2015年高考数学(理)真题分项解析：专题04+三角函数与三角形

1、专题四三角函数与三角形1.【 2015 高考新课标1，理 2】 sin 20o cos10ocos160o sin10 o =()3（ B ）311（ A ）（ C）（ D）2222【答案】 D【解析】原式 = sin 20o cos10ocos20 o sin10 o= sin 30o =1 ，故选 D.2【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】 本题解题的关键在于观察到20与 160之间的联系， 会用诱导公式将不同角化为同角， 再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.2【. 2015高考山东， 理 3】要得到函数 ys

2、in 4x的图象，只需要将函数 ysin 4x 的3图象（）（A ）向左平移个单位（ B）向右平移个单位1212（C）向左平移个单位（ D）向右平移个单位33【答案】 B【解析】因为 ysin4xsin 4 x，所以要得到函数 y sin 4x的3123图象，只需将函数ysin 4 x的图象向右平移个单位 .故选 B.12【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】 本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度 .3.【 2015 高考新课标1，理 8】函数 f (x) = co

3、s(x) 的部分图像如图所示，则f (x) 的单调递减区间为 ()(A) ( k1313, k),k Z(B) (2 k, 2k),k Z444411, k31, 2k3(C) (k), k Z(D) (2 k), k Z4444【答案】 D【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】本题考查函数yAcos(x) 的图像与性质，先利用五点作图法列出关于，方程，求出，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求，使解题的关键 .4.【 2015 高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）( A) yco

4、s(2x)(B) ysin(2 x)(C) y sin 2x cos2x22( D ) ysin xcosx【答案】 A【解析】对于选项A ，因为 ysin 2x, T2，且图象关于原点对称，故选A.2【考点定位】三角函数的性质.【名师点睛】 本题不是直接据条件求结果，而是从 4 个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显， C、D 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B 选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.cos(3 )5.【 2015 高考重庆，理9】若 tan2 tan ，则10（）5sin()5A 、 1B 、2C、 3D 、 42【答案

5、】 C【解析】由已知，c o s ( 3)coscos3sinsin 3cos 3tansin 31010101010sin()sincoscossintancossin5555532 tan3cos5sin10102tancossin555coscos 32sin sin 3510510sincos551 (cos5cos)(cos10cos 5 )3cos2101010103，选 C.1 sin 2cos2510【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】 三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用

6、合适的公式计算即可本例应用两角和与差的正弦（余弦） 公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用6.【 2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6 时到18 时的水深变化曲线近似满足函数y 3sin(x ) k ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）6A 5B 6C 8D 10【答案】 C【解析】由图象知：ymin2 ，因为 ymin3k ，所以3k2 ，解得： k5 ，所以3这段时间水深的最大值是ymax3k358 ，故选 C【考点定位】三角函数的图象与性质【名师点晴】 本题主要考查的是三角函数的图象与性质， 属于容易题 解题时一

7、定要抓住重要字眼“最大值” ，否则很容易出现错误解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法本题从图象中可知sinx1 时， y 取得最小值，进而求出k 的值，当6sinx1时， y 取得最大值67.【 2015 高考安徽，理10】已知函数 fxsin x（，均为正的常数）的最小正周期为，当 x2fx 取得最小值，则下列结论正确的是（）时，函数3（ A ） f 2f2f 0（ B） f 0f 2f2（ C） f2f 0f 2（ D） f 2f 0f2【答案】 A【考点定位】 1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据

8、题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出，通过最值判断出，从而得出三角函数解析式； 第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，4本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.【2015高考湖南，理9】将函数 f ( x)sin 2x 的图像向右平移(0) 个单位后得到2函数g( x)的图像，若对满足f ( x1 ) g( x2 )2的x1，有x1x2 min，则（）x235B.C.D.A.12346【答案】 D.【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到g(x)sin( 2x2) ，又 | f ( x1 )g( x2 ) |2，不妨2x1

9、22k ， 2x222m ， x1x2(km) ， 又 22x1x2 min3，3，故选 D.26【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】 本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题， 高考题对于三角函数的考查，多以f ( x)A sin(x) 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.【 2015高考 上 海，理13 】 已知 函 数 f xsin x 若存 在 x1 ， x2 ， xm 满 足0 x1x2xm 6，且f x1f x2f x2f x3f xn 1（ m2 ，

