24.1.2垂径定理及推论教学设计

1、24.1.2 垂径定理及推论教学设 计【教材分析】本节是圆这一章的重要内容，也是本章 的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这 条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性 的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧 相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的 有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理 的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到 抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通 过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形 结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生 实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思 维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重 要的位置。【教学目标】根据新课

2、程标准的要求，课改应体现学生身 心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发 现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节 课的教学目标确定为以下三个方面： 知识目标： 使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会 运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 方法与过程目标：经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及推论 的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。 情感态度与价值观目标： 在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进 一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运 用数学的习惯和意识。【重点与难点】重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。 难点：对垂径

3、定理及其推论的探索和证明， 并能 应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。【学生分析】九年级学生已了解圆的有关概念；但根据皮 亚杰的认知发展理论：这个阶段的学生思维正处 于具体思维向抽象思维发展、逻辑思维向形式思 维发展、内部心理上逐步朝着自我反省的思维发 展。虽然他们具有一定的数学活动经验、生活经 验和操作技能，会进行简单的说理，但他们的逻 辑思维能力和抽象思维能力还比较薄弱。对如何 从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型的 能力较差。【教学方法】鉴于教材特点及九年级学生的知识基础，根 据教学目标和学生的认知水平，让学生在课堂上 多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到 整个教学活动中来，

4、组织学生参与“实验-观察 -猜想-证明的活动，最后得出定理，这符合 新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事 物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主 导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时， 在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效 果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的 共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、 动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新 课程理念下的直观性与可接受性原则。【设计理念】在教学设计和课堂教学中应充分了解学生，研究 学生，我们不仅要备教材，而且还要备学生。要 真正树立以学生的发展为本的教学理念。只有这 样，才能为学生提供充分的教学活动和交流的机 会

5、，使学生从单纯的的知识接受者变为数学学习 的主人。【教师准备】问题导读-评价单、问题生成-评价单、 问题训练-评价单【教学过程的设计】问题情境创设情境，导入新课师生活动设计意图教师循序 渐进地将 一个个的 问题抛 出，引导 学生一步 步地进行 思考和总 结，调动 学生的学 习积极 性，培养 学生的学 习习惯。1. 将你手中的圆沿 圆心对折，你会 发现圆是一个什 么图形？2. 将手中的圆沿直 径向上折，你会 发现折痕是圆的 一条弦，这条弦 被直径怎样了？3. 一个残缺的圆形 物件，你能找到 它的圆心吗？4. 赵州桥是我国 古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？合作交流，探究新知1. 圆的对

6、称性（探究）圆是轴对 称图形吗？它有几 条对称轴？分别是 什么？2. 垂径定理（思考）如图：AB 是O O的一条弦，上课之前先检查 学生对问题导 读评价单的完 成情况 将学生分组，然 后由小组长发放 问题生成评价 单，然后小组根 据评价单中的问 题进行讨论，交 流。然后由组长 进行汇总，选出 小组代表进行发 言我们一起来完成 这个结论的证明 教师出示问题， 前两个问题可以 由学生动手操 作，并观察结果，作直径CD，使 CD丄 AB, 垂足E。 这个图OBA形是对称图形吗 你能发现图中有哪些相等的线段 和弧？请说明理由。 你能用一句话概 括这些结论吗？ 垂径定理：垂直 于弦的直径平分 弦，并且平

7、分弦 所对的两条弧。 你能用几何方法 证明这些结论你能用符号语吗？ 言表达这个结论 吗？得到初步结论。后两个问题作为 问题情境，激发 学生学习兴趣， 引导学生进一步 的学习。培养学生 的观察能 力，概括 能力，分 析能力， 从而调动 学生学习 积极性， 使学生主 动的获得 知识圆的对称性由学 生发现并总结， 教师进行板书。教师出示问题 学生小组讨论， 发现垂径定理的 证明方法，并由 学生代表发言。让学生进 一步熟悉 垂径定理 的条件与 结论，并 为探索垂3.垂径定理的推论 如上图，若直径CD 平分弦AB则 直径CD是否垂 直且平分弦所对的 两条弧？如何证 明？径定理的 推论打基 础 你能用一句

