第三章矩阵的标准形与若干分解形式-1

1、第三章矩阵的标准形与若干分解形式1矩阵的相似对角形一、知识回顾1. 线性变换在两组基下的矩阵相似，相似变换矩阵是两组基下的过渡矩阵。2. 特征值与特征向虽:，特征子空间匕及其维数，特征值的代数重数与几何重数。3. 矩阵与对角形相似的充要条件：有“个线性无关的特征向量。-2入_%_4. 矩阵与对角形相似的充分条件：有个不同的特征值。 若A为“阶矩阵，矩阵xzi - a =称为A的特征矩阵。又多项式/(2) =1 AE-A 1= Z + a- + + 纠加 + + an称为A的特征多项式，这里=-tM, =(l)IAI,是A的所有祁介主子 J-1式的和与(_1)，的乘积。trA叫A的迹。属于矩阵A

2、的同一个特征值人的所有特征向量连同零向量一起，构成一个线性空间VA1，称为A的特征子空间。特征子空间的维数不超过特征根无的重数。二、寻找矩阵的相似对角形的方法例31研究下列矩阵是否能与对角形相似5 6122310 (1) A =-1 01，(2) A =212，A =-4 -10o1 2-12214 一8一2提示：(1)入=2,人=1 + 馅，A, =1-73；-f331，x2 =-1,X3 =-10.2_E_2 + V3_-2103-12-V33-12 + V3(2) 2| = 22 = -1,几3 = 5 ：10f2 -1 -f011:宀丄3-1 2 -1一1 -111 1 1例32设A=

3、 -3 -5o ,求q的相似对角形及人观。(3) =1,23=-2；人的特征子空间是一维的：不存在三个线性无关的特征向量。一3 -6 12矩阵的约当标准形当矩阵4 =(佝)U严不能和对角形矩阵相似时，能否找到一个构造比较简单的分块 对角矩阵和它相似呢？当我们在复数域C内考虑这个问题时，这样的矩阵确实是存在的，这 就是约当(Jordan)形矩阵，称之为矩阵A的约当标准形。定义 若数域P上多项式/(刃册(刃,gd)满足/(刃= g“)g),则称g)整除 /U),记为 (2) I f(A) o定义31设/(2)(2)是P上多项式，如果存在P上多项式(刃满足(1) d(A) I /(2), d(Qlg

4、(2)(即仇)可以整除/(2)(2)；(2) 若有P上多项式仏，(2) 1/(2), /(刃lg(/l),则有d (2) I d(A),则称 是的一个最大公因式，记(/(2),(A)表示首项系数为1的最大公因式。三个多项式的最大公因式(/(刃息“)/“)可泄义为 (/)，g)，/?)1. 行列式因子设A = (.) e CMXM , AE-A是A的特征矩阵，记为A(2) o定义3-2A(2)中所有非零的阶子式的首项(最髙次项)系数为1的最大公因式 2)称为A)的一个斤阶行列式因子(k = 12丿)。 并且q(a)iq(2)( = 2,3,屮)。例3-3求下列矩阵的特征矩阵的行列式因子:-11:

5、(2) A =_ 2_1(1) A =2. 不变因子，初等因子 定义33下列川个多项式2(刃d2w称为A(2)的不变因子。把每个次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式的方幕的 乘积，所有这些一次因式的方幕(相同的必须按出现次数计算)，称为A(2)的初等因子。由于这里的A(2) = AE-A完全由A决込 所以这里A(2)的不变因子及初等因子也常 称为矩阵A的不变因子及初等因子。例34求下列矩阵的不变因子及初等因子-11 2o-2:(2) A =0 201-2 -2-1. 2.(1) A =-b例3-5设（各个勺H0）求A的初等因子。3. 约当标准形设矩阵A的全部初等因子为：（久_人）驚仇儿

6、户，,（2_入户。相对于每个初等因子（2 -入）构造一个人阶的Jordan矩阵块:由所有这些Jordan块构成的对角矩阵称为矩阵A的Jordan形矩阵，或A的约当标准形。定理3-4每个阶复数矩阵A都与一个约当形矩阵丿相似PAP=J；除去约当块的排列次序外，约当形矩阵丿是被矩阵A唯一决泄的。这个建理用线性变换的语言来说就是：设T是复数域上维线性空间V的线性变换，则在V中必泄存在一个基，使T在这个 基下的矩阵是约当形矩阵；除去约当块的排列次序外，这个约当块矩阵是被T唯一决立的。推论 复数矩阵A与对角形矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为一次因式。注意：由于UE-AI=I AE-JH AE - J1