10、m），则 mf xn 12的最小值为【答案】 8【解析】因为fxsin x ，所以fxmfxnf ( x)maxf (x)min2 ，因此要使得满足条件fx1fx2fx2fx3fxn 1fxn12 的 m 最小，须取5x10, x22, x33 , x45 , x57 , x69 , x711 , x8 6 , 即 m 8.22222【考点定位】三角函数性质【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.8【.2015 高考天津， 理 13】在 ABC中，内角 A, B,C所对的边分别为a,b, c ，已知ABC的面积为 3 1

11、5， bc2,cos A1 ,则 a 的值为.4【答案】 8【解析】因为0A，所以 sin A1cos2 A15，4又SABC1bc sin A15315,bcbc 24 ，2bc24 ，解方程组得 b 6,c8bc24由余弦定理得a2b2c22bc cos A6242264164 ，所以 a8 .4【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际应用问题之一， 先根据同角三角关系求角A 的正弦值，再由三角形面积公式求出bc24 ，解方程组求出 b,c 的值，用余弦定理可求边a 有值 .体现了综合运用三角

12、知识、正余弦定理的能力与运算能力，是数学重要思想方法的体现.【2015 高考上海， 理 14】在锐角三角形C 中， tan1 ，D 为边 C 上的点，D2与CD的面积分别为2和4过D作D于， DFC于F，则DDF【答案】16156【考点定位】向量数量积，解三角形【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 ab |a|b|cos(2) 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a( x1， y1)，b (x2，y2) ，则 ab x1 x2 y1y2.向量夹角与三角形内角的关系，可利用三角形解决；向量的模与三角形的边的关系，可利用面积解决.9.【201

13、5 高考广东， 理 11】设ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 a3 ，sin B1，则 b.， C62【答案】 1【解析】因为 sin B10,，所以 B或 B5C，所以B，且 B，又26666AB C2，又 a3，由正弦定理得ab3b解得3sin Asin B即2sinsin63b 1，故应填入 1【考点定位】三角形的内角和定理，正弦定理应用【名师点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、运用正弦定理解三角形， 属于容易题，解答此题要注意由 sin B1得出 B或 B5时，结合三角形内角和定理舍去B5266610.【 2015 高考北京，理12】在 ABC 中，

14、 a4 ， b5 ， c6 ，则 sin 2Asin C【答案】 1【解析】A2 sinAcosAab2c2a22 4253616sin 221sinCsinCcbc62562考点定位： 本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.【名师点睛】 本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值.11.【2015高考湖北，理12】函数 f ( x) 4cos2 x cos( x)2sin x |

15、 ln( x 1) | 的零点个数22为7【答案】 2【解析】因为f ( x)4cos2 x cos( x)2sin x| ln( x1) |222(1cosx) sin x2sin x| ln( x1) |sin 2x| ln( x1) |所以函数f ( x) 的零点个数为函数ysin 2x 与 y| ln( x1) |图象的交点的个数，函数 ysin 2x 与 y| ln( x1) |图象如图，由图知，两函数图象有2 个交点，所以函数f ( x) 有 2 个零点 .【考点定位】二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点.【名师点睛】 数形结合思想方法是高考考查的重点.已知函数的零点个数，

16、一般利用数形结合转化为两个图象的交点个数，这时图形一定要准确。这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题 . 由“数”想图，借“图”解题 .12.【 2015 高考四川，理12】 sin 15 sin 75.【答案】6.2【解析】法一、 sin15sin 75sin15 cos152 sin(1545 )6.2法二、法三、sin15sin 75sin(4530 )sin(4530 ) 2sin 45 cos306.2sin15sin 756262644.2【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.有 asinb cosa2b2 sin() .第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求

17、解 .【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有asinb cosa2b2 sin() .第8二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.13.【 2015 高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北 30 的方向上，行驶600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CDm.【答案】 100 6【考点定位】 三角形三内角和定理，三角函数的定义，有关测量中的的几个术语，正弦定理 .【名师点睛】本题是空间四面体

