低维带参非线性狄拉克方程

1、低维带参非线性狄拉克方程本文介绍了如何用由雅可比椭圆函数法演变而来的F展开法处理非线性狄拉克方程。量子场论如今作为描述微观现象的基本物理学理论已经广泛地应用于近代物理的各个分支，并且粒子物理学的发展不断为场论的研究引进新的问题，诸如对称自发破缺场论、复合粒子场论、真空理论和非阿贝尔规范场论等相互联系着的新发展理论。其中通过对Thirring模型的参数化非线性的研究中得到了一维非线性狄拉克方程。利用F-展开法的一般思想，来处理非线性狄拉克方程，然后查询所得到的F函数与雅可比椭圆方程系数之间的关系表，最终解出方程的精确解。通过分析得到的结果，发现Thirring模型下的带参低维非线性狄拉克方程的解

2、具有亮孤子的特点。同时研究表明F-展开法在处理广义非线性狄拉克方程时依旧具有着突出的简洁性和实用性。关键词：非线性；狄拉克；F-展开法AbstractIn this paper, we will introduce how to use F-expansion which derives from Jacobi elliptic function to deal with low-dimensional nonlinear Dirac equation with parameters. The quantum field theory as a basic physics theory des

3、cribes the microscopic phenomena has been widely applied in various branches of modern physics and the development of particle physics has been introducing many new subjects. Through the research of parametric nonlinear Thirring model, we can get the one dimensional nonlinear Dirac equation.by using

4、 the F-expansion method, to deal with the nonlinear Dirac equation, and by querying the relationship between the F-function and Jacobi elliptic equation coefficient, we will finally get the exact solution of the equation. Through the analysis of the result obtained, we found the solution with parame

5、ter of low dimensional nonlinear Dirac equation under the Thirring model has the characteristics of bright solation. At the same time, studies show that the F- method in the treatment of generalized nonlinear Dirac equation still has outstanding simplicity and practicality.Key word: Nonlinear; Dirac

6、; F-expansion;目录AbstractII第一章 绪论11.1 量子力学的起源与发展11.1.1 克莱因-高登方程11.1.2 狄拉克方程的提出21.2 非线性量子力学31.2.1 近代非线性量子力学的概述41.2.2 非线性方程一般解法5第二章 非线性狄拉克方程的F-展开法求解过程12.1 Thirring 模型与F展开法的概述12.1.1 Thirring模型定义12.1.2 F-展开法一般求解过程22.2非线性狄拉克方程形式32.2.1 非线性狄拉克方程求解概述42.2.2 简化与讨论6结 论8参 考 文 献9第一章 绪论1.1 量子力学的起源与发展20世纪初期，从普朗克成功的

7、解决黑体辐射中的紫外灾难1问题引出的微观粒子能量量子化概念到波尔为解释原子的光谱线系而提出的原子结构的量子论，虽然使当时物理学中光电效应、固体在低温下的比热等重大疑难问题的解决。但该理论始终未能表现出电磁场的粒子性，同时该理论也不能兼容光子，更不能描述光子的湮灭和产生。因此，此时所创立的量子理论依旧是不完善的。这些理论上的瑕疵极大的促进了当时理论物理的蓬勃发展，而量子力学就是在解决这些问题中逐步建立起来的，其中量子力学的最基本理论假设为以下五条。(1)微观体系的状态由波函数描述，并且该波函数可以归一化。(2)描述体系含时演变的波函数满足薛定谔方程的约束。(3)经典的力学量由相应的量子线性算符表

8、示。(4)量子力学中的力学量算符之间有确定的对易关系，即量子条件；坐标算符与动量算符中的在直角坐标系下的分量的对易关系称为基本量子条件； (5)全同多粒子体系的中交换任意一对粒子描述体系的波函数对于具有一定的对称性：玻色子系统的波函数是交换对称的，费米子系统的波函数是交换反对称的。根据以上假设，经过严格的数学推导和实验验证逐步建立起了近代量子力学的基本框架，到目前为止量子力学中的理论预言尚未被证明是错误的。量子力学的创立与相对论并列为20世纪最伟大的物理学成就。 1.1.1 克莱因-高登方程在作为量子力学的基石的 5个理论假设中，第四个假设导出的含时演变的薛定谔方程与狭义相对论的要求明显不兼容