7、 l-UE2 - J2 I I AEX - J s I=(兄一人卢(几一禺卢(2 人)灯所以约当形矩阵/的主对角线上的元素人,兄2,厶全为A的特征值，并且但r-1丿时可能有人=久厂 故心不一泄是A的忍重特征根，故一般由矩阵的特征多项式不能 写出矩阵的约当形矩阵。 2 -1 -1例36求矩阵A= 2-1 -2的Jordan标准形及所用的矩阵代一1 1 2：-2 1 1100解：(1) AE-A =2 A + 202-12A-21 1 兄一20A-1一才+4/L 31000兄1000-(2-1)21 所以A的初等因子为2-1,(兄一 1尸，故A的Jordan标准形为丿=1。 1 1_(2)设 P

8、= (x1,x2,x3) 0 由 PAP=J ,得 A(x1,x2,x3) = (x1,x2,x3)J , 即(AxIMx2Mx3) = (x1,x2 +x3,x3)o 于是有(E-/1比=0(1)(-心2 =-X3(2)(*-4凤=0(3)方程组(1)、(3)的基础解系为：勺=(1,1,0)，e2 =(1A1)取X=(1,1Q)，而x3 = qe! + c2e2 = (q + c2,q,c2)r。为使(2)有解，选择 ci 的 值是下而两矩阵的秩相同:E A= -212 2-1-1-1 1 1111 Cj + C?2-222C1-1-1C2的 ci=29 C2=-l o 所以 X3 =(12

9、1)7将所求的心代入方程（2）并解之得:X2 = (1 丄 1)厂 1易证xHx2,x3线性无关。P= 101121-11例3-7求矩阵A= -36 0-50特征多项式、初等因子及约当标准形。-6 -1解易得A的特征多项式为/（2） =1 AE-A 1= （2 一 I）（几 + 2）并且可以求得不变因子为（2） = 1, 2（几）=2 1，3（兄）=（2一1）（几 + 2）故初等因子为A 19 A 1 2 + 2因此约当标准形为对角形矩阵1 J =1-2dx、di例-求线性微分方程组今一坷化的通解。解:z/y方程组可以写成肪=*-1貝中A= -41x = (xpx2x3)r .(1)求A的初等

10、因子及Jordan标准形。J =(2)求相似变换矩阵。P =-1(3)作满秩线性变换x = Py，其中y =（必2*3儿则有 = PAPy即dt(*)（上述过程实际上是将系统解藕的过程）。（4）求（*）的通解.进而求原方程组得通解.0 0 1 x = Py =0 1 2k尼1 -1 -1(k2t+k3y例39利用约当标准形证明：若n阶矩阵A的特征值为人，凡,则半的特征值 为智,，船证明：设人的约当形矩阵为其中因丿=PAmP但是有片J=J?*-:.j:.*显然广的特征值就是丿的特征值的加次幕，而相似矩阵有相同的特征值，故的特征值 就是尸的特征值，即A （或丿）的特征值的加次幕。证毕。3哈密顿一凯

11、莱定理及矩阵的最小多项式一、哈密顿一凯莱（Hamilion-Caylcy）上理泄理1每个矩阵都是它的特征多项式的根。即若矩阵A的特征多项式是/（2）= aE-A =才 + 绚A + a”，则有/（A）= A +4/心 + + all_lA + allE = 0 o3-6证明：设3仇）是AE-A的伴随矩阵，则B（XAE-A） = AE-AE = f（a）E。3-7由于B（/t）的元素都是次数不超过n-1的兄的多项式，所以B（Q=沪 B（）+ + B”_|。英中E为阶数字矩阵。于是有-A） =才 + AH-*（B, - BA）+ 兄（5- Bn_2A）- B_A。 3-8注意到 /（2）E = /

12、E + aZ_1 + + a,.AE + aE ,3-9由等式3-7, 3-8, 39即得：B0=EB、一 B（）A = axEB-i f = %E -BA = anE以AAn-,AyE-次右乘上面的第一式、第二式，第+ 1式，并将它们加起来， 左边为零，右边即为/（A）o 1 0 2_例 3-8 设人=0-11,（A） = 2A8 - 3A5 + A4 + A2 - 4F o0 1 0泄义：方阵A的零化多项式：使0（A）= 0的多项式讽可。注：如果多项式加兄）的次数比0（兄）的高，则在计算0（A）时，存在一个次数比0（/1）低 的多项式r（2）,使得0（A）=尸（A）。事实上，用卩 去除0，

