2014年湖南省高考数学试卷(文科)(含解析版)

1、2014 年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10 小题，每小题5 分，共 50 分）（分）设命题2+1 0，则 p 为（）1 5p： ? xR，xA? x0 R， x02+1 0B? x0R，x02+10C? x0 R， x02+1 0D? x0 R，x02+102（5 分）已知集合 A= x| x2 ，B= x| 1 x3 ，则 AB=（）A x| x2B x| x 1C x| 2x3D x| 1x33（5 分）对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 P1，P2，P3，则（）PP PA

2、P1=P23B P2=P31C P1=P3 2D P1=P2=P34（ 5 分）下列函数中， 既是偶函数又在区间 （， 0）上单调递增的是 （）Af（ x） =2+1Cf （x）=x3（） xBf（ x）=xD fx=25（5分）在区间 2，3 上随机选取一个数 X，则 X1 的概率为（）ABCD（分）若圆1：x2+y2=1与圆 2： x2+y2 6x8y+m=0 外切，则 m=（）6 5CCA21B19C9D 117（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t 2，2 ，则输出的 S 属于（）1A 6，2B 5，1C 4，5D 3，68（5 分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材

3、切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A1B2C3D49（5 分）若 0x1x21，则（）lnx2lnx1 lnxABlnx212x1 2x1C xD x10（ 5 分）在平面直角坐标系中，O 为原点， A（ 1，0）， B（ 0，），C（3，0），动点 D 满足 | =1，则 |+ + | 的取值范围是（）A 4，6B 1，+1C 2，2D1，+1二、填空题（共5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11（ 5 分）复数（ i 为虚数单位）的实部等于12（ 5 分）在平面直角坐标系中，曲线C：（t 为参数）的普通方程为13（ 5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+

4、y 的最大值为14（ 5 分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（ 1，0）的距离和到直线x= 1 的距离相等，若机器人接触不到过点P（ 1，0）且斜率为 k 的直线，2则 k 的取值范围是（分）若f（ x）=ln（e3x+1）+ax 是偶函数，则 a=15 5三、解答题（共6 小题， 75 分）（分）已知数列 an 的前 n 项和 S， *16 12n=nN（）求数列 an 的通项公式；（）设 bn=+（ 1）nan，求数列 bn 的前 2n 项和17（ 12 分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（ a， b），（a， ），

5、（a，b），（ ， b），（ ， ），（ a，b），（ a， b），（a， ），（ ， b），（a， ），（ ， ），（a，b），（a， ），（ ， b）（a，b）其中 a， 分别表示甲组研发成功和失败，b， 分别表示乙组研发成功和失败（）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1 分，否则记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（）若该企业安排甲、 乙两组各自研发一样的产品， 试估计恰有一组研发成功的概率318（ 12 分）如图，已知二面角 MN的大小为 60，菱形 ABCD在面 内，A、B 两点在棱 MN 上， BAD=60，E 是 AB 的中点

6、， DO面 ，垂足为 O（）证明： AB平面 ODE；（）求异面直线BC与 OD所成角的余弦值19（ 13 分）如图，在平面四边形ABCD中， DA AB，DE=1，EC=，EA=2，ADC=， BEC=（）求 sin CED的值；（）求 BE的长420（ 13 分）如图， O 为坐标原点，双曲线C1：=1（ a10，b10）和椭圆 C2：+=1（a2b20）均过点 P（，1），且以 C1 的两个顶点和C2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2 的正方形（）求 C1、C2 的方程；（）是否存在直线 l，使得 l 与 C1 交于 A、B 两点，与 C2 只有一个公共点，且 | + | =| | ？

7、证明你的结论21（ 13 分）已知函数 f （x）=xcosx sinx+1（ x0）（）求 f（ x）的单调区间；（）记 xi 为 f（x）的从小到大的第i（iN* ）个零点，证明：对一切nN* ，有+52014 年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10 小题，每小题5 分，共 50 分）（分）设命题2+1 0，则 p 为（）1 5p： ? xR，xA? x0 R， x02+1 0B? x0R，x02+10C? x0 R， x02+1 0D? x0 R，x02+10【考点】 2J：命题的否定【专题】 5L：简易逻辑【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写

8、出其否定即可找出正确选项【解答】 解命题 p：? xR，x2+10，是一个特称命题 p：? x0 R， x0 2+1 0故选： B【点评】 本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键2（5 分）已知集合 A= x| x2 ，B= x| 1 x3 ，则 AB=（）A x| x2B x| x 1C x| 2x3D x| 1x3【考点】 1E：交集及其运算【专题】 5J：集合【分析】 直接利用交集运算求得答案【解答】 解： A= x| x 2 ，B= x| 1x3 ， A B= x| x 2 x| 1x3 = x| 2x3 故选： C6【点评】 本题考查交集及其运算，是基础的计算题3（5

