第十二章直线(一)

1、高中起点升本、专科数学（理科）直线一、直线的倾斜角和斜率1 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直 线重合时所转过的最小正角叫做直线的倾斜角。当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0 .直线的倾斜角：的取值范围是0180 .2 一条直线的倾斜角:-的正切，叫做这条直线的斜率。斜率常用k来表示，即k = tan ：.当为锐角时，k 0 ；当为钝角时，k 0 ；当=90时，k值不存在；当a =0*时，k=0.如果RM，%）, P x2, y2是直线上的任意两点，那么这条直线的斜率y2当x2 =x1时，直线平行于y轴或与y轴重合，倾斜角:=90，斜率不

2、存在;当y2 = %时，直线平行于x轴或与x轴重合，倾斜角-0，斜率k = 0.直线方程的各种形式名称已知条件方程说明斜截式斜率k和在y轴上的截距by = kx + b不包括y轴和平行于y轴的直线点斜式点P（Xi,yi ）和斜率ky _yi =k(x_xi )不包括y轴和平行于y轴的直线两点式点PS)和点 P2 ( x2 , y2 )y yi_ x Xiy2%X2 -Xi不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线截距式在x轴上的截距是a ,在y轴上的截距是b ,xy_ +丄=i ab不包括经过原点的直线以及平行于坐标轴的直线一般式Ax + By + C = 0A, B不同时为零几种特殊的直线的方程:平行

3、于x轴的直线 y = b （ b = 0且为常数）；y =0 ；平行于y轴的直线 x =a ( a = 0且为常数)；y 轴x = 0 ；经过原点(不包括y轴)的直线三、两条直线的位置关系已知两条直线的斜截式方程分别为1 两条直线平行的充要条件是y = kx.l1 : y = kx b, 2 : y = k2x b2匕=k2 且 0 = b2.当k,二k2且b =b2时，两条直线重合。2 两条直线垂直的充要条件是k,k2二-1.3 .两条直线交点的坐标已知两条直线的方程分别为I, :A,xB,yC 0,l2:A2xB2yC 0.AxB, yC, =0,解方程组 n 1如果方程组有唯一解，这个解

4、就是两条直线交点的坐标；如A?x +B2y C2=0.果方程组无解，两条直线平行，没有交点；如果方程组有无穷多组解，两条直线重合，有无穷多个交点。四、点到直线的距离点到直线的垂线段的长，叫做点到直线的距离。I Ax0 十 By0 + C设点P(x0, y。)到直线Ax +By +C =0的距离为d，贝V d =_0_-.Ja2 + B2五、两条直线所成的角两条直线相交构成的不大于直角的角，叫做两条直线所成的角，简称夹角。设已知两条直线的方程为|1 : y二kxpt : y = k2x b2 .它们的夹角为=r JI如果 1 &k2 =0，贝V.2如果 1 + ki 式 0，贝【J tan 日=

5、k2 k1( 0 v 日 ).1 +k?k12典型例题例1已知经过点A( -2, a )和点B(a, 4 )的直线的斜率是2，则a =.a 4解：k - - , a =0.-2 -a例2经过点P 0, 2，倾斜角的正弦等于 -的直线方程是54 3sin ：44解：sin 二,cos, k 二 tan, y-2x-0 ,5 5cos333 y -2 = 4x。经过点 P 0, 24倾斜角的正弦等于一的直线方程是54x_3y 6=0.或 4x 3y_6=0.例3经过点B 4, 2，且过直线11 : 3x 2y -6 = 0和12 : x - 2y - 2 = 0的交点的直线方程是f3x 2y =

6、6,解：先求出I,与12的交点A，2yy=2,A（20），皿y-0 =1 x -2，经过点B 4, 2，且过直线I, : 3x 2y-6 =0和l2 : x-2y-2 =0的交点的直线方程是x - y -2=0.例4过点（1, -2且平行于直线x + 2y 1 = 0的直线方程是 .解：两条直线若平行，它们的斜率应当相等。直线x 2y 一1二的斜率为k二-丄，21过点1,-2且平行于直线x2y-1=0的直线方程是：y 一2x-1 ,21y 2 x-1 ，2y 2 =-x-1，2y 4 = -x1，x 2y 3 = 0.例5过点A（3,-6 ）且垂直于过B（4,1 ）, C（2,5 ）两点的直线