9、。量子力学中的哈密顿算符是由经典物理体系中非相对论力学的运动方程一阶低能近似得到的。这便导致了非相对论性下的薛定谔方程在高能领域中，无法对由粒子的产生与湮灭导致的粒子数不完全守恒的体系给出正确地描述。为了解决非相对论性矛盾，1926年，克莱因(O.Klein)和高登(W.Gordon)仿照单粒子的薛定谔方程，利用相对性原理得到了第一个相对论性波动方程即Klein-Gordon方程。但K-G方程自身依然具有许多问题。(1)*不是正定的，无法解释为粒子的位置概率； (2)总能量有负的本征值，而且没有下限，这将造成严重的困难，因为在量子力学理论中存在自发跃迁，因而这个方程的所有定态解将不断自发跃迁到

10、的能级。(3)同时方程是一个对时间的二阶方程，解此方程时除了需要起始时刻的外还需要作为初始条件；(4)由K-G方程计算氢原子能级所得到的结果与实验符合得不好；(5)这一方程除的自由形式之外，无法纳入量子力学的已有体系之中。然而又不能简单地否定这个方程，因为(1)这一方程的非相对论极限正是薛定谔方程；(2)由克莱因-高登得出的空间概率密度与非相对论薛定谔方程得出的结果十分相似.2上述分析表明，克莱因-高登方程既然是符合相对论的要求，上述的问题很可能不是有K-G方程导致的，而是由错误的波函数引起的。1.1.2 狄拉克方程的提出狄拉克认真的分析了上述的情况，他试图通过寻找相对论运动方程的另一个形式，

11、该方程为时间的一阶方程，同时作为该方程解的波函数依旧满足克莱因高登方程。于是狄拉克设想自由电子的运动方程满足下列形式的相对论方程： (1.1)其中为算符性质与泡利算符类似。在狄拉克方程提出不久之后，泡利用这个方程成功解出了氢原子的能级，并且得到的结果与当时的实验物理得到结果吻合的非常好。由此便可以证明狄拉克方程至少对于自旋电子系统是适用的。并且方程中的待定常数在其作用的希尔伯特空间中是与电子的自旋有关的。1.2 非线性量子力学狄拉克提出的自由电子的运动方程与薛定谔方程一样同为线性方程。线性量子力学体系下，微观粒子是以波包来运动得，并且随着时间变化以高斯波的形式在整个空间逐渐的发散出去。同时计算

12、表明这种发散的趋势无法在外场的约束下终止。这就表明外场势的状态对描述粒子运动状态的波函数无关，对于微观粒子的一些力学性质无法直接影响。这也就是说在量子力学体系中不存在一种已知力场可以从根本上阻止粒子的弥散运动。随着时间的演变粒子最终会从一个局域性波包变成一个分布于整个空间的高斯波。对于仅能以波的形式运动而无法局域化的微观粒子与实际生活中的粒子概念完全无法协调，这便成立该理论一个无法克服的理论缺陷。这便导致了微观粒子的色散性与分布概率表示等特点的出现。上述问题主要是由描述体系能量的哈密顿算符和运动状态的动量算符与粒子的本身运动状态无关和理论自身为线性理论导致的。以两个观点与经典的物理学观念格格不

13、入。一般来说处在不同状态的粒子，所具有的能量不会相同，这是因为粒子的能量与粒子所处的状态决定了粒子所具有的能量。这也进一步说明描述系统能量的哈密顿算符是与波函数有密切的关系的。如果引入了这种相互作用，粒子的特性便得到了改变，粒子随着时间演变而导致的弥散便可以阻止，从而使粒子能被局域化。另外，通常来说粒子的不同状态叠加后不在描述系统的原有状态。这也就是说线性叠加原理和线性薛定谔方程应该改变，使得理论更加的符合实际。非线性关系普遍的存在于各个系统中，特别是在多粒子体系中非线性关系更是普遍存在。1.2.1 近代非线性量子力学的概述在提到非线性量子力学时就不得不提及德布罗意所做的贡献。在20世纪20年

