第三章空间向量与立体几何导学案.

1、 3.1.1空间向量及其运算 tutu OB ttm- AB 例1已知平行六面体 ABCD ABCD(如图)， 化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量: miT UJtt AB BC ； 山!！ lUUl UlUU AB AD AA； 山!！ UUU 1 ulur -CC AB AD 2 1 UUT tttt UUL -(AB AD AA) 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法； 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及 它们的运算律； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立 体几何中的问题. 学习过程 一、课前准备 (预习教材P84 P86，找出疑惑之处) 复习1：平

2、面向量基本概念： 具有 和 的量叫向量， 叫向量的 模(或长度)；叫零向量，记 着；叫单位向量. 叫相反向量，a的相反向量记着. 叫相等向量.向量的表示方法 有, 和共三种方法. I 复习2:平面向量有加减以及数乘向量运算： 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则和法则. a 2. 实数与向量的积： 实数入与向量a的积是一个 量，记作 ，其长 度和方向规定如下： (1) 1 乔 (2) 当心0时，扫与A. ； 当疋0时，扫与A. ； 当 L 0时，扫=. 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 加法交换律：a + b= b+ a 加法结合律：(a+ b)+ c= a +( b+ c)

3、数乘分配律：Xa + b) = + ?b 试试：1.分别用平行四边形法则和三角形法则求 a b,a b. 2. 点C在线段AB上，且虫 5,则 CB 2 LUTLUULUUUJIU AC _ AB , BC AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗? 加法交换律：A. + B. = B. + a； 加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c); 数乘分配律：XA. + b)=入A+入b 、新课导学 探学习探究 探究任务一：空间向量的相关概念 问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单 位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？ 新知：空间向量的加法和减法运算：

4、 LUU LUT UUTUUt UUL 变式：在上图中，用AB, AD, AA表示 AC,BD和 DB. 两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中, 小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若 干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量 的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平 移使它们转化为首尾相接的向量. 例2化简下列各式： AB BC CA ； UUU UUU UUT，UUT AB AC BD CD; AB mb ULU UUT OA OD BO OM ; UUT DC . 自我评价你完成本节导学案的情况为（） A.很好 B.较好 C. 一般 D.较差 当堂检测（时量：5分钟 满

5、分：10分）计分： 1. 下列说法中正确的是（） rrr b的长度相同，方向 A. 若 I a I =1 b I,贝V a , 相反或相同； r r B. 若a与b是相反向量，则I uult AC . c.空间向量的减法满足结合律；uuu uuir D.在四边形 ABCD中，一定有 AB AD 变式：化简下列各式: UUU UULT uuu UULT OA OC bo CO : UUU UUT UULT DC ； AB AD UUIT uuu uuu， UULT NQ QP MN MP 小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则 或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按 减法法则进行运算

6、，加法和减法可以转化 - %动手试试 练1.已知平行六面体ABCD ABCD , M 为 A1C 1与B1 D 1的交点，化简下列表达式： uult uuu AA AB； 1 ULUU 1 UJUT ABA1D1 ； 2 2 UULT 1 UUULT1 UUULT AA1 ABA| D1 UUU 2 2 UULT UUJT UUUT UULT AB BC CC1 C1A1 AA 2. 长万体 ABCD ABCD中，化简 UULUL ULUU ULJUIT AA AB AD = r ruu ui r r 3. 已知向量a , b是两个非零向量，a0,b0是与a , b 同方向的单位向量，那么下列

7、各式正确的是（） A. UU LU a。 bo b. LU a LU bo 或1 uu bo uu r r C. a。1 D. .I ao 1 = I bo I uuu UJU UULT 4.在四边形 ABCD 中， 若 AC AB AD,则四边形 是（ ) b.菱形 A. 矩形 C. 止万形 D.平行四边形 5.下列说法正确的是（） A.零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动 C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量 .玉一课后作业 1. 在三棱柱 ABC-ABC中，M,N分别为 BC,BC的 中点，化简下列式子： UUULUULTUUUT

8、UULITUULT, AM + BN AN MC + BB A. 1 r a 2 1b 2 r c 1 r 1 r r b. a -b c 2 2 1 r 1 r r C. a -b c 2 2 1 r 1 r r D. a b c 2 2 二、总结提升 探学习小结 1. 空间向量基本概念； 2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律 探知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的 平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共 同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相 同的长度”，空间的平移包含平面的平移 . 二险匚一学习评价 2. 如图，平行六面体 ABCD ABiGDi

