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1、.,1,39 曲 率,一、弧微分,二、曲率及其计算公式,三、曲率圆与曲率半径,有向弧段的值、,弧微分公式,曲率、,曲率的计算公式,曲率圆曲率半径,.,2,一、弧微分,s 的绝对值等于这弧段的长度,当有向弧段的方向与曲线的 正向一致时s0,相反时s0,s0,s0,显然,弧 s 是 x 的函数:ss(x),而且s(x)是x的单调增加函 数,.,3,设x , x+ Dx 为(a,b)内两个邻近的点,它们在曲线 yf(x)上的对应点为M,M,并设对应于x的增量Dx ,弧 s 的增 量为Ds,于是,下面来求s(x)的导数及微分,.,4,1,,因为,因此,由于ss(x)是单调增加函数,从而,于是 ds ,
2、这就是弧微分公式,.,5,观察曲线的弯曲线程度与切线的关系:,二、曲率及其计算公式,可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度,,.,6,设曲线C是光滑的,曲线 线C上从点M 到点M 的弧 为Ds ,切线的转角为Da ,平均曲率:,曲率:,.,7,曲率的计算公式:,设曲线的直角坐标方程是yf(x),且f(x)具有二阶导数,于是,从而,有,因为tan a y ,所以,.,8,例1 计算等双曲线x y 1在点(1,1)处的曲率,解,因此,y|x11,y|x12,曲线x y 1在点(1,1)处的曲率为,.,9,例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大?,解 由yax2bx
3、c,得 y2axb ,y2a ,,代入曲率公式,得,要使K 最大,只须2axb0,,抛物线的顶点因此,抛物线在顶点处的曲率最大,最大曲率为 K|2a| ,对应的点为,.,10,2若曲线由参数方程,给出,那么曲率如何计算?,1直线上任一点的曲率等于什么?,讨论:,提示:设直线方程为y=ax+b,则y =a, y = 0于是,提示:,.,11,曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r 有如下关系:,曲线在M点的曲率中心,三、曲率圆与曲率半径,M,y=f(x),D,r,曲线在M点的曲率半径,曲线在M点的曲率圆,.,12,例3 设工件表面的截线为抛物线y04x 2现在要用砂轮磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适?,.,13,解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径,例3 设工件表面的截线为抛物线y04x 2现在要用砂轮磨削其内表面问用直径多大的砂轮才比较合适?,y08x ,y08, y|x00,y|x008,抛物线顶点处的曲率
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