14、代德布罗意就在其著作中提出把一个体系的波函数认为是物理空间中真实存的场。他通过把设想成是描述场与粒子之间一种本质的耦合。并由此来解释电子的衍射和干涉现象。之后他在J.de Physique 上发表的“波动力学与辐射的原子结构”一文中提到双重解理论。他认为量子力学方程允许存在一类具有统计意义并且可以归一化的连续解，并假设其仅仅具有统计意义，由此可以排除其描述物理波动。另一类具有奇点与定域的意义的波，粒子的其他具体特性可以同过该波函数推出。通过扩展单色平面波公式广，同时利用引导公式来规定粒子波的传播规律，由此表示它在波中的运动。这也就意味着在波中运动的粒子一种力的约束，该力的性质可以从“量子势”中

15、导出，此势与普朗克常数平方成正比。若该粒子的波函数为平面波形式，那么它所具有的量子势为零。1950年左右，德布罗意完善了“双重解理论”。但满足波函数的具体非线性方程形式并未给出。此外，该理论在描述单粒子的基态和多粒子体系时遇到了严重的困难。由于缺少实验的支持，该理论只有少数人的支持，并且一直未得到发展。但是由该理论所提及的“量子势”概念却引起了很多人的关注。1952年玻姆提出定域隐函数理论并且提出把作为量子势的具体表达式，其中 R是可归一化波函数的振幅。玻姆在粒子的运动方程中引入量子势，并认为具有超距作用的量子势将使量子测量过程受到干扰。1966年玻姆-波布提出的隐函数理论中，并且他们在薛定谔

16、方程中再次加进量子势和非线性作用，并试图通过客体、隐函数和环境之间的关系来研究这个非线性项所满足方程的具体形式，依此来研究量子势与非线性项所引起的粒子性质的改变情况，使得微观粒子变化可测的。然而，该理论最终未能得到理想的结果。虽然很多的工作没能从根本上改变量子力学存在的问题，但却给我们指明了解决问题的方向和更加深刻理解理论存在的问题。(1)量子力学并非是最终的理论，它也需要改进和发展，在以后的一段时间中发展始终是量子力学的主题。(2)改进量子力学的目的是为了使微观粒子局域化，使之成为具有波粒二象性的物理粒子。(3)量子力学改进的方向就是建立非线性量子力学，把非线性相互作用加进薛定谔方程，使粒子

17、性质改变。然而，引入非线性相互作用是否就是的非线性作用或量子势，依旧是值得研究的。这就是说，对于微观粒子体系，如何正确的引入非线性相互作用形式是值得深入和广泛研究的。非线性理论主要起源于孤子理论，自从1834年英国工程师罗素第一次观察到孤波开始，一直到1965年扎布斯基(N.J.Zabusky)和克鲁斯卡(M.D.Kruskal)解出了KdV方程的数值解时发现孤波相互作用后能保持各自波速不变的粒子性质并将其称之为孤子，自此之后孤子和孤波的概念才广泛的应用于物理学的各个领域。目前从等离子体、流体力学、凝聚态物理、光学、基本粒子物理乃至天体物理，都发现了孤子存在的实验事实或者物理机制。1.2.2

18、非线性方程一般解法实际上在自然界中，非线性现象才是最普遍的，非线性才是自然界的本质，描述一个现象的物理规律在一定近似下大多可以建立数学模型。研究非线性物理中的孤波现象，就必须求解描述物理学各领域相应规律的非线性方程，包括非线性常微分方程、非线性偏微分方程、非线性差分方程和函数方程等。如今非线性物理的研究，特别是孤子理论的研究，使得很多非线性方程可以精确求解了。这些方程主要有burgers方程、非线性Klein-Gordon方程、KdV(korteweg-de Vries)方程、Boussinesq 方程、mKdV方程、BDO(Benjamin-davis-ono)方程、KdV-burgers-

