一个力来平衡,性质2,由二力平衡公理可知，力偶本身不平衡； 下面将要介绍的力偶系的平衡可得此结论,不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡,力偶本身不平衡,力偶只能用力偶来平衡,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,性质 3,证明,在任一轴 x 上的投影,力偶对其作用面内任一点的矩都相等，恒 等于其力偶矩。力偶在其作用面内任一轴上的投影恒为零,对任一点O的力矩为,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力

12、偶系,三、同平面内力偶的等效定理,定理,作用在同一平面内的两个力偶,等效,两力偶的力偶矩相等,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,证明,充分性,即：若两力偶的力偶矩相等，则它们等效,设,将力移至A、B点,A,B,D,C,C,D,因为力偶矩相等，所 以ABC,因此，CDAB,分解 力，使得,同理,F1,F1,下面证明两力偶等效,CD AB,与ABD的面 积相等,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,因为两平行四边形 全等，所以,故，在力偶 上加上一对 平衡力 ，就 得到力偶 由加减平衡力系公 理，两力偶等效。 充分性证毕,必要性 即：若两力偶等效，则它们的力偶矩相等,静力学/第二章：平

13、面汇交力系与平面力偶系,由力偶等效定理可得两个推论,推论1,只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效应不变,力偶可以在其作用面内任意移动和转动，而不改变力偶对刚体的作用效应,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面内任意转动，其对刚体的作用效应不变,力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,推论2,只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变力偶对刚体的作用效应,注意,此两推论只对同一个刚体成立， 对变形体不成立,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,由此

14、可知,只有力偶矩(大小和转向)才是平面力偶作用的唯一度量。所以，力偶的表示可以简化,有时在习题中，用M表示力偶矩的大小（不加正负号）用箭头表示力偶的转向,力偶中力的大小，力偶臂的长短，都不是力偶的特征量,或,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,1、平面力偶系的合成,1). 两力偶的合成,设同一平面内两力偶的力偶矩为M1 和 M2，则它们的合成结果为一合力偶，合力偶的力偶矩为： M = M1 + M2,即：合力偶的力偶矩为两个分力偶的力偶矩的 代数和,四、平面力偶系的合成与平衡条件,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,证明,取：AB = d,合力偶的力偶矩为,所以,由推论,合成,静力

15、学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,2). 同平面内多个力偶的合成,同上述方法多个力偶的合成，有,即：平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶 的力偶矩为各个分力偶的力偶矩的代数和,2、平面力偶系的平衡条件,定理：受平面力偶系作用的刚体平衡的充分必要 条件：各力偶的力偶矩的代数和为零,即：受平面力偶系作用的刚体，平衡,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,由平衡条件可知：力偶只能用力偶来平衡,平面力偶系的平衡方程为,此方程可解一个未知量,静力学/第二章：平面汇交力系与平面力偶系,注,例5：结构受力如图, M, r均为已知,且 l = 2r. 求: 画出AB和BDC杆的受 力图;并求A, C处的约束力,解,2）取BDC杆， B 处受力的方位可,1）取AB杆为研究对象,AB杆为二力杆，受 力如图,以判定,问题：能否确定C处受力的方位,静力学/第二章：