7、的直线方程是 .解：两条直线若垂直，则它们的斜率互为“负倒数”，或者它们的斜率的乘积为 -1.1541kBC-2，所求直线的斜率，过点A 3, -6且垂直于过B 4,1 ，C 2,5两1 1点的直线的直线方程是：y - -6 = x-3 ， y，6= x-3 ，2 22 y 6 二 x-3，2y 12=x-3，x-2y-15=0.例6若直线Ax By C =0过第一、二、三象限，则（）（A）AB : 0，BC: 0.（ B）AB 0，BC0.（C）A = 0 , BC: 0.（ D）C = 0 , AB 0.解：选（A）分析：用特例分析方法，大家知道，y = x是正比例函数y = kx，当k

8、= 1时特例，它表示过原点的一条直线，且为一、三、象限的角平分线。而y = x T是一次函数y = kx，b，当k=1, b=1时的特例，它是经过第一、二、三象限，且平行于y二x的一条直线。请大家画出图形（略），把斜截式形式的直线方程y二x 1改写为直线方程的一般式：x-yT=0，则A = 10 ,B = -1：0 ,C=10，显然 AB 二1 ： 0，BC 二1 ：0.如果本题不是单一选择题，而是这样的讨论题：若直线 Ax By 0过第一、二、三象限，而应当改用一般分析法来讨则A，B，C系数之间应当满足什么关系？就不能用特例分析法来分析,论，具体的分析过程略去例7已知a为任意实数，则直线 a

9、 -1 x - y 2a 1二0一定经过点（）（A） 2,3 .（B） 2,3 . （C） 0,5 .（D） -2,0 .解：选（B）分析：将选择分支的点的坐标依次代入a -1 x- y 2 a仲，若能满足a -1 x - y 2 a 1 ,，）则该点必定为所选。把-2, 3代入，a -1 -2 -3 2a 1 - -2a 2 -3 2a 1 =0.我们考察选择分支一般都是按照顺序（A），（ B），（ C），（ D）进行，如果，正确的答案是选（D）的话，手工计算的工作量就比较大了。例8直线方程2x y +2 =0与两条坐标轴围成的三角形面积等于 .解：可以将直线方程改写为截距式：，a = 0

10、, b = 0，贝【J直线与与两条坐标轴围成的a ba * b三角形面积为 S= （面积单位）。2x yab1 22xy+2=0, 2xy = 2 , 一+艾=1, S =丨丨=_=1 （面积单位）-1 2 2 2*例9 若A 0 , B 0, C 0 )b a图形y A2F2BiBy1AiB2AFiOF2BiOFiAi顶点A (-a,0 ), A2(a,0 )Bi (0,-b ),B2(0,b)A(0,-a ),A2(0,a),Bi(-b,0B2(b,0 )对称轴x轴、y轴长轴长2a，短轴长2b隹占八、八、Fi (-c,0 ), F2 (c,0 )匸(0,-c),F2(0,c)焦距| F|

11、F2 = 2c (c0 )22, 2c = a -b离心率ce = (0cec1) a准线2.ax = c2斗a y 士cx =aco曲,3 椭圆的参数方程Jy = bsi n 日.四、双曲线1.定义平面内到两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线。定点是焦点，两焦点的距 离是焦距。2 .双曲线的标准方程和性质如下表所示。3 .实轴与虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线。它的标准方程是2 2 2 2 2 2x-y a ，或 y-x a.标准方程2 2冷爲-1 (a O,bO ) a b2 2yx“c1 -弋 T (a 0,b 0) a b图形AA2yF2A2F1 OF2OAiFi顶点A

12、1 ( -a,0 ), A2 (a,0 )Ai (0,-a), A2(0，a)对称轴x轴、y轴实轴长2a，虚轴长2b隹占八、八、h (_c,0 )F2(c,0 )Fi (0,-c), F2(0,c)焦距F| F2 = 2c(c * 0 )22 丄-2c = a +b离心率e(e a 1)a准线2.ax = 士 c2 a y = c渐近线 b y = _x ay = x b五、抛物线1.定义平面内到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹是抛物线。定点是焦点，定直线是准线。2 .抛物线的标准方程和性质标准方程2y 二 2 px p 02y - -2 px p 02x - -2py p 0lyOfy1f