19、Kuramoto方程、非线性薛定谔(NLS)方程、非线性狄拉克(NLD)方程、Fisher方程等。3求解非线性方程的方法有分多种。例如试探函数法4、Darboux/Bcklund变换法5、tanh函数法6、Hirota双线性算子法7、Backlund变换法8、jacobi椭圆函数法9与F展开法10-12等。近年来随着椭圆函数和一些非线性演化方程之间的关系的研究，展开法特别是-展开法13和F-展开法，引起了广泛的关注，并且这些方法在寻找行波解时是行之有效的。行波在在描述众多的复杂物理现象中取得了很大的成功，特别是在对自旋场中Thirring模型下的耦合多组分非线性狄拉克方程的求解是行之有效的。并

20、且由于旋量场中的Thirring模型符合有非线性狄拉克方程描述的以为相对论费米理论所得到的精确解而且与量子场论中的Sina-Gordon模型很类似，这些特殊的性质引起了众多研究者的兴趣。第二章 非线性狄拉克方程的F-展开法求解过程2.1 Thirring 模型与F展开法的概述本文正是在此研究背景下，利用F展开法对Thirring模型中的一维带参非线性狄拉克方程精确求解。2.1.1 Thirring模型定义Thirring模型是完全可解且协变的(1+1)维二分量狄拉克旋量的量子场论14。我们把Thirring 拉格朗日量表示成如下形式：我们称上式为Sommerfield 拉格朗日量对于Thirr

21、ing 拉格朗日量的更一般的形式为由Charles Sommerfield 与20世纪60年代得出。在中通常存在着二分量狄拉克旋量、自旋为1的场和一个完全反对称张量场。在拉格朗日量中我们默认给出了经典流形的定为。该模型是一个描述狄拉克费米子与局部相互作用的特殊的(1+1)维模型。事实上由于仅存在4个独立的场并且考虑泡利原理时，我们得到所有的四次方局部作用是等价的，并且在高能作用下局部相互作用会消失。(其中包含有导数的相互作用，例如，并未考虑在相互作用形式中，因为它们都是非重正化的)。Thirring模型的关联函数验证了Osterwalder-Schrader公理15。所以理论上有理由把它作为量

22、子场论。并且无质量情况下Thirring模型在已知n个点场的相关公式已知情况下是精确可解的。2.1.2 F-展开法一般求解过程提出F 展开法最初是为了概括jacobi椭圆函数展开法， 即用满足雅可比椭圆方程(辅助常微分方程)的抽象函数F代替具体的雅可比椭圆函数，从而大大简化了计算，想要得到雅可比椭圆函数展开法的结果时只需要查询函数F 与雅可比椭圆方程系数之间的关系表即可。准确地说, 非线性数学物理方程的解一般都可以表示成关于F 的多项式形式, 其中F 的最高次数由非线性数学物理方程中占支配地位的最高阶导数项和最强的非线性项的齐次平衡来求出, 同时F 满足辅助常微分方程。已有文献中辅助常微分方程

23、的部分解已明确给出, 但这并不表明只有这些已有结果, 若能得到辅助常微分方程新的有意义的解, 根据F 展开法, 就可求得诸如，非线性波动方程，K-D(Konopelchenko-Dubrovsky)方程等多种非线性数学物理方程相对应的新的精确解；此外F 展开法中选用的辅助常微分方程还可选取其它著名常微分方程如：tanh方程、log-方程与指数方程或者也可以选用一些可积耦合的非线性演化方程，已选用的方程有Riccati 方程、Riccati 方程组投影与一般方程等。F展开法用于求解具有以下形式的偏微分方程 (2-1)其中H及其各阶偏导数都是由组成的多项式。F展开法的基本思想是用多项式表示未知函数

24、，定义为； (2-2)其中是常数。在等式(2-2)的两端乘上，化简得的表达式： (2-3)我们把未知函数表示成如下形式 (2-4)将方程(2-4)带入原非线性偏微分方程(1)中利用式(2-2)和(2-3)通过权衡最高导数项和非线性项来确定m.而(1)式中的H则可以表示为多项式加上多项式。设的所有项的系数为零可以求解方程(2-1)。这将产生一组关于的超定代数方程，如果这组代数方程能被最终求解，那么在式(2-4)中的未知函数则可以被精确求解。2.2非线性狄拉克方程形式我们考虑如下形式的非线性狄拉克方程16-17 (2-5) (2-6)其中参数化非线性项为 (2-7)当对应于Thirring方程下的

