周期拟小波在解积分方程中的应用

1、 毕业设计（论文）题目： 周期拟小波在求解积分方程中的应用 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 姓 名： 宋一格 指导教师： 王杰 本文摘要在20世纪80年代以来，出现了一个迅速发展的数学分支-小波分析。小波分析的理论意义深刻同时应用前景广阔。Fourier分析是小波分析的基础，但是与Fourier分析不同的是，小波变换与Fourier变换、加窗Fourier变换相比，它是一个自适应局部自适应的时间及频率的变换，拥有不错的时-频定位特性及多分辨能力，于是它能有效地从信号中提取有价值的信息，从而解决Fourier变换难以解决的部分问题。在近现代数学发展中，积分方程占有重

2、要的地位。如何解积分方程，是我们一直以来追求的问题，然而具体积分方程（组），往往很难求出它的精确解。本文所作的主要工作有：小波分析的一些基础知识及发展前景的总结归纳；2关于周期拟小波的定义的等价刻画的深入探讨；3用周期拟小波的积分方程的快速算法求解第二类Ferdholm积分方程）；4 Galerkin逼近的方法的收敛性的进一步探讨。 关键词：小波分析 第二类Fredholm积分方程 Galerkin逼近 周期拟小波 ABSTRECT Since the 1980s, the wavelet analysis has developed rapidly as a mathematic branc

3、h. It has a profound theoretical significance as well as a promising prospect of application. The foundation of the wavelet analysis is Fourier analysis. But different from Fourier analysis, through the wavelet analysis people can find the changes of the time together with the frequency, and use the

4、 information to solve part of the problems that are unable to solve by Fourier analysis. In addition, the integral equation plays an important role in the development of modern mathematics. We have been pursuing the solution to the integral equation for a long time. However, it is often difficult to

5、 find out the exact solutions to specific integral equation (Group). The main achievements of this paper are: 1. Summarize the basic knowledge of the wavelet analysis and its development outlook; 2. The precise definition of periodic quasi wavelet; 3.Solve the Fredholm integral equation with periodi

6、c quasi wavelet;4. Further research on Galerkin approximation method. Keywords: wavelet analysis Fredholm integral equation Galerkin approximation 目录本文摘要2ABSTRECT3第一章 小波分析的发展历史和基本理论51.小波分析的产生与发展51.2 小波分析理论与傅里叶变换51.3小波定义及必要基础知识61.4 小波变换的一些知识8第二章 周期拟小波理论及用其解第二类Fredholm积分方程92.1引言102.2小波与积分方程的研究现状102.3样

7、条和周期拟小波112.4求解积分方程的拟小波算法122.4.1 离散化：投影到Vm122.4.2 线性方程组的分裂132.4.3 近似多尺度策略13第3章 小波理论的应用前景14致谢15参考文献16第一章 小波分析的发展历史和基本理论1.小波分析的产生与发展小波起初最先被地球物理学家在工程中用来分析通过爆炸方法产生的由人为造成的地震数据，用于发现油田，勘探矿产等通过分析即可得到地表下岩石矿物层的“图像”。事实上，地球物理学家们是第二次发现小波，很多数学家早在几十年前就用它来解决一些抽象的数学问题，只是没有期望应用在信号处理领域。20世纪八十年代初，A.Grossman和J.Morlet首次提出

8、了小波的概念。而后多年，小波的发展壮大，是因为其新的数学工具的作用，被诸如信号接收领域，现代流体力学等等所需要，所研究。近年来，Helmholtz方程及其数值解法吸引了很多科学家，发表了大量的论文其中相当一部分的这类积分方程数值解法讨论了Galerkin逼近，配置法和类配置法的应用及其误差分析。1.2 小波分析理论与傅里叶变换 小波分析理论继承与发展由Gabor变换带来的局部化思想，其可以使窗口函数自动地平移伸缩。其根源可追溯到Haar提出的Haar基，早在1910年，这个就是最简单的小波基函数。可是由于Haar基的不连续的性质，小波分析并没有得到足够的重视。时至1981，Stromberg通

9、过对Haar给定的系数的修正并引入了Soblev空间正交基，这是规范的一组正交小波基，此举为小波分析接下来的发展打下坚实数学基础。在1988年，比利时女数学家Daubechies第一个构造出具有紧支集的光滑小波，使小波分析理论系统化，她的著作Ten Lectures on Wavelet（小波十讲）对小波分析的普及应用起了重要的推动作用。同短时傅里叶变换，傅里叶变换相比，小波分析是时-频的局域化分析，它使用平移伸缩变换，可以达到低频频率细分，高频时间细分，能够自动的适应视频信号分析的需求，成为继傅里叶变换之后科学方法上的一个巨大突破。小波分析尚不能完全取代傅里叶分析，由于傅里叶分析应用于长时间