9、中，点M为 uu r uuir r uur r AC与的 BD 的交点，AB a，AD b， RA c, ULULT 则下列向量中与b,m相等的是（） 3.1.2空间向量的数乘运算（一） 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数 式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推 论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立 体几何中的问题. 八卞.学习过程 一、课前准备 (预习教材P86 P87，找出疑惑之处) 复习1：化简： r rr r 5 ( 3a 2b ) +4 ( 2b 3a); 反思：充分理解两个向量a,b共线向量的充要条件中 的b 0 ,注意零

10、向量与任何向量共线 . 探典型例题 例1已知直线 AB,点0是直线 AB外一点，若 im uuu uuu, OP xOA yOB，且x+y= 1，试判断 A,B,P三点是 否共线？ 6 a 3b c a b c . 例2已知平行六面体 ABCD ABCD，点M是棱 r AA的中点，点G在对角线AC上，且CG:GA=2:1, 则 a 与uju r uu r uuui rr r r 设CD =a , CB b,CC c,试用向量a, b,c表示向 uu Hur uuuu unr 量 CA, CA , CM ,CG . 变式：已知A,B,P三点共线，点0是直线AB外一点, 卄 LUU 1 UUD U

11、UU 右 OP OA tOB，那么 t= 2 复习2:在平面上，什么叫做两个向量平行？ 在平面上有两个向量 a,b ,若b是非零向量， b平行的充要条件是 二、新课导学 探学习探究 探究任务一：空间向量的共线 问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判 定它们的位置关系？ r b z/l r b 17 unr 1 uuu AA uiuu cblt ; uiuur ab bc cd 1 umr 1 uuu 1 u AD -AB - AA 2 2 2 新知：空间向量的共线： 1. 如果表示空间向量的 所在的直 线互相或，则这些向量叫共线向量， 也叫平行向量 2. 空间向量共线：r 定理：对空间任

12、意两个向量 a, 充要条件是存在唯一实数 ，勺 推论：如图，I为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线， 对空间的任意一点 O,点P在直 线I上的充要条件是 变式1:已知长万体 ABCD ABCD, M是对角 线AC中点，化简下列表达式： 试试: UJU 已知AB r r uujr r a 5b, BC 2a 8b, uju r r CD 3 a b ，求证:A,B,C三点共线 变式2:如图，已知 A,B,C不共线，从平面 ABC外 任一点O，作出点P,Q,R,S,使得： A.很好 B.较好 C. 一般 D.较差 uult UUT uuu UULT OQ OA 3AB 2AC uuu uuu

13、 UJU UULT OR OA 3AB 2AC uuu UJU uuu UULT OS OA 2AB 3AC OP OA 2AC 2AB 小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，力口 法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点， 并且要注意向量的方向. %动手试试 练1. A. r c B. C. D. 下列说法正确的是（） 向量a与非零向量b共线，b与c共线, 共线； 任意两个共线向量不一定 任意两个共线向量相等； 若向量a与b共线，则 是共线向量; % 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分: 1.下列说法正确的是（/ rr r a. a与非零向量b共线,b与c共线，则a与c共线 B

14、. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等r D. 若向量a与b共线，则a 2. 正方体 ABCD ABCD中, 屮 uuir ABCD的中心，若 BB xAD 贝H x= , y = , z= . 3. 若点P是线段AB的中点，点 iuuuuuuuu 则 OPOA + OB . 是上底面 zAA , O在直线AB外, 4. 平行六面体ABCD ABCD, O为AiC与BQ I 1 uuu uur uur,uuir 的交点，则(AB AD AA)AO 3 5. 已知平行六面体 ABCD ABCD , M是AC与 LUM r LUT r uur r uuir BD交点，若 AB

15、a, AD b,AA c ,则与BM相等 的向量是() r c ; r c r b 1 - 2 r b 1 - 2 r a 1 - 2 r a 1 - 2 代 G *课后作业: r b 1 - 2 2. 已知 a 3rm 2n,b (x 1)rm 8n , a 0，若 ab，求实数x. 二、总结提升 %学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. %知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的 平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共 同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相 同的长度”，空间的平移包含平面的平移 . 玉_.