13、OiyO f顶占八、0(0,0)对称轴x轴y轴隹八、占八、FT)咆】F(0,遗离心率e =1准线x专y =-号y专典型例题例1已知曲线的方程是2x3 -y2 -3x 5 = 0，那么在这条曲线上的点是（）解：选（A）分析：将每个选择分支中的点分别代入曲线方程的左边，谁能满足曲线方程，就选谁例2已知点P 3, -4在方程x2 -4x -2y k =0的曲线上，那么k的值是（）（A） 5.（ B） 25.（ C） -25.（ D） -5.解：选（D）分析：把点P 3, -4代入方程x2 -4x -2y k = 0求出k值.例3曲线y = x2 -2和曲线y = 2 -X2的交点坐标是（）（A） -

14、 2,2, 2, - .2 .（ B） -2, & , 、2, -2 .(C)0, V ,2, 0 .( D)- .2, 0，迈 0 .解：选(D)_ 2 2分析：解方程组yx 一2 x2-2 = 2-x2ly = 2 -x ,为=- 2， X2 j 2，yi二 y2二 2 12 二 0.说明，平面上两条抛物线的相对位置有三种情况:（1）相离，没有公共交点；（2）相交且有一个交点；（3）相交且有两个交点.本题中为第三种情况.例4设A 6,0 , B 0,8 ,则以AB为直径的圆的方程是（）2222（A） x-3 y -4100.（ B） x-6 y-8100.2222（C） x-6 | 亠iy

15、-825.（ D） x-3| 亠iy-425.解：选（D）分析：求出 代B两点的中点C 60, 0 8二C3,4，则C点就是AB为直径的圆的圆心，该V 22丿圆的半径，r = AC =J（6_3行（0_4, =5， r2 =25，故以AB为直径的圆的方程是2 2x-3亠y -425.例5圆x2 y8x 2y 10的圆心坐标和半径分别是（）（A）4, -1,5.（ B）-4,1,5.（ C）-4,1 八5.（ D）4, - 1 ,. 5.解：选（D）分析：本题中x2 y2 -8x 2y 1 0是圆的一般方程，需要对它进行配方，转化为圆的标准 方程，然后再确定圆心坐标与半径.x2-2x442 -4

16、2 y22y112 -1212=0,x-42 y 1：）5 . 4, -1 ,、,5.例6若方程x2 y2亠仃. 1 x 2 y = 0表示圆，则的取值范围是（）（A） 0, ：: .（B）丄,1 ._5一.1,：；3 ?. （ D） R.解：选（C）分析：对原方程配方，转化为标准方程，再去推求的取值范围.x22x 1 亠I21 亠 jy22*y2_,2，2 -1I 2丿、2+九2 _九，2+（y+丸）521 0，用十字相乘法，5 -1 -1 0，5或，即5 - 1：.2 2例7椭圆y 1的焦点在1625轴上，椭圆上任意一点到两个焦点距离的和是解：椭圆的标准方程为x2孑懐二1，式中a(1)若a

17、 b 0 ,则焦点在x轴上;椭圆上任意一点到两个焦点距离的和是(2)若0 :：: a :：: b，则焦点在y轴上;椭圆上任意一点到两个焦点距离的和是2b.本题中因为 Sb，故椭圆着計1的焦点在y轴上椭圆上任意一点到两个焦点距离的和是2b -10.例8椭圆8x2 9y2 =72的长轴长是，短轴长是，焦点坐标是解:椭圆8x2 9y72方程可以改写为,2 2xy1，982乞+-=12 22a-2 3 =6，2b =2 、8 = 4 2，a2=9， b2 = 8， “椭圆，椭圆a老大，=b2c2，c2 二 a2 - b2， c = 一 a2 - b2 - , 9 - 8 = 1，椭圆8x2 9y2-7

18、2的长轴长是6，短轴长是4.2，焦点坐标是-1, 0 , 1,0 .2x例9双曲线一=1的实轴长是169，虚轴长是，顶点坐标是渐近线方程是解：双曲线2 21，1692 x 2 a2廿1，4,3，2a，2b，2双曲线169=1的实轴长是8，虚轴长是6，顶点坐标是-4, 0 , 4, 0 ，2 2x y 小0，9x.1616*例10曲线C的方程为-xy 2y0，下列各点中，在曲线 C上的点是()A.-1,2B. 1,_2C 2, 一3D. 3,6答案：B.分析：要判断一个点是否在一条曲线上，只要把它的坐标代入曲线方程中，如果方程两边相等, 这个点就在这条曲线上，否则就不在曲线上21 -1-22-2

