全国统考2022版高考数学大一轮备考复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5讲对数与对数函数课件文

1、第五讲 对数与对数函数,第二章 函数概念与基本初等函数,考点帮 必备知识通关,考点1 对数与对数运算 考点2 对数函数的图象与性质,考法帮 解题能力提升,考法1 对数式的运算 考法2 对数函数的图象及应用 考法3 对数函数的性质及应用 考法4 指数函数、对数函数的综合问题,高分帮 “双一流”名校冲刺,析情境 数学应用,数学应用 对数函数的实际应用,数学探索 指数、对数比较大小的策略,提能力 数学探索,考情解读,考情解读,考点1 对数与对数运算 考点2 对数的图象与性质,考点帮必备知识通关,考点1 对数与对数运算,1.对数的概念 一般地,如果=N(0,且1),那么数叫作以为底N的对数,记作=lo

2、gN, 其中叫作对数的底数,N叫作真数. 由此可得对数式与指数式的互化:=NlogN=(0,且1). 说明 几种常见的对数,考点1 对数与对数运算,2.对数的性质、运算法则及重要公式,考点1 对数与对数运算,说明 (1)应用换底公式时,一般选用e或10作为底数.(2)表中有关公式均是在式子中所有对数符号有意义的前提下成立的.,考点2 对数函数的图象与性质,1.对数函数的图象和性质,考点2 对数函数的图象与性质,2.对数函数图象的特点 (1)对数函数=log(0,且1)的图象过定点(1,0), 且过点(,1),( 1 ,-1),函数图象只在第一、四象限. (2)如图2-5-1,作直线=1,则该直

3、线与四个函数图象 交点的横坐标为相应的底数,故01和01两种情况进行讨论.,考点2 对数函数的图象与性质,3.反函数 指数函数=(0,且1)与对数函数=log(0,且1)互为反函数,它们的图象关于直线=对称(如图2-5-2所示).,图2-5-2,考点2 对数函数的图象与性质,规律总结 (1)函数=log|的图象关于轴对称. (2)互为反函数的两个函数的图象关于直线=对称. (3)函数=log与=lo g 1 的图象关于轴对称. (4)反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域,互为反函数的两个函数具有相同的单调性、奇偶性. (5)原函数过点(0,0),则其反函数过点(0,0).,考法1 对

4、数式的运算 考法2 对数函数的图象及应用 考法3 对数函数的性质及应用 考法4 指数函数、对数函数的综合应用,考法帮解题能力提升,考法1 对数式的运算,示例1 (1)2018全国卷,12,5分 设=log0.20.3,=log20.3,则 A.+0 B.+0 C.+0 D.0+ (2)2018全国卷,13,5分文已知函数f()=log2(2+).若f(3)=1,则=. (3)lg 25+lg 2lg 50+(lg 2)2=. (4)(log32+log92)(log43+log83)=.,考法1 对数式的运算,解析(1)由=log0.20.3得 1 =log0.30.2,由=log20.3得

5、1 =log0.32,所以 1 + 1 =log0.30.2+log0.32=log0.30.4,所以00,0,所以0,所以+0.故选B. (2)由f(3)=1得log2(32+)=1,所以9+=2,解得=-7. (3)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5= (1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2. (4)原式=( lg2 lg3 + lg2 lg9 )( lg3 lg4 + lg3 lg8 )=( lg2 lg3 + lg2 2lg3 )( lg3 2lg2 + lg3 3lg2 )= 3lg2 2l

6、g3 5lg3 6lg2 = 5 4 .,考法1 对数式的运算,方法技巧 对数运算的一般思路 (1)转化:利用=N =logN(0,且1)对题目条件进行转化; 利用换底公式化为同底数的对数运算. (2)恒等式:关注log1=0,logN=N, lo g =N的应用. (3)拆分:将真数化为积、商或底数的指数幂形式,正用对数的运算法则化简. (4)合并:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.,考法2 对数函数的图象及应用,示例2 函数=log与=-+在同一平面直角坐标系中的图象可能是,思维导引,考法2 对数函数的图象及应用,解析

7、当1时,函数=log的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数=-+的图象与轴的交点的纵坐标应满足1,选项B,D中的图象都不符合要求; 当01时,函数=log的图象为选项A,C中过点(1,0)的曲线,此时函数 =-+的图象与轴的交点的纵坐标应满足01,选项A中的图象符合要求,选项C中的图象不符合要求. 答案 A,考法2 对数函数的图象及应用,示例3 当(1,2)时,不等式(-1)2log恒成立,则的取值范围是 A.(0,1)B.(1,2)C.(1,2D.(0, 1 2 ) 思维导引 将不等式恒成立转化为判断两个函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置关系来求解.,考法2 对数函数的图象及