16、学习评价 %自我评价你完成本节导学案的情况为（） : 3.1.2空间向量的数乘运算（二） I 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数 式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推 论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立 体几何中的问题. 足关系式0P 共面吗？ 1 uuu i uuu i iuur 0A 0B 0C ,则点 P 与 A,B,C 2 36 鼻学习过程 一、课前准备 (预习教材P86 P87，找出疑惑之处) 复习1什么叫空间向量共线？空间两个向量 若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是 复习2:已知直线 AB，点0是直线AB外一点，

17、若 uuur 4 UJD 2 iuur OP -0A -OB，试判断A,B,P三点是否共线？ 33 反思：若空间任意一点 0和不共线的三点 A,B,C满 uuruuu muuuu 足关系式0P x0A y0B z0C ,且点P与 A, B,C 共面，则 x y z. 探典型例题 例1下列等式中， uuu ujiu uuu 使M,A,B,C四点共面的个数是() UUUU 0C; 0M 0A 0B LUUU 1 uuu 1 UUU 1 UUUU 0M 0A 0B 0C; ujir UUr uulu 2 r MA MB MC 0； LUUU 0M uuu 0A uuu 0B uuir 0C r 0

18、. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 u p与向量 变式：已知A,B,C三点不共线, 0为平面ABC外一 uur 0C R , 二、新课导学 探学习探究 探究任务一：空间向量的共面 irr 问题：空间任意两个向量不共线的两个向量a,b有怎 样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位 置关系？ 新知：共面向量：同一平面的向量 2. 空间向量共面： 定理：对空间两个不共线向量 a, b共面的充要条件是存在 使得 推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C 共面的充要条件是： 存在，使 对空间任意一点 0,有 uuu 1 iuur 7 uuu 点，右向量0P 0A -0B 53 则P,A,B

19、,C四点共面的条件是 例2如图，已知平行四边形 ABCD,过平面AC外一 点0作射线0A,0B,0C,0D,在四条射线上分别取点 E, ,F,G,H,并且使 0E 0F 0G 0H k, 0A 0B 0C 0D 求证：E,F,G,H四点共面. 试试：若空间任意一点 0和不共线的三点 A,B,C满 cfl 变式：已知空间四边形 ABCD的四个顶点 A,B,C,D 不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证： E,F,GH四点共面. D %自我评价你完成本节导学案的情况为（） A.很好 B.较好 C. 一般 D.较差 % 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： uuuu

20、1. 在平行六面体 ABCD AiBiCiDi中，向量D-A、 UUUUUUJLT D1C、AG 是（ ） A.有相同起点的向量B .等长向量 C.共面向量D .不共面向量. 2. 正方体 ABCD ABCD中，点 E是上底面 JJJT JJiTJJJ J-JT ABCD的中心，若 BB xAD yAB zAA , 贝H x= , y = , z=. 3. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB夕卜, muuunuui 则 OPOA + OB . 小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，力口 法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点， 并且要注意向量的方向. 1 探动手试试 练1.已知A,

21、B,C三点不共线，对平面外任一点，满 uuu i uur 2 uuu 2 uur 足条件OP -OA OB -OC，试判断：点 P与 555 A,B,C是否一定共面？ 4.平行六面体ABCD 1 UUU UULT 的交点，则- （AB AD 3 5.在下列命题中： 线平行；若 b 一定不共面； ABCD, O 为 A1C 与 B1D uur,uuir AA ) AO . a、b共线，则a、b所在的直 a、 若 a、b所在的直线是异面直线，则 若a、b、c三向量两两共面，则a、 b、c三向量一定也共面；已知三向量 a、b、c， 则空间任意一个向量 p总可以唯一表示为 p = xa + yb +

22、zc.其中正确命题的个数为（） A. 0B.1 C. 2 D. 3 课后作业： T 1. 若 a 3mn 2n 4p,b (x 1)rm 8n 2yp， a 0，若a / b，求实数x, y . Tr 练 2.已知 a 3rn 2ri,b (x 1)rn 8ri， a 0，若 ab，求实数x. IT UUUUU LT H 2.已知两个非零向量$,2不共线，AB e e, UUUuUU UULTITUU AC2e18G2,AD3e3求证：A, B,C,D 共面. 三、总结提升 %学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律; 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. %知识拓展 平面向量

23、仅限于研究平面图形在它所在的平面内的 平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共 同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相 同的长度”，空间的平移包含平面的平移 兰*学习评价 3.1.3.空间向量的数量积（1） r 学习目标 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； 2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两 个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问 题. .如討学习过程 一、课前准备 （预习教材P90P92，找出疑惑之处） 复习1：什么是平面向量 a与b的数量积？ 复习2 :在边长为 1的正三角形 ABC中，求 uun uujr AB ?BC. 二、新课导学 探学习探究 探究

24、任务一：空间向量的数量积定义和性质 问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何 量，能否用向量的知识解决空间两条直线的 夹角和空间线段的长度问题？ （2）a b a b : （3）a a =. 4）空间向量数量积运算律：r （1）（r）： （a b） a（ b）. （2）a b bb a （交换律）. （3）a （b C） a b a c （分配律 反思： （a b） c a （b C）吗？举例说明. 若a b a c ,则b c吗？举例说明. 若a b 0 ,则a 0或b 0吗？为什么？ 探典型例题 例1用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这