19、1=12-41=0.注意：在解这类选择题时，需要把各个点的坐标逐个代入方程，但是，一旦得出某点的坐标适合 方程，那么其余各点的坐标就不必再代入方程了，因为选择题中有且只有一个选择项是正确的。例11已知方程kx = y2 4k的曲线经过点P 2,1，则k的值是（）11A. 2 B. 2C. D. _ 22答案：D.分析：因为曲线经过点 P，所以根据曲线的方程的定义，点P的坐标适合方程kx二y2 4k，把2,1代入方程，可以得到关于 k的一个方程，即可求出k.2 1 2k -1 4k, k .例122曲线C1 : 2y2 3x 0与曲线C2 : x2 y2 -4x-5 = 0不同的公共点的个数是（

20、）答案:D.由曲线方程的定义可知，两条曲线公共点坐标, 解，方程组有几组不同的实数解，就有几个不同的公共点。分析:就是这两条曲线方程组成的方程组的实数由 G : 2y2 3x 3=0，得 3x = 2y2 - 3 , x-2 2y2 -1，把它代入3C2 : x22y2 -4x -5 =0，得 i 2y2 -1y213，丿-4 -y2 -1 _5 = 0 ,374 y4_4 y2+1+y2+8 y2+4=0 ,4 y4+7 y2= 0 , y2 / y2 十？9339393因为此一元四次方程只有一个实数解，故两条曲线G与C2只有一个不同的公共点例13圆x2 y2 -4x 6y - 3二0上到x

21、轴距离等于1的点有（）A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个答案：C.分析一：按解析几何的一般方法，由所求点应满足的条件，可以列出方程组x2 y2 -4x 6y -3 二 0, bl=1.yIr oy 1这个方程组有几组不同的解，交点就有几个。分析二：画出圆的图形。由方程经过配方，可以得到2 2（x-2 ） +（y+3） =16，所以，圆的圆心为（2,3 ），半径为4。容易注意:看出，在x轴下方，与x轴距离等于1的点有两个，在x轴上方，到x轴 距离等于1的点只有一个。（1）在解方程组时，要注意y =1应分为两种情况，即y =1与y = _1，实际上是解两个方程组，否则会丢掉一部分解。（2）

22、在解析几何中，有时通过观察图形，并注意利用平面几何知识，往往可以开拓思路，尤其 在解选择题时，这种方法有时很方便。所以在求解解析几何题时，最好画出草图。例14方程 xy1 io ： v ：-：,且的图形是（）2sin日 cos日 一214 !A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案：B.分析：因为方程的右边等于1,因此，要判别方程的图形是哪一种，应考察2si nr与cost - 2的符号，因为si n八：1，故2si nr 0 ；又因为cos”： 1，因此22JTCOST - 2 :： 0，即x2与y2项的系数均为正数。又因为 0 ： r :二，且 -，所以42 - si nr = - cost

23、 -2，即x2与y2项的系数不相等，所以它的图形不会是圆，也不会是双曲线与抛物线，只能是 椭圆例15方程x2 -3x 2=0的两根，可以分别作为（）A. 条抛物线与一条椭圆的离心率B.两条抛物线的离心率C. 一条抛物线与一条双曲线的离心率D.两条椭圆的离心率答案：C.分析：抛物线、椭圆、双曲线的离心率分别是满足e=1, 0 ：e, e 1.因此可以先求出方程的两根，然后根据根的大小来判定。x -1 x - 2 =0 , 0 = x, =1 , 62=冷=2 -1.故方程x2 - 3x 2 = 0的两根，可以分别作为 条抛物线与一条双曲线的离心率 。工x = 6 5cos6例16椭圆（r为参数）

24、的焦距等于（)y = -5+3si n0.A. 4B. 8C.34D. 2価答案：B. 8分析：将椭圆参数方程变形为22 .二 COS ,禾忧 cos2 r sin2 v -1二 sin2 v.消去参数v，得到标准方程（X 6）2y 532a = 5, b = 3.它的焦距为 2c = 2、a2 -b2 = 2、52 -32 = 8.高中起点升本、专科数学（理科）第四部分立体几何第十四章立体几何一、 直线与平面（一）平面的基本性质1 平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线

