第八节二阶常系数线性差分方程

1、第八节二阶常系数线性差分方程二阶常系数齐次线性差分方程的一般形式(1)yx 2 ayx i byx 二二阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式yx 2 ayx 1 byx = f x( 2)(3)一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解喰二*代入方程(1)得特征方程2 a b = 0根据特征方程(3)的根的三种情形写出通解(1)第一种情形：特征方程(3)有两个不同的 实根1 = 2，Xxyx二CiiC2 2Ci,C2为任意常数(2)第二种情形：特征方程 实根(3)有两个相同的通解为y Ci C2x xCi,C2为任意常数(2)第三种情形：特征方程 复根(3)有一对共轭丸1,2=CL 通解为yx =

2、rx Scosr x C2si xC1sC2为任意常数其中, pr =: 2：2, v - arctan r 0,0ot例1方程求差分yxyx6yx解方程特*征丸2 - & - 6 = 0的根为打=3,人2 = -2原方程的通解为yx =Ci3x C2 -2 x,C.C2为任意常数例2方程求差分yx2 -4yx.i 4y 0的通解解方程特征2 _44=0的根为2原方程的通解为例3方程求差分yx?，的通解4解特征21方程4原方程的通解的根为i，-2iCi C2X 2x, Ci,C2为任意常数(1 (n兀、yx例4方程解方程Ci,C2为任意常数C1 cos x +C2sin x ,2八22丿求差分

3、yx 2 -4yx 116yx =0的通解特征九2 4扎+16 = 0的根为 打,2 = 22j3i原方程的通解yx =4x CjCOLx C2 sin x , C1 ,C2为任意常数I 33丿二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解yx 2 ayx 1 byx 二 f x（ 2）由上节定理3知道，差分方程（2）的通解应由对应齐次差分方程的通解 （前面已学过）和非齐次差分方程的特解两部分组成。我们只学习后部分。二阶常系数非齐次线性差分方程的特解求法一一待定系数法1 非齐 非齐f x =Pn x型yx =b)b1xb2x2 亠b,xn(2) 1是特征方程的根，即1+a+b= 0且2+aM 0,设y

4、x 二 b0 dx b2x2-b,xn x(3) 1是特征方程的重根，即1+a+b= 0且2+a= 0,设yx 二 bo bix b2X2 空 b“xn x2例5求差分yx 2 5yx i 4yx = x 的通解。解（1）对应齐次 方程yx 2 5yx i 4yx =0的特征方程2254 =0特征方 _ 1 程的根为二一1，2 - -4，通解为xxYx =Ci(1) +C2( 4),Ci,C2为任意常数（2）设非齐次方程的特 解为yx = ax b例6方程解（1）对应齐次 方程yx 2 3yx 1 -4yx =0的特征方程特征方程1的根为1通解为代入方 1717a , b，所以 yx x 程求

5、得1010010100（3）非齐次方程的通解为yxP GW和订。，C1,C2为任意常数求差分yx 2 - 3yx1 -4yx二3x的通解xYx =0 +C2（-4）, （5C2 为任意常数）（2）设非齐次方程的特2y x = （ax 十 b ）x = ax 十 bx代入方 _ 3.21程求得=10，八而，（3）非齐次方程的通解为所以yx =和21021x50X 32yx1 C2-410X21_50X，Ci,C2为任意常数例7方程x求差分差 yx 2 - 2yx .1 yx = 8的一个特解解方程对应齐次yxH2-2yx 1 y 0的特征方程2 _2 1=0特征方程的，根为=1设非齐次方程的特解

6、为例8方程解（1）对应的齐次 方程yx 2 _ yx沖- 6yx = 0的特征方程为yx =ax2求得代入方程a = 4，所以差分方程的一个特解为2yx =4xf x 二 J xPn x 型（卩工 0、1）2.非齐次项yx 2 ayx 1 byxxPn x（2）yx令1 x zx原方程化为j2Zx 2 a zx 1 bZx = Pn xY求差分工 yxdz yxH1 6yx =3x（2x -1 ）的通解特征方程_2 的根为12Yx 二5 2 x C23x,C1,C2为任意常数）令yx =3x Zx原方程化为9zx 2 - 3乙彳 - 6乙=2x 1次方程对应的齐9zx 2 -3zx .1 6Zx =0的特征方程为9 x , Ci,C2为任意常数 -3_6 =0特征方程1的根为1，2设非齐次方程的特解为3Zx Fax b x2=axbx代入方 _ 1程求得315，1 2x15所以得原方程的 特解为Zx2一，求特解为252- x25x15（3）原