18、问题，不能把四边形ABCD 看成平面上的四边形 .14.【 2015高考重庆，理13】在ABC 中， B=120o ， AB= 2， A 的角平分线AD =3 ,则AC=_.【答案】6【解析】由正弦定理得ABAD， 即23， 解 得sin BADBsin120sin ADBsinsinADB2ADB45，从 而BAD15DAC，所 以，2C180120 3030，AC2 AB cos306 .【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）【名师点晴】 解三角形就是根据正弦定理和余弦定理得出方程进行的当已知三角形边长的比时使用正弦定理可以转化为边的对角的正弦的比值，本例第一题就是在这种思想指导下求9

19、解的；当已知三角形三边之间的关系式，特别是边的二次关系式时要考虑根据余弦定理把边的关系转化为角的余弦关系式，再考虑问题的下一步解决方法15.【 2015 高考浙江，理11】函数 f ( x)sin2 xsin x cosx1 的最小正周期是，单调递减区间是【答案】， 3k, 7k ， kZ .88【解析】试题分析：f ( x)1cos2xsin 2x2sin(2 x)3，单221，故最小正周期为242调递减区间为 3k , 7k ， k Z .88【考点定位】1.三角恒等变形；2.三角函数的性质【名师点睛】本题考查了三角恒等变形与函数yAsin(x) 的性质，属于中档题，首先利用二倍角的降幂变

20、形对f ( x) 的表达式作等价变形，其次利用辅助角公式化为形如yAsin(x) 的形式，再由正弦函数的性质即可得到最小正周期与单调递减区间，三角函数是高考的热点问题，常考查的知识点有三角恒等变形，正余弦定理，单调性周期性等.16.【 2015 高考福建，理12】若锐角ABC 的面积为 103 ，且 AB 5,AC 8 ，则 BC等于 _【答案】 7【解析】 由已知得ABC 的面积为 1ABAC sin A20sin A10 3 ，所以 sin A3，22A(0, ) ，所以 A由余弦定理得BC 2AB2AC 22AB AC cos A49 ，23BC7 【考点定位】 1、三角形面积公式；2、

21、余弦定理10【名师点睛】 本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边，属于基础题17.【 2015 高考新课标1，理 16】在平面四边形ABCD 中， A= B= C=75 ， BC=2，则AB 的取值范围是.【答案】（62，6+2）【考点定位】正余弦定理；数形结合思想【名师点睛】本题考查正弦定理及三角公式， 作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边 BC 长定，平移 AD ，当 AD 重合时， AB 最长，当 CD 重合时 AB 最短，再利

22、用正弦定理求出两种极限位置是 AB 的长，即可求出 AB 的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键 .18.【 2015 江苏高考， 8】已知 tan2 ， tan1的值为 _.，则 tan7【答案】 3111tan() tan2【解析】 tantan()73.1 tan() tan217【考点定位】两角差正切公式【名师点晴】 善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1) “给角求值 ”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的

23、关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解 (2) “给值求值 ”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于 “变角 ”，使其角相同或具有某种关系(3) “给值求角 ”：实质是转化为 “给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角19.【 2015 高考新课标2，理 17】（本题满分 12 分）ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分BAC ，ABD 面积是ADC 面积的2 倍( ) 求 sinB ；sinC()若 AD 1， DC2，求 BD 和 AC 的长2【答案】 ( ) 1 ； ( )121 AB1 AC【解析】()SABDAD

24、 sinBAD， SADCAD sinCAD ，因为22sinBAC1 S ABD2S ADC ， BADCAD ，所以 AB 2AC 由正弦定理可得sin CAB2( )因为 S ABD : S ADCBD : DC ，所以 BD2 在ABD 和ADC 中，由余弦定理得AB2AD 2BD 22 AD BD cos ADB ，AC 2AD 2DC 22 ADDC cos ADC AB22AC23AD 2BD 22DC 26 由 ()知 AB2AC ，所以AC1【考点定位】 1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理【名师点睛】本题考查了三角形的面积公式、角分线、正弦定理和余弦定理，由角分线的定

25、义得角的等量关系，由面积关系得边的关系，由正弦定理得三角形内角正弦的关系；分析两个三角形中cosADB 和 cosADC 互为相反数的特点结合已知条件，利用余弦定理列方程，进而求AC 1220.【 2015 江苏高考， 15】（本小题满分14 分）在ABC 中，已知 AB2, AC3, A60 .（ 1）求 BC 的长；（ 2）求 sin 2C 的值 .【答案】（ 1）7 ；（ 2） 437【考点定位】余弦定理，二倍角公式【名师点晴】 如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能

