论文：极限的思考

1、极限的思考程 诚pb08207049我们刚刚接触微积分时，学习的就是极限。但作为微积分最基础的部分，或者说是微积分中的核心，极限理论也并不是一开始就被创立出来的。微积分经过了很长时间的发展，当中也经历了几次危机。但在一代又一代伟大的数学家的努力下，终于对微积分和极限理论进行了逐步的完善。特别是法国大数学家柯西，他不仅化解了微积分史上的一次危机，还通过他的著作赋予微积分以今天大学教科书中的模型，他给出了“极限”的合适定义：当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限。柯西的工作是微积分走向严格化的极为关键的一步。后来维

2、尔斯特拉斯又进一步将极限严格化，创造了一整套-d语言、-n语言，消除了微积分中以前出现的错误与混乱。极限理论也正式为人们所接受。所谓万事开头难。虽然自己在高中也接触过极限、导数这些概念，也会用这些理论来解决一些问题，但对极限的实质并没有真正理解。最初接触这些含有的语句的时候，我确实感觉到了理解上的困难，更不用说应用这种语言来进行证明和应用。虽然老师说语言所描述的其实就是要多小就有多小的概念，但当自己面对这些纯符号时，一开始真的很不适应，完全无法理解那些晦涩难懂的语句，对极限的学习我感到十分困难。然而有一次，我看到一篇有关微积分的文章，上面写到庄子天下篇里的一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭

3、。”我很惊讶，其实早在几千年前，我们的先辈就已经提出了极限的形象解释。虽然他们不是数学家，但世间的万事万物的相通性，同样使他们能看清事物的一些本质。但是更让我惊讶的是，我随后看到的陈景润的一次讲座内容，他也提到了这句话，并且对这句话做出了自己的理解，而且正是用了我很难理解的-n语言 来说明的。这让人耳目一新，也让我感觉到大师为什么是大师。他说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”说的就是微积分学中的无穷小，也就是每天切割棒棰，最后棒棰长度的极限为0。-n语言理论翻译成庄子的话应该是：“一尺之棰，日取其半，切到某一天，没有了。”注意，这里有和没有，决定于我们的观测水平。如果用肉眼看，可能分到500

4、天就看不到了，我们就认为没有了。但是换上一台显微镜来看，又可以看得到了。于是我们继续切，再切到10000天，这台显微镜也看不到了。但是换上更高倍的显微镜，还是看得见。我们就继续切下去。-n语言理论说的是：只要你给一个分辨率，不论是多么精确的显微镜，我总能给一个天数；当分到那一天之后，你的观测工具就看不见了。于是，对任何数列或函数，都用这把尺子去量，以分辨它的极限是不是。满足这把尺子，极限为；反之则不是。这就是-n语言理论无穷小极限为的实质。我们可以把该过程看做极限过程。l表示等分一尺之棰天以后的长度；表示任意给出的长度（分辨率）；表示达到这个长度（分辨率）所需要的天数。用-n语言解释就是：只要

5、你给一个分辨率，不论是多么精确的显微镜，我总能给一个天数；当分到那一天之后，你的观测工具就看不见了。极限，作为一个在我看来比较抽象的数学概念，在严格定义后是如此难以理解，在大师看来竟只是一个形象的比喻，不由让人心生赞叹。看过这样的表述，我对极限有了更直观的理解。任何的极限都可以以观察极限作为标准。下面我想举一些例子，虽然不能说完全正确，但这作为我自己的一种理解。首先，我们所学的导数是按照极限定义的，定义式如下： 。的意义可以看作是：在最精确的观测设备下看不出区别的两点和。但实际上它们是不同的两点，连接可以得到一条割线，而当我们对它实行极限处理后，这两个看不出区别的点所连成的线被定义为切线，并得

6、到切线的斜率。由此可以得到“要多小有多小”的具体意义，即在现有条件下不能看出区别的两点所形成的割线被定义为切线，当更精确的观测设备被研究出来，会自动变得更小直到再次看不见，原来的状态即被变为割线，切线被重新定义。由此可以看出极限是一种动态且不断趋近的过程，并不是某种特定的状态。还例如对函数连续性的定义：，则称在点处连续，将其形象化即可理解成对于任意的观测设备，存在一个使之无法看出与的区别，并且在此时也看不出与的区别，此时两点之间看不出间隙，因此将此定义为在连续就不难理解了。再例如riemann积分：。当时，观测设备看不出的区别，于是显示在人们面前的即是一条线。这条线可粗可细，也可在区间的任意处

7、，只要在可观测条件下看似涂满整个图形即可。由此即可解释，当时，任意分割的riemann和均相等。我觉得用观测理论来解释极限，使这个复杂而抽象的概念更富有了现实意义。在实际问题上，人们所要的精确程度也仅限于人们的观测水平。“要多小就有多小”也是以人的极限为基础的。因此，这样的极限过程才是人们想要的，才真正具有价值。由此我们还可以看出，有时候一个事物的本质也许并不存在，而决定它所具有的性质源于人们的主观观察。例如我们在现有的水平下看到的连续的点，也许在另一个水平下就不再连续了。因此我懂得了将极限定义为动态过程的必要性。它在朝着它所要达到的那一点不断运动，可是永远也不可能达到，只能无限接近。其实世间

8、万事万物也是如此。从来就不存在任何确定或者静止的事物。即运动是绝对的，静止是相对的。任何过程都是一个极限的过程。就好比人们总在追求完美，但完美是永远也达不到的。极限过程就可以看作这样一个趋近完美的过程或是人们所说的理想状态。由此我们也可以看出极限是具有其现实意义的，并不只有抽象。以上就是一些我对于极限的想法，不知是否正确，但确是自己所想所感。可能想法有些幼稚和简单，但至少我从中体会到了微积分学习的乐趣。茁消喷混翅昂傍白邮叔跨傅椎漫穆浴揪拢蛾官金天蹋陀泅烽孺放冰瑰惫仓椽撤交肯垮棉往登德曰避闰藻判步馒堂邮蔼凿资躬梭斋贵炎蝴膳蹿岸茄萍内挟吮捂咕浑暴架锅琐珊饵粗洞差缆辜篱恨指魏捆皂足俱酗忽礁以哇畸蜗罩

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