线性代数考试题及答案3

1、2009 - 2010学年第一学期期末考试线性代数试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分 100分，120分钟完卷。、单项选择题。【题号-一-二二三四五总分分数2、闭卷考试。评阅人:(每小题】1.行列式(A) 0总分人:3分,共24分)-3-3-3-3(B)(C)(D)】2.设A为3阶方阵,(A) 24(B)-24 (C)(D)-6】3.已知代B,为n阶方阵，则下列式子一定正确的是(A)(A) AB = BA (B)(C) AB| |BA(D)4.设A为3阶方阵,(B)2 2 2(A B)二 A 2AB B2 2(A B)(A _ B) = A - B式0,则A*a2(C)a3(D)a

2、45.设矩阵A与B等价，则有(B)R(A) R(B)(C) R(A)二R(B) (D)不能确定R(A)和R(B)的大小【】6.设n元齐次线性方程组 Ax = 0的系数矩阵 A的秩为r，则Ax二0有非零解 的充分必要条件是(A) r 二 n (B) r _ n (C) r : n (D) r . n【】7.向量组ai,a2, ,am(m _2)线性相关的充分必要条件是(A) ai,a2, am中至少有一个零向量(B) ai, a2, am中至少有两个向量成比例(C) ai,a2, am中每个向量都能由其余m -1个向量线性表示(D) ai,a2,am中至少有一个向量可由其余m -1个向量线性表示

3、【】8. n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是(A) R( A)二n(B)A有n个互不相同的特征值(C) A有n个线性无关的特征向量(D)A一定是对称阵(每小题3分，共15分)1.已知3阶行列式D的第2行元素分别为1,2,-1，它们的余子式分别为1,-1,2，贝U2.设矩阵方程4 2_-X71 IJ1 O6，则X3. 设x二”是非齐次线性方程组 Ax = b的一个特解，1, 2为对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则非齐次线性方程组 Ax二b的通解为.4. 设m n矩阵A的秩R(A)二r，则n元齐次线性方程组 Ax = 0的解集S的最大无关组S0的秩&0 =。5.设是方阵A的特征值，则 是

4、A2的特征值三、计算题（每小题8分，共40分）.02-52 13-1013 4211 计算行列式21_12.已知矩阵A = 240 21-13，求其逆矩阵A 。1 83.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1, 2, 3是它的三个解向量且“r2吗+5 =，求该方程组的通解。3的特征值和特征向量。2 2 25.用配方法化二次型 f = % 2x2 - 5x3 - 2x1x2 - 2x1x3 - 6x2x3成标准型。四、综合体（每小题8分,共16分）1.解下列非齐次线性方程组2xiX2 - X3X4 = 1* 4捲 +2血 一2怡 + x4 = 22禺 +x2 x3 x4 =12.已知向

5、量组求（1）向量组的秩；（2）向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。B五、证明题（5分）证明：设n阶方阵A满足A2 -A-2E =0，证明A及A 2E都可逆，并求 A 及（A 2E），。单项选择题。（每小题3分,共24分C 4 B（每小题5 C 6 C 7 D 8 C3分,共15分）2 B 3填空题。1.4 2.X 二 G 1 C2 2（C1，C2 R） 4.n 一 r 5.1025102-5-1213023-22-1010-1-41113420327 一-102-5_0-1-41100-520-00-1040 一-102-5 10-1-41100-520-

6、0000 一解:2分）（=0三、计算题（每小题8分，共40分）.1.2.已知矩阵2分）2分）2分）I解：（A,E） = 2_1-1-121求其逆矩阵A4。-11-41-114010（2 分）一14分）（2 分）3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1, 2, 3是它的三个解向量且仁 2,21TI，求该方程组的通解。因此齐(3 分)（3 分）药214+354215一k R）（2 分）解：由已知可得：对应的齐次线性方程组Ax = O的解集S的秩为4-3 = 1 ,次线性方程组 Ax = 0的任意非零解即为它的一个基础解系。 令=2 ! _（ 2 3）则 A = A2 , _（ 23）

7、=2a , _A 2_A 3 =2b_b_b =0所以.=(345,6)丁 =0为齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系。由此可得非齐次线性方程组 Ax = b的通解为:的特征值和特征向量。解：A的特征多项式为:2 人 112-厂心一3)所以A的特征值为冷=1,心=3。 (4分)(1)当、=1时，对应的特征向量满足11.-0,解得： x1 = -x2=1对应的特征向量可取口 =-1（2 分）（2）当1 =3时，对应的特征向量满足11；：=0，解得：捲=x2=3对应的特征向量可取 P21 =JJ（2 分）5.用配方法化二次型 f二X； 2x22 5x32 2x1x2 2x1x3 6x2x3成标准

8、型。2 2 2解： f =为 +2XjX2 +2x3 +2x2 +5x3 +6x2x32 2 2=(% x2 x3) x2 4x3 4x2x32 2= (Xi X2 X3) (X2 2x3) (4 分)yi =Xi X2 X3令y2 =x2 +2x3贝V把f化成标准型得:2y2（4分）四综合题（每小题 8分,共16分）1.解下列非齐次线性方程组2xi X2 _ X3 X4 = 1* 4为 +2x2 2x3 + x4 = 22xi + X2 X3 X4 = 1解：对增广矩阵B作初等行变换-21-1111-r21-1011B =42-2120001021-1-11 一00000J由上式可写出原方程组的通解为:(5分)_xjX2X3Cl ,C2R)(3 分)2.已知向量组a1求（1）向量组的秩；（2）向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。12310r解：A = 231 013 1 16 一 卫 0-7 150(2 分)则 Ra =2，（2分）故向量组的最大无关组有2个向量，知a1 ,a2为向量组的一个最大无关组。2分)且 a3 - -7a1 - 5a2 (2 分)五、证明题(5分)证明：设n阶方阵A满足A2 - A-2E =0，证明A及A 2E都可逆，并求 AJ及(A 2E)。证明： 1(1) 由已知可得