8、应用,解析 设f1()=(-1)2,f2()=log,要使当(1,2)时,不等式(-1)21时,如图2-5-3所示,要使在区间(1,2)上, f1()=(-1)2的图象在f2()=log的图象的下方, 只需f1(2)f2(2),即(2-1)2log2,所以log21, 解得12. 答案 C,图2-5-3,考法2 对数函数的图象及应用,方法技巧 对数型函数图象的考查类型及解题思路 1.对有关对数型函数图象的识别问题,主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解. 2.对有关对数型函数的作图问题,一般是从基本初等函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到所

9、要求的函数图象.特别地,当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.,考法2 对数函数的图象及应用,3.对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题,可借助函数图象解决,具体步骤如下: (1)对不等式变形,使不等号两边对应两函数f(),g(); (2)在同一平面直角坐标系内作出函数=f()及函数=g()的图象; (3)观察当在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数,由此确定参数的取值或不等式的解的情况.,考法3 对数函数的性质及应用,命题角度1比较大小,示例4 2018天津,5,5分已知=log2e,=ln 2,c=lo g 1 2 1 3 ,则,c的大小关系为 A.cB.c C.cD.c

10、,考法3 对数函数的性质及应用,解析解法一因为=log2e1,=ln 2(0,1),c= log 1 2 1 3 =log23log2e1,所以c. 解法二 log 1 2 1 3 =log23,在同一平面直角 坐标系中作出函数=log2,=ln 的图象, 如图2-5-4,由图可知c. 答案 D 图2-5-4,考法3 对数函数的性质及应用,方法技巧 比较对数值大小的常见类型及解题方法,考法3 对数函数的性质及应用,命题角度2解对数不等式 示例5 2021福建调研已知函数f()是定义在R上的偶函数,当0时,f()单调递减,则不等式f(lo g 1 3 (2-5)f(log38)的解集为 A.|

11、5 2 13 2 C.| 5 2 13 2 D.| 5 2 或 41 16 13 2 ,考法3 对数函数的性质及应用,解析因为函数f()是定义在R上的偶函数,且在(-,0上单调递减,所以可将f(lo g 1 3 (2-5)f(log38)化为|lo g 1 3 (2-5)|log38|,即log3(2-5)log38或log3(2-5)8或0 13 2 或 5 2 41 16 . 答案C,考法3 对数函数的性质及应用,方法技巧 常见的对数不等式的类型及解题方法,考法3 对数函数的性质及应用,命题角度3对数型函数的单调性问题,示例6 2017全国卷,9,5分文已知函数f()=ln +ln(2-)

12、,则 A.f()在(0,2)上单调递增 B.f()在(0,2)上单调递减 C.=f()的图象关于直线=1对称 D.=f()的图象关于点(1,0)对称,考法3 对数函数的性质及应用,解析解法一由题意知,f()=ln +ln(2-)的定义域为(0,2),f()=ln(2-)=ln-(-1)2+1,由复合函数的单调性知,函数f()=ln +ln(2-)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以排除选项A,B;又f( 1 2 )=ln 1 2 +ln(2- 1 2 )=ln 3 4 ,f( 3 2 )=ln 3 2 +ln(2- 3 2 )=ln 3 4 ,所以f( 1 2 )=f( 3 2

13、 )=ln 3 4 ,所以排除选项D. 解法二(特例法)因为f( 1 2 )=f( 3 2 ),所以f()在(0,2)上不单调,且其图象不关于点(1,0)对称,排除A,B,D. 答案 C,考法3 对数函数的性质及应用,方法技巧 对数型复合函数的单调性问题的求解策略 1.对于=log f()型的复合函数的单调性,有以下结论:函数=log f()的单调性与函数u=f()(f()0)的单调性在1时相同,在01时相反. 2.研究=f(log)型的复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=log,则只需研究t=log及=f(t)的单调性即可. 注意 (1)研究对数型复合函数的单调性,一定要坚持“定义域优先