25、。公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。注意：平面几何中的定义、公理、定理等，对于空间图形中同一平面内的图形仍然适用2 .平面基本性质的推论根据公理可以推出以下三条确定平面的条件:一条直线和直线外的一点确疋一 个平面。两条相交直线确定一个平面。两条平行直线确定一个平面。AabaabC3 平面表示法与集合符号的应用通常用一个希腊字母、- 等来表示平面，读作平面:、平面1、平面 等；也可以用表示平面的平行四边形的相对的两个角上的字母来表示， 如平面AC ; 或平面DB。空间看作点的集合。点是空间的基本元素。直线和平面都是空间的子集、用集合语言描述点、直线、平面之间的关系：记法表示的意

26、义A e a点A在直线a上A老a点A在直线a外A点A在平面ot内A更o（点A在平面ot夕卜a u a直线a在平面口内aa直线a在平面口外a o P = a平面与平面P相交于直线aa cb = A直线a与直线b相交于点A注意：直线a在平面:-夕卜包括直线a与平面:-相交、平行两种情况（二）空间的平行关系1 直线与直线平行平行公理过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。平行线的传递性 平行于同一条直线的两条直线平行。等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，则这两个角相等。BabOBcaOAP2 直线与平面平行 判定定理 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这

27、条直线和这个平面平行。性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和 交线平行。bb3 平面与平面平行两个平面没有公共点，叫做这两个平面互相平行。也就是说，不相交的两个平面互相平行。(三) 垂直、夹角和距离1 .异面直线和两条异面直线所成的角 异面直线 不在同一个平面内的两条直线，叫做异面直线。两条异面直线所成的角过空间任一点O作两条直线分别平行于两条异面直线，则这两条直线所成的锐角或直角，叫做两条异面直线所成的角，如果两条异面直线a、b所成的角为直角，则说明这两条直线互相垂直，并记作a _ b.异面直线的判定方法连结平面内一点与平面外一点的直线，和平

28、面内不经过该点的直线是异面直线。2 .直线和平面垂直判定定理 如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 性质定理(1) 如果两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行。(2) 如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。AaB bab射影长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(1) 射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长。(2) 相等的两条斜线段的射影相等，较长斜线段的射影也较长。(3)垂线段比任何一条斜线段都短3 直线与平面所成的角A平面的斜线和它在此平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角。B04.

29、二面角从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的平面角 以二面角棱上任一点为端点， 在两个面内分别垂直于棱的射线组成的角叫做二面角 的平面角。ADBEC两个平面互相垂直两个平面相交且所成的二面角是直二面角，叫做这两个平面互相垂直。5 距离(1) 点到平面的距离 一点到它在一个平面内的正射影的距离。(2) 直线与平面的距离一条直线上的任一点与这条直线的平行平面间的距离。二、空间向量1 空间向量空间向量是平面向量的推广。空间向量可理解为空间的一个位移。它只有大小和方向两个要素空间向量可用空间有向线段表示。同向且等长的有向线段表示同一向量。对于空间中任一直线l，取它上面任意两点 代

30、B (这两点不重合)，向量AB叫做直线I的方向向量。2空间向量的线性运算空间向量的加法、减法和数乘向量运算仍然遵循平面向量的运算法则和运算律。共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b b=0 , a Jb的充分必要条件是存在实数 ，使a二b3 空间向量分解定理 如果空间三个向量i、j、k不共面，那么对空间任一个向量 a，存在一个P唯一的有序实数组(印82月3 )，使BPa = a1i a2 j a3k. *i, j,k称做空间的一个基底。空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底。如果基底i,j,k中的三个不共面向量为单位向量并且互相垂直，则称这个基底为单位正交基底。a1,a2,a3称做a

31、的坐标，*式叫做a关于基底i, j, k的分解式。4.向量的数量积与度量对空间任两个向量 a、b的数量积为ab=|a b cos( a, b).空间向量的数量积遵循平面向量的数量积的运算律。在计算中特别注意运用交换律、分配律:ab=ba ； ab c = a *b a *c.利用数量积计算向量的长度和夹角2a =a *a , coS a, b=n. adb= ab = 0.Ial|b|已知在单位正交基底下，a = a1i a2j %k , b = di b2j 戈k，贝Va b = q bi,a2 b2,a3 b? ； a = a azb? asd; a | = Ja； a 丄 b 二 aQ