25、情况。将式(2-7)带入方程(2-5)和(2-6)中得到 (2-8) (2-9)用归一化坐标和函数让上述方程的系数为1，简单的推导可得，得到 (2-10)方程(2-10)具有以下的一般解 (2-11)其中p，q为常数。我们在接下来的步骤中对式(2-8)，(2-9)，与(2-11)进行配凑。2.2.1 非线性狄拉克方程求解概述应用F-展开法之前，我们回顾下(2-8)，(2-9)，(2-11)中提出的问题并且假设有如下形式的行波解 (2-12)其中，k为常数。将(12)式带入(8)(9)得到虚数部分为 (2-13)实数部分： (2-14)让方程组(2-13)与(2-14)分别相等，很容易得到， (

26、2-15)将式(2-15)带入(2-13)与(2-14)得到 (2-16) (2-17)其中，如果我们定义 (2-18)联立方程(2-16)与(2-17)消除我们得到关于的方程(2-19)现在我们仿照式(2-4)把F展开法应用到，则可以表示成的多项式其中已在(3)中定义过。不难看出，通过平衡式(2-19)中的非线性项和最高导数项，我们得到时，与之间存在线性关系。所以我们能把表示成的三阶多项式，表示成的二阶多项式。与仿照上述方法表示成的多项式。将式(2-19)改写成的多项式我们可以得到当取非零值时 (2-20)当， (2-21)其中，和为待定系数2.2.2 简化与讨论我们逐一的来考虑上述两种情况

27、情况：将(2-20)带入(19)我们得到一个三项多形式，令每项前面的系数为0我们可以得到如下代数式解得，其中，。 (2-22)由(22)与(20)联立可以得到的精确解其中是任意常数，联立(12)(18)(23)(16)我们得到 (2-24)其中为，为。情况：与情况类似我们得到，与情况(i)中令特殊情况一样，所以关于的公式仅适用于(2-23)式中的第一种情况。其中，由(24)式可得。结 论在上一节，我们得到了系数的解析表达式和相位和，特别是当我们可以得到 (25)其中，为归一化常数。当时该模型就变成了传统的Thirring 系统，其中(25)式有以前计算出的结果符合18.因此，在本文中，通过参数

28、化非线性狄拉克模型，同时抓住系统的主要非线性特征亮孤子型解，我们证明了最终的解的形式，而且它对幂指数中出现的非线性参数具有很强的依赖性，这也就表明F-展开法在求一大类广义非线性狄拉克模型精确解中具有很强的实用性。参 考 文 献1 庞小峰. 非线性量子力学. 电子工业出版社，2009:9-142 哈兴林. 高登量子力学. 高等教育出版社，2001:207-2113 吴国将. Jacobi椭圆函数在求解非线性发展方程中的应用. 安徽大学硕士学位论文. 2007年:2-44 冯庆江，李岩，杨利垚. 用试探函数法求Zakharov-Kuznetsov方程的孤子解. 长春大学学报，2010,20(6):

29、27-285 Matveev, V. A., and M. A. Salle. 1991. Darboux Transformation and Solitons. Springer.6 Malfliet, M., and W. Hereman. 1996. “The tanh method: I. Exact solutions of nonlinear evolution and wave equations,” Phys. Scr., 54(6):563.7 Hirota, R. 2004. The direct method in soliton theory. Cambridge U

30、niversity Press, Cambridge.8 李沿光. Backlund变换理论发展简述及其新方法. 力学进展，1991，049 王晓丽，张鸿庆. Jacobi椭圆函数展开法及其应用. 烟台大学学报，2003,16(02)：94-9710 Abdou, M. A. 2007. “The extended F-expansion method and its application for a class of nonlinear evolution equations,” Chaos, Solitons and Fractals, 31(1):95-104.11 Zhou, Y., M. L. Wang, and Y. M. Wang. 2003. “Periodic wave solutions to a coupled KdV equations with variable coefficients,” Phys. Lett. A, 308(