10、且更稳定的信号处理情景中更为合适。小波变换是由STFT的另一种形式推导而出，傅里叶分析对于小波分析中不可或缺的小波基的构造也起到了巨大作用。两者时间相互补充，相得益彰。但值得一提的是，小波分析比傅里叶分析在瞬时信号检测方面有巨大优越性：（1）灵活性：小波基函数只要满足允许小波的条件就可行，并不是唯一，于是会有诸多构造小波的方法，就像：样条小波（Spline Wavelet），Harr小波，Marr小波等。不同的小波为了达到最佳效果，可分别用于逼近不同特性的信号，由于他们的特性不同。然而傅里叶变换逼近效果不甚理想，因为它只可用正弦函数来逼近任意信号无选择余地。(2)快速性：从尺度函数和两尺度关系

11、来推导出小波系数十分容易，甚至不用知道小波函数解析式亦可得出结果。然而小波分析确不会丢失细节。需要时可将频带细分，起”数学显微镜“的作用。从这一点上来看，傅里叶分析无可比拟。（3）双域性：小波分析可在时-频两域内揭示信号特征，是时频分析。在测不准关系约束下，它具有着较宽的时间窗，在频率较低时；具有较高的频率窗，在频率较高时，于是在瞬时分析方面表现出色。这个在于傅里叶分析的单域性相比优势突出。若将傅里叶分析用于分析瞬态信号，会丢失其局部信息，产生的较大的难以接受的分析误差。1.3小波定义及必要基础知识Grossman和Morlet给出了小波的第一定义： 对于任意的tL2R，如果t的傅里叶变换能达

12、到可容许条件:-+2d则我们称t是一个基本小波（母小波函数）。Littlewood-Paley-Stein 理论修改而成小波第二定义：L2R上的函数t是一个小波，如果它的傅里叶变换小波几乎处处满足条件：-+2-J2=1由Franklin和Stromberg给出了第三定义：L2R上的函数t是一个小波，如果222Jx-k;j,kZ是L2R的一个正交基，此小波就满足第二定义给出的条件。基本小波必须满足如下条件： -+t2dt=1 ,即基本小波是单位化的； -+tdt，即tL2R有界； -+tdt=0，即基本小波平均值为零；在大多数的情况中，对所有mM（m和M为整数）有。这个表示基本小波必须非0且均值

13、等于0. 母小波t缩放a倍并平移b单位得到： -+tmtdt我们把a,bt叫做小波基函数（小波）。它由一个基本小波经过伸缩平移产生二维空间的基底，依赖参数a与b的选取。其中a，b称为尺度因子和平移因子。接下来我们讲小波函数的性质小波函数定义域具有紧支撑性（在一个很小的区域之外，函数值为0）。于是，小波函数具有速降性，是其在时-频域都有较好局部特性，以便把空间局域化。均值为0，即-+tdt=0，并且t高阶矩亦为零，即：-+tmtdt，k=0,1,m-1均值为0的条件被叫做小波的容许条件（admissibility condition），我们可设c=-+2d其中， =-+te-itdt， c是有限

14、值，这意味着在c=0处连续且可积，此时=0才有意义，于是，=-+tdt=0显而易见，“小波”即为小的波形，小指它的衰减性，某个极小区域外会迅速下降为0;”接下来说说，讨论周期小波需要的傅里叶分析的相关知识。我们考虑周期为1的函数空间，L0,1:=fx|fx=fx+1,01fx20即可允许小波具有的线性性，平移性，伸缩性。连续小波变换具有一个很重要的性质，它与加窗傅里叶变换（短时傅里叶变换或者Gabor变换）相比具有不同的时-频窗。本章节主要讲述了小波分析的发展历程和小波的一些基本概念和用小波分析解决问题的基本知识，为接下来一章用周期拟小波解第二类Fredholm积分方程来做铺垫。 第二章 周期

15、拟小波理论及用其解第二类Fredholm积分方程2.1引言我们试着来求解下述积分方程:ux=02uyax-ylog2sinx-y2+bx,ydy+gx,x0,2其中,at=a0+a1(t)sin2t2a0为常数，bx,y为一连续函数，并且对任何变量都是周期为2的周期函数，a1(x)和g(x)都是连续的周期函数。这个方程来源于二位Helmholtz方程的外边值问题。与此同时，此方程也可由共形映照问题到处，共形映照的用途也愈加繁多。最近几年，学界诸多数学家在致力于研究Helmholtz方程及其数值解法，也发表了大量的论文，其中相当一部分的论文用Galerkin逼近、配置法和类配置法的应用及其误差分