25、 条斜线垂直. 新知： 1）两个向量的夹角的定义：已知两非零向量 在空间 一点o，作OA a,OB b，贝y 做向量a与b的夹角，记作. AOB叫 围 b r b 5r b ra J ra _ a,b _ r rr rr r ,a与b; a,b =冗时，a与b b,a成立吗？ ，则称a与b互相垂直，记作 两条相交直线，直线l与平面的交点为 B，且 l m,l n. 求证：1 r njT 变式1:用向量方法证明：已知：m,n是平面 内的 2）向量的数量积：r 已知向量a,b，贝y叫做a,b的数量积，记 作a b，即a b 规定:零向量与任意向量的数量积等于零 例2 如图，在空间四边形ABCD中，

26、AB 2 , BC 3 , BD 2.3 , CD 3 , ABD 30 , ABC 60，求AB与CD的夹角的余弦值 反思： 两个向量的数量积是数量还是向量？ 0?a （选0还是0 ） 你能说出a b的几何意义吗？ 3）空间向量数量积的性质： 变式：如图，在正三棱柱 AB 2 BB 1,则 AB1 与 C （1）设单位向量e，则a e i5|cos a,e A. 60 B. 90 C. 105D. 75 A.很好 B.较好 C. 一般 D.较差 % 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分: 1. 下列命题中： 若a?b 0 ,贝U a , b中至少一个为 0 r r r r r r r

27、r 若a 0且a?b a?c，贝U b c r r r r r r （a?b）?c a?（b?c） rr rr r 2 r 2 (3a 2b)?(3a 2b) 9 a4 b 正确有个数为() -，则下面 3 ur D. e2 例3如图，在平行四边形 ABCD-A 1 B 1C 1 D 1中, AB 4,AD 3,AA 5, BAD 90 , BAA= DAA=60，求 AC 的长. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 LTuu 2. 已知e和e2是两个单位向量，夹角为 ur it 向量中与2e2 e垂直的是（） LT uTIT urLT A. e1 e?B. e 佥 C. e 3.

28、 已知 ABC中， A, B, C所对的边为a,b,c , 厂uuu uur 且 a 3,b 1, C 30 ,则 BC?CA=_ 4. 已知a 4 , b 2 ,且a和b不共线，当a b 与a b的夹角是锐角时，的取值范围是. 5. 已知向量a,b满足|a 4, b 2, a b 3, 贝 y a b *课后作业: 1.已知空间四边形 求证：AD BC. 3.1.4空间向量的正交分解 及其坐标表示 %动手试试 uurn .r r 练1.已知向量a,b满足a 1 , b 2, a b 3, 则 ia b. 练 2.已知 2, b , a bV2 ,则 a 与b 的夹角大小为. 2. 已知线段

29、AB、BD在平面 内,BD丄AB,线段AC 如果AB = a,BD = b,AC= c,求C、D间的距离. 三、总结提升 %学习小结 1.向量的数量积的定义和几何意义. 2. 向量的数量积的性质和运算律的运用 %知识拓展 向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求 两条直线的夹角和线段长度的新方法. 底4 .二言1.学习评价 %自我评价你完成本节导学案的情况为（）. 心学习目标的坐标，记着. 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和uuu 坐标表示；设 A(Xi,yi,Zi) , B(X2,y2,Z2)，则 AB = 2. 掌握空间向量的坐标运算的规律； 壮曲.学习过程 一、课前准备

30、 (预习教材P92-96找出疑惑之处) 复习1：平面向量基本定理： uLrr 对平面上的任意一个向量P , a,b是平面上两个 向量，总 uLrr 是存在 实数对x,y，使得向量P可以用a,b来表 irr 示，表达式为，其中a,b叫 rru 做.若a b，则称向量P正交分解. 复习2:平面向量的坐标表示： 平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的_向量 作为基底，对平面上任意向量a，有且只有一对 实数x, y，使得a xi y j ,则称有序对 x, y rr 为向量a的，即a =. 向量的直角坐标运算： 设a=盘忌),b= (44,6)，则 a+ b =(a1鸟，比忌b3); a b =佝da

31、b2,a3b3); 山=(a1, a2, a3) ( R); a b = a1b1 a26 a3b3. 试试： r r r rr 1. 设a 2i j 3k，则向量a的坐标为. uuu 2. 若 A(1,0,2) , B(3,1, 1)，则 AB =. 3. 已知 a = (2, 3,5) , b= ( 3,1, 4),求 a + b, a b, 8a, a b 二、新课导学 探学习探究 探究任务一：空间向量的正交分解 问题：对空间的任意向量 a,能否用空间的几个向量 唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量 有何位置关系？ 探典型例题 例1已知向量a,b, c是空间的一个基底，从向量 r