13、得： （2）= /9（2（z）+r（2）o 将 A 代入即可。二、矩阵的最小多项式能义34设A是“阶矩阵，则A的首项系数为1的次数最小的零化多项式?（&），称 为A的最小多项式。2. 最小多项式的性质（2）+r（2）o则儿4） = 0。由于加（兄）是最小多项式，只能有“财 是零多项式。（2）矩阵A的最小多项式是唯一的。证明：用结论（Do若有两个最小多项式，则它们互相整除，且都是首一多项式，只能 相等。（3）相似矩阵的最小多项式相同。证明：设B=P AP,贝I对于任一多项式（几），有p（B）=Plp（A）P ,从而A和B的零 化多项式是相同的。（4）矩阵A的最小多项式的根必泄是A的特征根：反之，

14、A的特征根也一左是A的 最小多项式的根。证明：由（1）,特征多项式/（几）能被最小多项式?（久）所整除。所以矩阵A的最小多 项式的根必定是A的特征根。反之，若 Ax =九x （x 工 0）,则 m（A）x =）x = 0 = /n（A0） = 0 0注：求最小多项式的方法之一：若矩阵A的特征多项式是 /（2）=（2-）*!（几一入广，则A的最小多项式具有形式:诚1）=（2-;0”1 伉一；I）,其中 q 2（2）, P）与0（财都是单模矩阵。二、多项式矩阵的Smith标准形引理 A（/） = （.（A）w ?中你（几）式0,并且A（2）至少有一个元素不能被5所整 除，则比可以找到一个与人伉）等

15、价的多项式矩阵B（2）= .（2）；ixn，使得伉）工0,且 %仇）的次数低于如的次数。证明：分为三种情况。（1）日如（兄）不能被如（2）所整除，则fl（2）=（AI1（A）+r（Z）,且厂（几）的次数低 于（刀的次数。用力伉）的第,行减去*2）乘以第一行，再把第i行和第一行互换即可。（2）若在人（兄）的第一行中存在不能彼（5（几）整除的元素，可类似处理。（3）若期几）的第一行（列）中的元素都能被5（几）整除，而（2）（/1,;1）不能 被5（兄）整除。设如（几）=0（几”|（/1）。将第j行减去第一行乘上讽可，再将新的第i行加到第一行上，即成为情形（2）o定理310任意非零的多项式矩阵4（几

16、）=（佝伉）”都等价于下形式的Simith标准形:0仇）00 2 （可000000丿（兄）=00 心0 000 00 0_ 00 00 0这里7是A（/l）的秩，rS）（j = l,是首项系数为1的多项式，且2I必利,=1,一1。丿仏）称为A（/l）的史密斯（Smith）标准型。证明：经过有限次初等变换后，总可以使矩阵人（兄）等价于一个多项式矩阵B（A）9使 得该矩阵的第（1,1）元素可以整除其他所有的元素。再通过初等变换把色（兄）第一行（列）的 其它所有元素都变成零。对于去掉第一行和第一列后所剩下的矩阵做类似的处理。依次进行 下去，即得定理的证明。0 2（2-1） 0 例311求多项式矩阵A

17、（2）= 202 + 1的Simith标准形。00 一几+21 2 2A 1 A例312化多项式矩阵A（2）=222-2 为Simith标准形。1 + 22 22+2-1 一才_1 0 010 0答案：0 2 00 2 00 0 2（2-lX/l-2）_0 0才+久三、多项式矩阵的行列式因子.不变因子与初等因子定义37设多项式矩阵A（/l）的秩rL则朮几）中所有k阶子式的首项系数为1的 最大公因式q（Q）,称为aS）的*阶行列式因子。定理3-11若A（2）=B（2）,则A（2）, 3（兄）必有相同的秩及相同的各阶行列式因子。 证明思路：证明经过初等变换不改变矩阵的秩，并具有相同的行列式因子即可

18、。定义3-8在A（Q）的Simith标准形丿（兄）中，多项式仏（几）,，4伉）称为期兄）的不 变因子。注1：因为A（2）= J（A）,所以具有相同的行列式因子，故有：（2）=心,D2（2）=心（矶仇），少=心（2） ，从而有：6/j（2）= D（2）, 2（2）= ）f，心（几）=。注2： A（2）的不变因子由北行列式因子完全确左，所以Simith标准形式唯一的。注3：高阶行列式因子能被低阶行列式因子整除。注4：可逆矩阵的Simith标准形是单位矩阵（因为D（A）=1 ）；与单位矩阵等价的多项 式矩阵必可逆。人（兄）为可逆矩阵的充分必要条件，是4（几）可以表示成有限个初等矩阵的乘积。定义3-9把A（Q）的每个次数大于或等于1的不变因子分解为互不相同的方幕的乘枳，所有这些一次因子的方幫（相同的按岀现的次数讣算），称为A（/l）的初等因子。-1 -2 6_例3-13求矩阵-103的特征矩阵的