16、析来讨论求解这类方程的数值解法。小波最初是用来信号和图像处理，现在已被用于求解积分方程。最近，由Z.Chen，C.Micchelli和Y.Xu提出了一种新的方法，他们利用了Petrov-Galerkin方法结合小波对一类积分方程进行求解，计算复杂度为O（NlogN），其中我们用N表示未知量个数.还有作者提出了一种求解Laplace方程与Helmholtz方程的多尺度算法，复杂度为0NlogNbb0。以上方法共同之处在于：用小波基进行离散化方程以后，所得的刚度矩阵（stiffness-matrix）可以近似为拟对角矩阵，因此可找出一种快速算法。在本章中，我们采用周期小波求解上述方程，由于结合了周

17、期拟小波、离散傅里叶变换和样条，是的刚度矩阵的奇异部分可以对角化，与我们往常用的截断刚度矩阵的做法不同之处在于，我们采用一种全新的方法用于求解所得方程组。与此同时，我们吸收了多尺度策略（Multiresolution Strategy），以便得到快速方法。本章将提出一个新的算法用来求解该积分方程，而复杂度仅仅为O（NlogN），如果刚性矩阵已算好，求解方程组的复杂度为O(N)。同时，由于周期拟小波是基于B-样条的，从而使得Galerkin逼近拥有多项式阶的收敛速度。2.2小波与积分方程的研究现状近年来，小波分析发展迅速，诸多数学家用小波求解到积分方程问题，由于在很多前沿的物理学科研究过程中，积

18、分方程的求解问题举足轻重。可是我们在实际中遇到的积分方程，大部分不能或者说很难求出它的精确解析解，大多数情况下，近似解或者数值解是可以得到的。小波理论的出现使我们利用小波基去分解求解积分方程可以得到出色的误差极小的数值解。时至今日，计算数学的发展迅猛，这主要归功于电子计算机的出现。在解决科学与工程方面的问题中，得到应用最广泛的就是有限元法及边界元法。位势理论与积分方程受到学界很大重视，它们就是上述两种方法的数学基础。本章将简要讨论第二类Fredholm积分方程组的小波近似解的算法。求解积分方程的近似解的方法法大致分为两种：一类如逐次逼近法等，是对解析解法的近似计算，：另一类把积分化为代数方程组

19、、变分问题求数值解等，核心思想就是把复杂问题化成便于进行数值计算的其他问题。近似方法是国内外众多学者所关注的核心问题之一，这导致了其发展迅猛，精度不断增高的同时解法愈加简单。2.3样条和周期拟小波 令n1为一个奇整数，Kn+1为一个整数，h为一个正的实数，令T:=Kh，hm=T/K(m)，其中Km=2mK，点集ymv的定义为ymv=v-n+12hm。我们定义B-样条如下：Bjnx,hm=-1n+1yn+1+jm-yjmyjm,yj+n+1myx-y+n1n!hmnk=0n+1-1k(n+1k)x-yjm-khmn 定理： Avn,mx满足如下双尺度方程：Avn,mx=avn,m+1Avn,m+

20、1x+bvn,m+1Av+K(m)n,m+1x 其中avn,m+1=Cvn,mcosvKm+1n+1/Cvn.m+1bvn,m+1=Cvn,msinvKm+1n+1/Cvn.m+1这里0vK(m)-1。为了解上述方程，我们还需引入周期拟小波的概念函数集Dvn,mv=0K(m) 是空间Wm的一个标准正交基，并且Vm+1=VmWm. 我们把Avn,m叫做父拟小波（father quasi-wavelet）； Dvn,m则叫做母拟小波（mother quasi-wavelet）。 之所以把“拟”加在小波前面是因为这类小波与传统小波不同. 设Pm,Qm分别是由L20,T映射到Vm和Wm上的正交投影，令

21、则我们可得出如下结论由上式定义的系数和，我们能得出以下分解公式：而重构公式则为：其中v=0,K(m)-1.定义我们记矩阵上半部分为，下半部分为。因此我们可得2.4求解积分方程的拟小波算法2.4.1 离散化：投影到Vm首先将上述积分方程改写成算子方式：u=Tu+g（2.4.1.1）我们要求积分方程的数值解，首先要对其进行离散化而后，得到线性方程组再用Galerkin逼近对其求解。我们可得出一个（2.4.1.1）的逼近：um=PmTum+Pmg （2.4.1.2）其中Pm是由L20,到Vm的一个投影算子。由于 Ajn,m是Vm的一个标准正交基， 我们可设um=j=0km-1SjmAjn,m Pmg