32、 r ru r u a, b, c中选哪一个向量，一定可以与向量p a b, q a b构成空间的另一个基底？ 新知： 空间向量的正交分解：空间的任意向量a,均可 n uu uu 分解为不共面的三个向量 1 a 2a2、3a3，使 r uu uu uuuu in uu、 a 1a12a23a3 .如果 a1, a2, a3 两两，这 uuu uuu uur 变式：已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？ 种分解就是空间向量的正交分解 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c, 对空间任一向量p ,存在有序实数组x, y, z，使

33、得 iur r rr r r p xa yb zc.把的一个基底，a,b,c都叫做基 向量. 反思：空间任意一个向量的基底有 个. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互 相，长度都为 ，则这个基底叫做 单位正交基 底，通常用 i,j,k表示. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系 O-xyz和向量a,且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正 方向的单位向量，则存在有序实数组x,y,z，使得 a xi y j zk，则称有序实数组x, y, z为向量a F 小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底 的方法是：这三个向量一定 不共面. 例2如图，M,N分别是四面体 QABC的边OA,B

34、C的 uuu uur uur 中点，P,Q是MN的三等分点，用 OA,OB,OC uuuuur 表示OP和OQ . 探 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： irirr 1.若a,b,c为空间向量的一组基底，则下列各项中, 能构成基底的是( r r r r r A. a,a b, a b r r r r r C. c,a b,a b 17 2b- 变式：已知平行六面体 ABCD ABCD，点G iuurujltr uiuur 是侧面BBCC的中心，且OAa ,OCb,OOc , 试用向量a,b,c表示下列向量： UUUl UUT UUUUUlT OB,BA,CA; OG . 2. 设i

35、、j、k为空间直角坐标系 O-xyz中x轴、y轴、 uuu r r r z轴正方向的单位向量，且AB i j k，则点B 的坐标是 3. 在三棱锥 OABC中，G是 ABC的重心（三条中 um luu uuu 线的交点），选取OA,OB,OC为基底，试用基底表示 uur OG = 4. 正方体ABCD ABCD的棱长为2,以A为坐 uu uur uuul 标原点，以AB,AD,AA 为x轴、y轴、z轴正方向建 立空间直角坐标系， E为BBi中点，贝V E的坐标 是. 5. 已知关于x的方程x2 t 2 x t2 3t 50有 两个实根，c a tb，且 a 1,1,3 ,b 1,0, 2 ,

36、当t=_时，c的模取得最大值. %动手试试 亠r 练1.已知a 2, 3,1 r r r a? b c ； rr ,b 2,0,3 ,c 0,0,2 ，求: 练2.正方体 ABCD ABCD的棱长为2,以A为 uuu ujir uuui 坐标原点，以AB,AD,AA 为x轴、y轴、z轴正方向 HIT UUl 建立空间直角坐标系，则点D1 , AC, AC的坐标分 另惺, , . 三、总结提升 探学习小结 1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理; 2. 空间向量坐标表示及其运算 %知识拓展 建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直 关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件， 通过作辅助

37、线来创造建系的图形. 倉匸学习评价 %自我评价你完成本节导学案的情况为（ A.很好 B.较好 C. 一般 D.较差 :7课后作业 UUl UUU 1.已知 A 3,5, 7 , B 2,4,3，求 AB, BA,线段 AB 的中点坐标及线段 AB的长度. 2.已知 r r r a b,a 1,2,3 , ,b,c 是 c是另- 空间的一个正交基底，向量 组基底，若p在a,b,c的坐标是 r r r r ，一 b,a b,c的坐标. 3.1.5空间向量运算的坐标表示 1.掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距 園中山市东升高中高二数学选修2-1 导学案 编写：李晓利 校审：李八江 离公式、中

38、点坐标公式； 2.会用这些公式解决有关问题 7学习过程 一、课前准备 (预习教材P95 P97，找出疑惑之处) 复习1:设在平面直角坐标系中，A (1,3)，B( 1,2), 则线段丨AB | =. 复习 2:已知 a 3,2,5 ,b 1,5, 1，求： a + B. 3a b;6A.;a b. B(x2,y2,z2)，则线段AB的中点坐标为：. 探典型例题 例1.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点分 别是A1B1Q1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所成的 角的余弦值. 二、新课导学 a 探学习探究 探究任务一:空间向量坐标表示夹角和距离公式 问题：在空间直角坐标系中，如何