32、+ a2b2 + a3b3 = 0.(三)多面体和旋转体1 .多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。2 .棱柱(1)棱柱和特殊棱柱有两个面互相平行，其余各面的交线互相平行的多面体，叫做棱柱。侧面垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。底面是矩形的直棱柱叫做长方体。各面都是正方 形的长方体叫做正方体。(2)棱柱的性质任一棱柱的侧棱平行且相等。侧面是平行四边形。两底面与平行于两底面的截面都是全等的多边形。 过不相邻的两个侧棱的截面是平行四边形。直棱柱的侧棱长与高相等。侧面是矩形。S11111EA1HBC3棱锥(1) 棱锥和正棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共

33、顶点的三角形的多面体，叫做棱锥。底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心的棱锥，叫做 正棱锥。(2) 正棱锥的性质各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。平行于棱锥底面的截面和底面相似，它的相似比等于截得的棱锥高和原棱锥高的比。咼、斜咼(侧面等腰三角形底边上的咼)和斜面咼在底面上的射影组成一个直角三角形。(3) 棱柱和棱锥的体积V棱柱二sh. s表示棱柱的底面积，h表示棱柱的咼。1 一 一V棱锥sh. s表示棱锥的底面积，h表示棱锥的咼4.球R 0A r 0(1)球的定义 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转而成的 曲面(球面)所围成的几何体，叫做球。球面还可以定义为：空间内 和

34、一定点距离相等的点的集合。(2)球的性质(i )球的截面是圆，不过圆心的截面(小圆)的圆心与球心的连线垂直于截面(ii )设r、R、d分别表示球的截面半径、球的半径和截面与球心的距离，则r2d2=R2(3) 球的表面积和体积2S求-4 R .典型例题例1下列图形中，有可能不是平面图形的是（）（A）四条线段顺次首尾连接所得到的图形.（B）四个角都不是直角的梯形.（C）有一个角是30的等腰三角形.（D） 条边长是另一条边长 2倍的平行四边形.解：选（A）分析：四条线段顺次首尾连接所得到的图形，有可能不是平面图形四条线段顺次首尾连接且不交叉，有可能共面，当共面时，画出的就是平面上的四边形；四条线段顺

35、次首尾连接且不交叉，也有可能异面，当异面时，画出的就不是平面图形任意梯形、三角形、平行四边形都必定是平面图形例2不共面的四个点可以确定（）（A）2个平面.（B） 4个平面.（C）3个平面.（D）6个平面.解：选（B）分析：正方体有8个顶点，这8个顶点是两两不重合的，其中任意 3个点必定可以确定一个平面，如 果再增加第4个点，有以下两种可能性：（1）增加的第4个点与前3个点共面，如果真是这样的话， 那么这4个点就只能确定1个平面；（2）增加的第4个点与前3个点异面，那么这不共面的四个点可 以确定C： = C： =4个平面.例3四条直线两两相交，其中任意三条均不交于一点.这四条直线确定的平面一共有

36、（）（A） 0 个. （B） 1 个. （C） 4 个.（D） 6 个.解：选（B）分析：正方体有12条棱，过每条棱都可以作一条直线，根据题意可以直观地想象出结果.例4三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定（）（A） 1个平面.（B） 2个平面.（C） 3个平面.（D） 5个平面.解：选（C）分析：想象一个直三棱柱，它有三条两两平行，但不共面的棱，且有三个平行四边形的侧表面例5正方体ABCD -EFGH中，EG与AB所成的角是（）（A） 30 .（B） 45 .（C） 60 .（D） 90 .解：选（B）分析：显然，EG与AB是两条异面直线，因为 EG J AC，故可以把异面的直线关系问题转

37、化为 AB与AC之间的共面的直线关系问题， 显然，AC为正方形ABCD的对角线，故AC与AB所成的角是45，从而，EG与AB所成的角也是45 .例6 一个长方体的三条棱长的比是1: 2 : 3，全面积是88cm2.这三条棱的长 cm分别是（）（A） 1, 2, 3.（B） 1.5, 3, 4.5.（C） 2, 4, 6.（ D） 3, 6, 9.解：选（C）分析：因为一个长方体的三条棱长的比是1 : 2 : 3，故设三条棱长分别为 x, 2x, 3x，又因为全面积是88 cm2.故88 = 2 * x * 2x厂x3x亠2x * 3x n，即 88 = 2 2x2 3x2 6x2 =2 *11x2 = 22x2，x2 =4，因为 x 0，故 x = 2.这三条棱的长 cm分别是2, 4, 6.例7 一个长方体的长、宽、高的比为 1 : 2 : 3，对角线长是2 14，它的体积是（）（A） 6.（ B） 48.（ C） 56.（ D） 172.解：