26、用到已知两角和一边或两边及夹角，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，本题解是唯一的，注意开方时舍去负根.21.【 2015 高考福建，理19】已知函数f( x) 的图像是由函数g( x) = cos x 的图像经如下变换得到： 先将 g(x) 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图像向右平移p 个单位长度 .2( )求函数 f( x) 的解析式，并求其图像的对称轴方程；13( )已知关于 x 的方程 f( x) + g( x) = m 在 0, 2p ) 内有两个不同的解a, b （ 1)求实数 m 的取值范围；2m2（

27、2)证明： cos( a - b ) =- 1.5【答案】 ( )f( x) = 2sin x ， x = kp + p (k ?Z). ； ( )（ 1） (-5, 5)；（ 2）详见解析2【解析】 解法一： (1) 将 g( x) = cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变）得到 y = 2cos x 的图像，再将y = 2cos x 的图像向右平移p 个单位长度后得到y = 2cos( x - p ) 的图像，故 f( x) = 2sin2x ，从而函数f( x) = 2sin x 图像的对称轴方程为2x = kp + p (k ? Z).2(2)1) f( x

28、) +g( x) = 2sin x +cos x =5(2 sin x +1cosx)55= 5 sin( x +j) （其中 sinj =1,cosj=2）55依题意， sin(x +j)=m 在区间 0, 2p ) 内有两个不同的解 a , b 当且仅当 | m |1，故 m 的55取值范围是 (- 5,5) .2)因为 a, b 是方程5sin( x +j )=m 在区间 0,2p ) 内有两个不同的解，所以 sin(a +j)=m， sin(b +j)=m.55当 1 m 5时， a + b =2( p - j), a - b = p - 2( b +j);2当 - 5m1时 , a

29、+b =2( 3p - j),a - b = 3p - 2( b +j );2所以 cos( a - b ) = - cos2( b +j) = 2sin2m)22m2- 1.( b +j ) - 1 = 2(- 1 =55解法二： (1)同解法一 .(2)1) 同解法一 .2) 因为 a , b 是方程5 sin( x +j)=m 在区间 0, 2p ) 内有两个不同的解，14所以 sin(a +j )= m， sin(b +j)=m.55当 1 m 5 时， a + b =2( p- j),即 a +j= p - (b +j );2当 -5m1时 , a +b =2( 3p- j),即 a

30、 +j= 3p - (b +j );2所以 cos( a +j ) = - cos(b +j)于是 cos( a - b ) = cos(a +j) - (b +j) = cos(a +j)cos( b +j) +sin(a +j)sin( b +j )2m2 +(m22m2- 1.= - cos (b +j ) + sin(a +j)sin( b +j ) = - 1- ()=555【考点定位】 1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式【名师点睛】本题考查三角函数图象变换、性质、辅助角公式和诱导公式等基础知识，纵向伸缩或平移是对于 y 而言，即 g (x)kg( x) 或 g(

31、x)g( x) k ；横向伸缩或平移是相对于 x 而 言 ， 即 g( x)g(x) （ 纵 坐 标 不 变 ， 横 坐 标 变 为 原 来 的 1 倍 ），g( x)g (x a) ( a0 时，向左平移 a 个单位； a0 时，向右平移 a 个单位 )；三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实22.【 2015高考浙江，理16】在ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，已知 A， b2a2

32、 = 1 c2 .42（ 1）求 tanC 的值；（ 2）若 ABC 的面积为 7，求 b 的值 .【答案】（ 1） 2 ；（2） b3 .15又 A， 1 bc sin A3 ， bc6 2 ，故 b3 .42【考点定位】 1.三角恒等变形；2.正弦定理 .【名师点睛】 本题主要考查了解三角形以及三角横等变形等知识点，同时考查了学生的运算求解能力，三角函数作为大题的一个热点考点，基本每年的大题都会涉及到，常考查的主要是三角恒等变形，函数yA sin(x) 的性质，解三角形等知识点，在复习时需把这些常考的知识点弄透弄熟.223.【 2015 高考山东，理16】设 fxsin x cos xcosx.（）求 f x的单调区间；（）在锐角ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为a,b,c ,若 fA0, a1 ,求ABC 面积2的最大值 .【答案】（ I ）单调递增区间是4k ,