39、用坐标求线段的 长度和两个向量之间的夹角？ 新知： 1. 向量的模：设a=佝a,玄3)，则| a |= - 2. 两个向量的夹角公式： 设 a =怎忌),b= (b1,b2,b3), 由向量数量积定义：a b= |a|b|cosv a,b, 又由向量数量积坐标运算公式：a b=, 由此可以得出：cosv a,b = 试试: 当cosv a、b= 1时，a与b所成角是; 当cosv a、b = 1时，a与b所成角是; 当cosv a、b= 0时，a与b所成角是， 即a与b的位置关系是，用符合表示 为. 反思： 设a =(印耳舄),b=仏鸟)，则 a/B. a与b所成角是 a与b的坐标 关系为；

40、a丄ba与b的坐标关系为; 3. 两点间的距离公式： 在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1, z1), ，则线段AB的长度为： AB 区 xj2 (% y2)2 (z Z2)2 . I 4. 线段中点的坐标公式： 在空间直角坐标系中，已知点A(x-i, y1, z-i), 变式：如上图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， A1 B1 B1E1 D1F111，求BE1与DF1所成角的余弦值. 3 例2.如图，正方体 ABCD AB1GD1中，点E,F分 别是BB1Q1B1的中点，求证：EF DA1. 变式：如图，正方体 ABCD AB1C1D1中，点 M 是 AB的中点，求DB1与CM所

41、成角的余弦值. aiaa? 1. 右 a = ( ai, a2 , a3) , b= (bi ,b2,b3),则是 bib2b? ab 的() 的值为 B. 6 C. x, x2 且a,b的夹角为钝 小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在 合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再 用公式计算 %动手试试 练 1.已知 A（3,3,1）、B（1 , 0, 5），求： 线段AB的中点坐标和长度； 到A、B两点距离相等的点 P（x,y,z）的坐标x、y、 z满足的条件. A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件r D.既不充分又不不要条件 2. 已知 a 2, 1,3 ,b 4,

42、2,x，且 a b , 则x=. LLULUUUUU 3. 已知 A 1,0,0 ,B 0, 1,1 ,OA OB 与 OB 的夹角 为120,则 A.亠 r 6 4.若 a x,2,0 ,b 3,2 角，贝U x的取值范围是（） A. x 4B. 4 x 0 练2.如图，正方体的棱长为 2,试建立适当的空间 直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的 同学交流 C. 0 x 4 D. x 4 r r ,且 5.已知 a 1,2, y ,b x,1,2 r r riu (a 2b)/(2a b)，贝 () A. x 1 -,y 1 B. 1 x - ,y 3 1 2 C. x 2,y D.

43、x 1,y 4 4 1 * 课后作业： 1. 如图，正方体 ABCD ABCD棱长为a , 求AB, BC的夹角；求证：AB AC. 三、总结提升 %学习小结 1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公 式、中点坐标公式； 2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立 合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后 再代入公式进行计算. 2. 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 M,N分别 为棱A1A,B的中点，求CM和D1N所成角的余弦值 %知识拓展 在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的 任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平 面向量又称二维向量空间向量可用三

44、元有序实数组 表示，空间向量又称三维向量 二维向量和三维向量 统称为几何向量 学习评价. %自我评价你完成本节导学案的情况为（ A.很好 %当堂检测 B.较好 C. 一般 D.较差 （时量：5分钟满分：10分）计分： 3.1 空间向量及其运算（练习） 1.熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运 算，向量的数量积运算及其坐标表示； 编写：李晓利校审：李八江 中山市东升高中高二数学选修2-1 导学案 2.熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点 间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式 解决有关问题. 方向的单位向量，则存在有序实数组x, y,z，使得 a xi yj zk，则称有序实数

45、组x,y,z为向量a 的坐标，记着. 飞今学习过程 、课前准备：(阅读课本P115) uuu 10.设 A(x1, y1, Z1) , Byz)，则 AB = 复习： 1.具有 和 的量叫向量，叫向量 的模；叫零向量，记着; 具有叫单位向量. 2.向量的加法和减法的运算法则有 法则和法则 1 3实数入与向量a的积是一个量，记作 ，其 长度和方向规定如下： (1)1间= 当心0时，扫与A.; 当疋0时，扫与A.; 当匕0时，扫=. 4.向量加法和数乘向量运算律： 交换律：a + b=结合律：(a + b) + c= 数乘分配律：Xa + b)= 互相 或， 则这些向量叫共线向量， 也 叫平行向量

46、. 空间向量 共线定理 :对空间任意两个向量 I I a,b r r r r (b 0 ), a/ b的充要条件是存在唯一实数 使得 ； 5.表示空间向量的所在的直线 推论：I为经过已知点 A且平行于已知非零向 量a的直线，对空间的任意一点0,点P在直线I 上的充要条件是 11.向量的直角坐标运算： 设a=但仆氏卫彳),b= (b!,b2,b3)，则 a + b =; a b=; X =; a b= 探动手试试 1.在下列命题中：若a、b共线，则a、b所在的 直线平行；若a、b所在的直线是异面直线，则a、 b 一定不共面；若 a、b、c三向量两两共面，则 a、b、c三向量一定也共面；已知三向量