22、=j=0Km-1gjmAjn,m （2.4.1.3）将（2.4.1.3）带入(2.4.1.2) 中可得:sjm=k=0km+1jkskm+gjm(0jKm-1) （2.4.1.4）因此我们的任务就变成了求解方程（2.4.1.4）2.4.2 线性方程组的分裂定理2.4.2.1 Em=diag(e00m,eKm-1,Km-1m) 我们可以得到WmTWm=HmTHm+LmTLm以及。其中Im是KmKm 单位阵我们可把方程(2.4.1.4) 改写成 （2.4.2.1）2.4.3 近似多尺度策略在接下来的讨论中，我们会用近似多尺度的策略（Multiscale Strategy）思想来求解方程（2.4.1

23、.4）。即我们从方程组（2.4.2.1） 解出sm-1m和dm-1m，方程（2.4.1.4） 的解则可以重构得到。多尺度的策略就是从方程组（2.4.2.1）中解出dm-1m，换句话来说，就是用sm-1m来表出dm-1m。我们很难求出精确解，用近似解来代替，方程两边同时乘。可得出:（2.4.3.1）舍去上述方程最后极小的量，将上述改写为我们只需从下述方程解出:与此同时，再之后的计算复杂度分析与Galerkin逼近的收敛性以及，用小波来解第二类Fredholme积分方程的误差分析我们就不在这里讨论了。于是，我们本章最开始所提到的方程我们可得出了他的近似解（数值解），这归功于小波兼有光滑性和局部紧支

24、撑等，与传统的有限元、有限差分等方法相比，可以更好的处理积分方程的数值求解问题。本文只是把Fredholm积分方程组进行求解。其他积分方程的小波解法有待进一步探讨。第3章 小波理论的应用前景小波理论诞生至今已三十年有余，进展明显，从古朴的自然科学到新兴的高科技领域，小波分析所带来的局部化革命在方方面面造成了巨大的冲击。在诸如图像处理、语音分割与合成、新号信息处理、工业CT、ICT、雷达分析、流体力学、机器视觉、故障诊断、等众多领域取得极佳的应用效果，形成多次研究浪潮。在世界范围内，随着时间推移，研究小波的人数越来越多，有人戏称小波将变为改变世界的“大波”。在我看来，小波分析还有更广阔的光明前景

25、，主要原因如下：（1）小波理论尚未完善。高维小波、向量小波的研究并不像一维小波的研究那么完善。（2）最优小波基选取方法的研究。完美适应任何情况的小波基目前并不存在，若存在，此小波基如同傅里叶变换中的正弦函数一样，于瞬态信号分析几无作用，于是，小波基的优化选择是小波理论研究的重中之重。（3）在人工智能、模糊识别等智能信息处理的领域的研究，如果无小波理论嵌入难以取得突破。（4）截至目前，小波分析在应用层面的软件十分缺少，远远不像傅里叶变换的算法和软件的成熟完善，更无大型且系统的小波分析软件。（5） 小波分析应用领域广阔但是，效果极佳的领域并不多，需要广大学者和科技工作者孜孜不倦的努力。小波理论应用

26、的时候，往往会将小波作为一种基与被分析的函数或者信号作内积而展开。但事实上，应该考虑基前的预处理和基后的善后处理，与其他种种方法相结合，而不是仅仅将小波作为一种基来展开。傅里叶分析是小波分析的基础，小波分析可处理一切问题，舍弃傅里叶变换的观点是不正确的。迄今为止，小波分析的研究成果多是理论上应用数学的成就，如何在工程方面未取得广泛应用和较大进展是一个值得深入探讨且意义巨大的问题。因此，小波分析应用研究的价值极大。致谢诚挚感谢王杰老师对于本文的指导。参考文献1周期小波理论及其应用.彭思龙.李登峰.谌秋辉北京；科学出版社.20032小波与傅里叶分析基础.Albert Boggess著.芮国胜.康健

27、.等译北京；电子工业出版社.20033小波变换及其工程应用.李媛等著北京；北京邮电大学出版社.20104小波基础理论和应用实例.李登峰.杨晓慧编著北京；高等教育出版社.20105Wavelet-Galerkin solutions For One-dimensional partial differential equations. Amaratunga K, Williams J R, Qian S and Weiss J Internat. J Numer Methods Engrg 19946Fast Wavelet transforms and numerical algorithms. Beyylk