9、 分）对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 P1，P2，P3，则（）AP1=P2P3BP2=P3P1CP1=P3P2DP1=P2=P3【考点】 B2：简单随机抽样； B3：分层抽样方法； B4：系统抽样方法【专题】 5I：概率与统计【分析】 根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即 P1=P2=P3故选： D【点评】 本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，

10、比较基础4（ 5 分）下列函数中， 既是偶函数又在区间 （， 0）上单调递增的是 （）Af（ x） =2+1Cf （x）=x3（） xBf（ x）=xD fx=2【考点】 3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断【专题】 51：函数的性质及应用【分析】 本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（，0）上单调递增，得到本题结论【解答】 解：选项 A， f（ x）=f（ x）， f （x）是偶函数，图象关于 y 轴对称 2 f（x）=x ， 20， f （x）在（ 0， +）单调递减，根据对称性知， f（x）在区间（， 0）上单调递增

11、； 适合题意选项 B，f （x） =x2+1，是偶函数，在（ 0，+）上单调递增，在区间（， 0）上单调递减，不合题意7选项 C，f（x）=x3 是奇函数，不是偶函数，不合题意选项 D，f（x）=2 x 在（， +）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意故选： A【点评】 本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题5（5 分）在区间 2，3 上随机选取一个数X，则 X1 的概率为（）ABCD【考点】 CF：几何概型【专题】 5I：概率与统计【分析】 利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论【解答】 解：在区间 2，3 上随机选取一个数X，则

12、2X3，则 X1 的概率 P=，故选： B【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算， 求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础（分）若圆C1：x2+y2=1与圆2： x2+y2 6x8y+m=0 外切，则 m=（）6 5CA21B19C9D 11【考点】 J7：圆的切线方程； JA：圆与圆的位置关系及其判定【专题】 5B：直线与圆【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径， 由两圆心间的距离等于半径和列式求得m 值【解答】 解：由 C1：x2+y2=1，得圆心 C1（0，0），半径为 1，由圆 C2： x2 +y2 6x8y+m=0，得（ x3）2+（y 4） 2=25m，8圆心

13、 C2（3，4），半径为圆 C1 与圆 C2 外切，解得： m=9故选： C【点评】 本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题7（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t 2，2 ，则输出的 S 属于（）A 6，2B 5，1C 4，5D 3，6【考点】 EF：程序框图【专题】 5K：算法和程序框图【分析】 根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论【解答】 解：若 0 t 2，则不满足条件输出S=t3 3， 1 ，若 2t 0，则满足条件，此时t=2t 2+1（ 1，9 ，此时不满足条件，输出S=t3（ 2，6 ，综上： S=t3 3，6 ，故选： D9【点评】本题主

14、要考查程序框图的识别和判断， 利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础8（5 分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A1B2C3D4【考点】 L!：由三视图求面积、体积； LG：球的体积和表面积； LR：球内接多面体【专题】 11：计算题； 5F：空间位置关系与距离【分析】由题意，该几何体为三棱柱， 所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r ，则8r+6r=， r=2故选： B【点评】本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的

15、计算能力，属于基10础题9（5 分）若 0x1x21，则（）lnx2lnx1 lnxABlnx21Cx2x1Dx2x1【考点】 4H：对数的运算性质【专题】 53：导数的综合应用【分析】分别设出两个辅助函数f（x）=ex+lnx，g（ x）=，由导数判断其在 （0，1）上的单调性，结合已知条件0x1x2 1 得答案【解答】 解：令 f（ x）=exlnx，则 f （x） =，当 x 趋近于 0 时， xex 1 0，当 x=1 时， xex10，因此在（ 0， 1）上必然存在 f （x）=0，因此函数 f（ x）在（ 0，1）上先递减后递增，故 A、B 均错误；令 g（x） = ，当 0x 1

16、 时， g（ x） 0 g（ x）在（ 0，1）上为减函数， 0 x1 x21，即选项 C 正确而 D 不正确故选： C【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法， 解答此题的11关键在于想到构造两个函数，是中档题10（ 5 分）在平面直角坐标系中，O 为原点， A（ 1，0）， B（ 0，），C（3，0），动点 D 满足 | =1，则 |+ | 的取值范围是（）A 4，6B1，+1C 2， 2 D 1，+1【考点】 98：向量的加法【专题】 5A：平面向量及应用【分析】 由于动点 D 满足 | =1，C（3，0），可设 D（3+cos，sin ）（ 0，2）再利用向量的坐标运