47、a、b、 c,则空间任意一个向量 p总可以唯一表示为 p= xa + yb+ zc.其中正确命题的个数为() A . 0 B. 1 C. 2 D. 3 uuuu 2 .在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，向量DJ、 uuuuuur D,C、AG 是( ) A .有相同起点的向量B .等长向量 C.共面向量D .不共面向量 17 入 17 3/ 1,若 =(1 , 4, 2), c三向量共面，则实数 (627 64一 6.空间向量共面： 共面向量：同一平面的向量. r ru 定理：对空间两个不共线向量 a,b ,向量p与向量 a, b共面的充要条件是存在， 使得 推论：空间一点P与不在同

48、一直线上的三点A,B,C 共面的充要条件是： 存在，使 4.若a、b均为非零向量，则 a b |a |b|是a与b 共线的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 5 .已知 ABC的三个顶点为 A ( 3, 3, 2), B (4, 3,7),C( 0 , 5 , 1),则BC边上的中线长为() A . 2 B . 3 C. 4 D. 5 对空间任意一点0,有 7. 向量的数量积 :a b . 8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互 相，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基 底，通常用 i,j,k表示. ! - 9. 空间向量的坐标表示

49、：给定一个空间直角坐标系 O-xyz和向量a,且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正 r irrrrrr r ruuu 6. a 3i 2j k,b i j 2k,则 5a?3b() A. 15 B. 5 C . 3 D . 1 探典型例题 um 例1如图，空间四边形 OABC中，OA uur r OC c ,点M在OA上，且OM=2MA,点 uuuu 中点，贝y MN N为BC的 tutuuu CCi c，则 AB （） A. a b c B. a b c C. a b c D. a b c ir r irr r r r 2. m a,m b, 向量n a b( ABCD A BC D中， 在

50、CA 上, 且CQ 4 QA 1 , uur AQ . - 点P,M ,N分别是 CA,CD,C d的中点，点 Q 用基底a,b,c表示下列向量： UUUUULUunr AP ；AM ;AN ； j I ft A. 30 B. 45 C. 60D .以上都不对 r r r rr r 4.已知a 1,1,0 ,b 1,0,2 ,且ka b与2a b互 相垂直，则 k的值是（ ) 1 3 7 A. .1 B. C. D.- 5 5 5 5.若 A(m+ 1, n 1,3), B. (2m,n,m 2n), C(m+ 3, n 3,9)三点共线，则 m+n= 变式：如图，平行六面体 uuuLTLUT

51、r uuirr ABa, ADb， AAc, 0）则（） ir rirr A. m nB . m与n不平行也不垂直 C. m n ,D .以上情况都可能. r r r r rrr 3. 已知 f + 辛 + c = 0，Ia |=2, |b |= 3, | c | = 19 , 则向量a与b之间的夹角a,b为（） 例2 如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中， ABC 90 ,CB 1,CA 2,AA,.6，点 M 是 CC,的 中点，求证：AM BA. 一课后作业 如图，在棱长为 1的正方体 ABCD ABiCiDi中，点 E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点. 求证：EF CF

52、; 求EF与CG所成角的余弦； 求CE的长 变式：正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长为2,底面 边长为1,点M是BC的中点，在直线CC1上求一点 N,使得MN AB /.W学习评价 探自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A.很好 B.较好 C. 一般 D.较差 探 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： uurluu 1. 直三棱柱 ABC A1B1C1 中，若 CA a , CB b , 3.2立体几何中的向量方法（1） 匚学习目标 1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念； 2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平 中山市东升高中高二数学选修2-1 导学案 编写：

53、李晓利校审：李八江 行、垂直、夹角等立体几何问题. 匚匕訝学习过程 = _： - _ . .4 . ：. - _ . I-. J ”. - J .- 一、课前准备 反思： 1. 一个平面的法向量是唯一的吗? 2. 平面的法向量可以是零向量吗? （预习教材Pl02P104，找出疑惑之处） 复习1： 可以确定一条直线；确定 一个平面的方法有哪些？ 复习2:如何判定空间 A,B,C三点在一条直线上? （5）向量表示平行、垂直关系： 设直线l,m的方向向量分别为 法向量分别为u,v,贝U 复习3:设a=（耳耳鸟）,b= （Dbg）, a b= : 二、新课导学 探学习探究 探究任务一：向量表示空间的点