14、”原则,否则所得范围易出错. (2)有时需对底数进行讨论.,考法4 指数函数、对数函数的综合问题,示例7 2020全国卷,12,5分若2+log2=4+2log4,则 A.2B.2D.2 解析 解法一令f()=2+log2, 因为=2在(0,+)上单调递增,=log2在(0,+)上单调递增, 所以f()=2+log2在(0,+)上单调递增. 又2+log2=4+2log4=22+log222+log2(2),. (放缩) 所以f()f(2), 所以2.,考法4 指数函数、对数函数的综合问题,解法二(取特值法)由2+log2=4+2log4=4+log2,取=1,得2+log2=4,令f()=2

15、+log2-4,则f()在(0,+)上单调递增, 且f(1)0,所以f(1)f(2)2=2,0,所以g(3)g(4)2=4不成立,排除C. 答案 B,点评 破解此类题的关键:一是巧构造,即会构造函数,注意活用初等函数的单调性进行判断;二是会放缩,即会利用放缩法比较大小.,考法4 指数函数、对数函数的综合问题,方法技巧 解决指数函数与对数函数综合问题的技巧 (1)解决指数函数与对数函数的综合问题时,一般运用指数、对数函数的图象与性质等知识,并结合研究函数的性质的思想方法来分析解决问题. (2)解决与指数函数、对数型函数有关的问题时,要注意数形结合思想的应用. (3)在给定条件下求字母的取值范围是

16、常见题型,要重视不等式的知识及函数单调性在这类问题中的应用.,高分帮“双一流”名校冲刺,析情境 数学应用 数学应用 对数函数的实际应用 提能力 数学探索 数学探索 指数、对数比较大小的策略,数学应用 对数函数的实际应用,示例8 2019北京,7,5分文在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1= 5 2 lg 1 2 ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 A.1010.1 B.10.1C.lg 10.1 D.10-10.1,数学应用 对数函数的实际应用,解析由题

17、意可设太阳的星等为m2,太阳的亮度为E2,天狼星的星等为m1,天狼星的亮度为E1,则由m2-m1= 5 2 lg 1 2 ,得-26.7+1.45= 5 2 lg 1 2 , 5 2 lg 1 2 = -25.25,lg 1 2 =-10.1,lg 2 1 =10.1, 2 1 =1010.1. 答案 A,数学应用 对数函数的实际应用,素养探源,备考指导 本题以天体的明暗程度为背景,考查考生的阅读理解能力,运算求解能力,以及运用数学知识分析解决问题的能力.本题难度不大,具有良好的导向作用,引导考生在学习过程中增强数学应用意识,关注数学的实际应用.,数学探索 指数、对数比较大小的策略,1.利用指

18、数、对数函数的图象与性质比较数(式)的大小 示例9 若=( 1 5 )-0.3,=log52,c= e 1 2 ,则 A.1.结合对数函数=log5在(0,+)上单调递增可知=log52log5 5 = 1 2 .又c= e 1 2 = 1 e ( 1 2 ,1),所以 c. 答案C,数学探索 指数、对数比较大小的策略,易错警示 本题的易错点是不会借助中间桥梁比较log52与 e 1 2 的大小.由于log52与 e 1 2 均在区间(0,1)内,故需要寻找一个新的中间桥梁“ 1 2 ”,以顺利获解.,数学探索 指数、对数比较大小的策略,2.涉及三元变量的比较大小问题 若题设涉及三个指数式连等

19、或三个对数式连等,则可利用特例法求解,也可在设元变形的基础上,通过作差、作商或运用函数的性质求解. 示例10 2017全国卷,11,5分设,为正数,且2=3=5,则 A.235B.523 C.352D.325,数学探索 指数、对数比较大小的策略,解析解法一(作差法)令2=3=5=k,由,为正数,知k1,则= lg lg2 , = lg lg3 ,= lg lg5 .因为k1,所以lgk0,所以2-3 = 2lg lg2 3lg lg3 = lg(2lg33lg2) lg2lg3 = lglg 9 8 lg2lg3 0,故23, 2-5= 2lg lg2 5lg lg5 = lg(2lg55lg2) lg2lg5 = lglg 25 32 lg2lg5 0,故25. 所以325.故选D.,数学探索 指数、对数比较大小的策略,解法二(作商法)令2=3=5=k,由,为正数,知k1. 则= lg lg2 ,= lg lg3 ,= lg lg5 . 所以 2 3 = 2 3 lg3 lg2 = lg9 lg8 1,即23, 5 2 = 5 2 lg2 lg5 = lg