17、算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出【解答】 解：动点 D 满足 | =1， C（ 3， 0），可设 D（ 3+cos， sin ）（ 0， 2）又 A（1，0），B（0，），+=|+|=，（其中 sin = ，cos= ） 1sin（ +） 1，=sin（+）=，|+| 的取值范围是或|+|=|+|，=（2，），将其起点平移到D 点，由其与CD 同向反向时分别取最大值、最小值，即|+| 的取值范围是故选： D12【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题二、填空题（共5 小题，每小

18、题 5 分，共 25 分）11（ 5 分）复数（ i 为虚数单位）的实部等于3【考点】 A5：复数的运算【专题】 5N：数系的扩充和复数【分析】 直接由虚数单位 i 的运算性质化简，则复数的实部可求【解答】 解：=复数（i 为虚数单位）的实部等于3故答案为： 3【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了虚数单位 i 的运算性质，是基础题12（ 5 分）在平面直角坐标系中，曲线C：（t 为参数）的普通方程为 x y1=0 【考点】 QJ：直线的参数方程【专题】 17：选作题； 5S：坐标系和参数方程【分析】 利用两式相减，消去t，从而得到曲线C 的普通方程【解答】 解：曲线 C：（t 为参数

19、），两式相减可得x y 1=0故答案为： x y 1=0【点评】 本题考查参数方程化成普通方程，应掌握两者的互相转化1313（ 5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为7【考点】 7C：简单线性规划【专题】 59：不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，进行平移即可得到结论【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=2x+y，得 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，由图象可知当直线 y= 2x+z 经过点 C，直线 y= 2x+z 的截距最大，此时 z 最大，由，解得，即 C（ 3， 1），此时 z=23+1=7，故答案为

20、： 7【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键14（ 5 分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（ 1，0）的距离和到直线x= 1 的距离相等，若机器人接触不到过点P（ 1，0）且斜率为 k 的直线，14则 k 的取值范围是k 1 或 k 1【考点】 K8：抛物线的性质【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（ 1，0）且斜率为k 的直线方程为 y=k（x+1），代入 y2=4x，利用判别式，即可求出 k 的取值范围【解答】 解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点 P（ 1

21、， 0）且斜率为 k 的直线方程为 y=k（x+1），代入 y2=4x，可得 k2x2+（2k24）x+k2=0，机器人接触不到过点P（ 1，0）且斜率为 k 的直线， =（2k24）2 4k4 0， k 1 或 k1故答案为： k 1 或 k 1【点评】 本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题（分）若3x+1）+ax 是偶函数，则 a= 15 5f（ x）=ln（e【考点】 3K：函数奇偶性的性质与判断【专题】 51：函数的性质及应用【分析】 根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论【解答】 解：若 f（ x）=ln（e3x+1）+ax 是偶函数，则 f（ x）

22、=f（x），即 ln（e3x+1）+ax=ln（e3x+1） ax，即 2ax=ln（ e 3x+1） ln（e3x+1）=ln=ln=lne3x=3x，即 2a=3，解得 a= ，故答案为：，【点评】 本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f（ x） =f15（x）是解决本题的关键三、解答题（共6 小题， 75 分）（分）已知数列 an 的前 n 项和 S， * 16 12n=nN（）求数列 an 的通项公式；（）设 bn=+（ 1）nan，求数列 bn 的前 2n 项和【考点】 8E：数列的求和； 8H：数列递推式【专题】 54：等差数列与等比数列【分析】（）利用公式法即可求得

23、；（）利用数列分组求和即可得出结论【解答】 解：（）当 n=1 时， a1=s1=1，当 n2 时， an n sn1=，=s=n数列 an 的通项公式是 an=n（）由（）知， bn=2n+（ 1）nn，记数列 bn 的前 2n 项和为 T2n，则T2n=（21+22+ +22n） +（ 1+23+4+2n）=+n=22n+1+n2数列 bn 的前 2n 项和为 22n+1+n 2【点评】本题主要考查数列通项公式的求法公式法及数列求和的方法分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题17（ 12 分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下

24、：（ a， b），（a， ），（a，b），（ ， b），（ ， ），（ a，b），（ a， b），（a， ），（ ， b），（a， ），（ ， ），（a，b），（a， ），（ ， b）（a，b）其中 a， 分别表示甲组研发成功和失败，b， 分别表示乙组研发成功和失败（）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1 分，否则记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；16（）若该企业安排甲、 乙两组各自研发一样的产品， 试估计恰有一组研发成功的概率【考点】 BC：极差、方差与标准差；CE：模拟方法估计概率【专题】 5I：概率与统计【分析】（）分别求出甲乙的研