54、、直线、平面 问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置？ I 新知： 点：在空间中，我们取一定点 0作为基点，那么 UJU 空间中任意一点P的位置就可以用向量 0P来表示， mu 我们把向量0P称为点P的位置向量. 直线： 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非 零向量. 对于直线l上的任一点 P ,存在实数t，使得 uuu uuu AP tAB，此方程称为直线的向量参数方程 平面： 空间中平面的位置可以由内两个不共线向 量确定.对于平面上的任一点P ,a,b是平面 内两 个不共线向量，则存在有序实数对（x,y）,使得 uun r r OP xa yb. 空间中平面的位置还可以用

55、垂直于平面的直 线的方向向量表示空间中平面的位置 平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在 直线垂直于平面，则称这个向量n垂直于平面， rr 记作n丄，那 么向量n叫做平面的法向量. 试试:. 1. 如果a,b都是平面 的法向量，则a,b的关 系 . 2. 向量n是平面的法向量，向量a是与平面 平行 或在平面内，则n与a的关系是. 二Zi15 例1已知两点 A 1, 2,3 ,B 2,1, 3，求直线 AB 与坐标平面YOZ的交点. 变式：已知三点 A 1,2,3 ,B 2,1,2 , P 1,1,2 ,点Q在 uun uuu OP上运动（0为坐标原点），求当QA?QB取得最小 值时，点Q的

56、坐标. 小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数 方程即可. 例2用向量方法证明两个平面平行的判定定理：- 个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这 两个平面平行. 变式：在空间直角坐标系中，已知 A 3,0,0 ,B 0,4,0 ,C 0,0,2，试求平面 ABC 的一个 法向量 小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直 %动手试试 练1.设a,b分别是直线he的方向向量，判断直线 1门2的位置关系： a 1,2, 2 ,b 2,3,2 ; rr a 0,0,1 ,b 0,0,3 . r r 练2.设u,v分别是平面，的法向量，判断平面 ,的位置关系： U1,2, 2 ,V2, 4

57、,4 ; u2, 3,5 ,V3,1, 4 . 方向向量，则直线1（2的位置关系是 _ 2. 设u2,2,5 ,v 6, 4,4分别是平面， 的法 向量，则平面 ，的位置关系是 . 3. 已知n，下列说法错误的是（） rr A.若 a ，则 n a B.若 a ，则 n a IT r LTurrIT C.若 m ,，贝y n m d.若 m ,，贝U n m 4. 下列说法正确的是（） A. 平面的法向量是唯一确定的 B. 条直线的方向向量是唯一确定的 C. 平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量 D. 若m是直线I的方向向量，1 ，则m uuruiut 5. 已知 AB 1,0, 1 ,A

58、C 0,3, 1，能做平面 ABC 的法向量的是（） 1 A. 1,2,1 B. 1,-,1 C. 1,0,0 D. 2,1,3 3 _课后作业 uuuu 1. 在正方体 ABCD ABC1D1中，求证：DB1是平面 ACD1的一个法向量 三、总结提升 %学习小结 1. 空间点，直线和平面的向量表示方法 2. 平面的法向量求法和性质. %知识拓展： 求平面的法向量步骤： 设平面的法向量为 n （x,y,z）; 找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标； 根据法向量的定义建立关于x, y, z的方程组； 解方程组，取其中的一个解，即得法向量. 邑学习评价 %自我评价你完成本节导学案的情况为（）

59、. A.很好 B.较好 C. 一般 D.较差 %当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.设a 2, 1, 2 ,b 6, 3, 6分别是直线的 UJUuuu 2 .已知 AB 2,2,1 ,AC 4,5,3，求平面 ABC 的 一个法向量. 3.2立体几何中的向量方法（2） 1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单 的立体几何问题； 2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图 形中的角度的计算方法 学习过程 一、课前准备 （预习教材Pl05P107，找出疑惑之处. r r r rit rr 复习 1 :已知 a?b1， a1, b2，且 m2ab， 求m . 变式1 :

60、上题中平行六面体的对角线 BD1的长与棱长 有什么关系？ 变式2 :如果一个平行六面体的各条棱长都相等， 并 且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那 么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长 吗？ 复习2:什么叫二面角？二面角的大小如何度量? 面角的范围是什么？ 二、新课导学 探学习探究 探究任务一：用向量求空间线段的长度 问题：如何用向量方法求空间线段的长度？ 新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式 a a求出线段长度. I - : 试试：在长方体ABCD ABCD中，已知 AB 1,BC 2,CC1，求 AC 的长. 探究任务二：用向量求空间图形中的角度 例2如图，甲站在水库底