25、发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可（）找 15 个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7 个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决【解答】 解：（）甲组研发新产品的成绩为 1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则=，=乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1 则=，=因为所以甲的研发水平高于乙的研发水平（）记 E= 恰有一组研发成功 ，在所抽到的 15 个结果中，恰有一组研发成功的结果是（a，），（，b），（a， ），（， b），（a， ），（a，），（， b）共 7 个，故事件 E发生的频率为，将频率视

26、为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=【点评】本题主要考查了平均数方差和用频率表示概率，培养的学生的运算能力18（ 12 分）如图，已知二面角 MN的大小为 60，菱形 ABCD在面 内，A、B 两点在棱 MN 上， BAD=60，E 是 AB 的中点， DO面 ，垂足为 O（）证明： AB平面 ODE；17（）求异面直线BC与 OD所成角的余弦值【考点】 LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直【专题】 11：计算题； 14：证明题； 5F：空间位置关系与距离； 5G：空间角【分析】（）运用直线与平面垂直的判定定理，即可证得，注意平面内的相交二直线；（）根据异面直线的定义，找出

27、所成的角为 ADO，说明 DEO是二面角 MN的平面角，不妨设 AB=2，从而求出 OD 的长，再在直角三角形 AOD 中，求出 cos ADO【解答】（1）证明：如图 DO面 ，AB? ， DOAB，连接 BD，由题设知， ABD 是正三角形，又 E 是 AB 的中点， DE AB，又 DODE=D， AB平面 ODE；（）解： BCAD， BC与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角，即 ADO 是 BC与 OD 所成的角，由（）知， AB平面 ODE， ABOE，又 DE AB，于是 DEO是二面角 MN的平面角，从而 DEO=60，不妨设 AB=2，则 AD=2，易知 DE=，

28、在 RtDOE中， DO=DEsin60=，连 AO，在 RtAOD 中，cosADO=，故异面直线 BC与 OD 所成角的余弦值为18【点评】本题主要考查线面垂直的判定，以及空间的二面角和异面直线所成的角的定义以及计算，是一道基础题19（ 13 分）如图，在平面四边形 ABCD中， DA AB，DE=1，EC= ，EA=2， ADC= ， BEC= （）求 sin CED的值；（）求 BE的长【考点】 HP：正弦定理； HR：余弦定理【专题】 58：解三角形【分析】（）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论（）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论【解答】 解：

29、（）设 = CED，在 CDE中，由余弦定理得222EC=CD+ED 2CD?DEcos CDE，即 7=CD2+1+CD，则 CD2+CD6=0，解得 CD=2或 CD= 3，（舍去），在 CDE中，由正弦定理得，则 sin =，即 sin CED= （）由题设知0 ，由（）知 cos=，而 AEB=，cosAEB=cos（）19=coscos +sinsin =，在 RtEAB中， cosAEB=，故BE=【点评】本题主要考查解三角形的应用， 根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大20（ 13 分）如图， O 为坐标原点，双曲线C1：=1（ a10，b10）和椭圆 C2：+=

30、1（a2b20）均过点 P（，1），且以 C1 的两个顶点和C2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2 的正方形（）求 C1、C2 的方程；（）是否存在直线 l，使得 l 与 C1 交于 A、B 两点，与 C2 只有一个公共点，且 | + | =| | ？证明你的结论【考点】 KH：直线与圆锥曲线的综合【专题】 5E：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）由条件可得a1=1， c2=1，根据点 P（， 1）在上求得=3，可得双曲线 C1 的方程再由椭圆的定义求得a2=，可得=的值，从而求得椭圆 C2 的方程（）若直线 l 垂直于 x 轴，检验部不满足 |+| | 若直线 l 不垂直于 x20轴，

31、设直线 l 得方程为 y=kx+m，由可得 y1 2=由?y可得 （2k2+3） x2+4kmx+2m2 6=0，根据直线 l 和 C1 仅有一个交点，根据判别式=0，求得2k2 =m2 3，可得 0，可得 |+| | 综合（ 1）、（2）可得结论【解答】 解：（）设椭圆 C2 的焦距为 2c2，由题意可得2a1=2， a1=1，c2=1由于点 P（， 1）在上，=1，=3，双曲线 C1 的方程为： x2=1再由椭圆的定义可得2a2=+=2，a2=，=2，椭圆 C2 的方程为：+=1（）不存在满足条件的直线l（ 1）若直线 l 垂直于 x 轴，则由题意可得直线l 得方程为 x=，或 x=当 x=时，可得 A（，）、B（，），求得 | =2，| =2，显然，|+|同理，当 x=时，也有 |+| | （ 2）若直线