8、话总 结这个结论吗？(即推论：平分弦 的直径也垂直于 弦，并且平分弦所 对的两条弧) 如果弦AB是直 径，以上结论还成 立吗？学生尝试将文字 转变为符号语 言，用几何符号 表达定理的逻辑 关系。教师更正。例题示范，变式练习例1.如图。在O O教师明确定理中 的条件和结论， 初步理解“知二 得三”口诀的含中弦AB的长为8cm，圆心 O到AB的距离0D=3cm，则O O的半径为cm(1)连结什么可 得到一个直角 三形？(2利用什么知教师提出问题， 引导学生进行思 考和讨论。学生尝试得出垂 径定理和推论，让学生亲 自探索出 各条推 论，以使 学生以后 在应用中 可明明白 白不加怀 疑 的应用知 二推

9、三， 并培养学识可以解得半 径。教师规范并板生的团队(3) 从中你可总书。意识及资结出利用垂径 定理计算的什教师提醒学生此源共享的么技巧？中的弦一定不能意识例2.如图，是赵州 桥的CB是直径。示、八意图，若其中AB是桥 的跨度为37.4米， 桥拱高CD为7.2米,你能求出它所 在的圆的主桥拱半径吗？灵活应用，提高能力在例1中教师可1.已知：如图,AB通过问题设置，垂径定理是O O直径，CD是 弦，AE! CD BF丄引导学生联系的应用，/求证：弦、半径、弦心距或者拱高等因了解圆中On) EC= DF辅助线的素，从而构成直添法，并E CDF2、已知：如图，OO中AB为弦C为AB的 中占I 八、，

10、OC交ABC于 D , AB = 6cm ,CD=1cm.求 O O 的半径OA.轻松过关发放问题训练评 价单，让学生独立 完成其练习题角三角形，利用 勾股定理解决问 题。这也是解决 计算问题的主要 方法，教师一定 要重点重申。此题是垂径定理 计算题中另一种 题型，主要利用 将垂径定理、勾 股定理、方程的 知识进行综合应 用。教师在提示后让规范论证 书写过 程，能利 用图形迅 速获取信 息，并找 出垂径定 理所需的 条件，巩 固并熟练 垂径定理 的使用方 法学生进行小组讨归纳总结，形成体系通过这堂课的学习 你有什么收获?知 道了哪些新知识？ 学会了做什么论，然后进行总 结，得出结论, 让学生做

11、好笔 记，养成良好的 学习习惯。综合应 用，巩固 提高课本 例题涉及 的问题， 因此设计 该分层推 进的补充 题，巩固 本节所学 知识。学生独立练习， 而后再与同桌交 流，上讲台演示, 教师要重点关注鼓励学生独立完成冋题 评价单中的练习 题，老师进行讲 评，主要培养学生独立解题能力生从数学 知识、数 学方法和学生畅所欲数学情感 等方面进 行自我评 价，培养 学生归纳言，从知识、方禾口语言表法、情感态度等达能力。方面谈收获，谈使学生的体会，并结合本知识更加节教学目标，发完整和清现在学习中学会晰，形成了什么，还存在知识体哪些问题。系。24.1.2垂径定理及其推论教学设计问题导读评价单设计者：班级：

12、姓名：【教学目标】根据新课程标准的要求，课改应体现学生身 心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发 现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识目标：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会 运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问 题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 方法与过程目标：经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及推论 的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。 情感态度与价值观目标：在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进 一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运 用数学的习惯和意识。a【重点与难点】重点：垂径定理及其推论的发现、记忆

13、 与证明难点：对垂径定理及其推论的探索和证图4明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证 明。挑战包毅1 已知 AB是OO的弦，AB= 8cm OCL AB与 G 0C=3cm则O O的半径为cm2如图，OO的直径AB垂直于弦CD垂足为E，若/CO氐120,OB 3厘米，则CD=厘3. 半径为6cm的圆中，垂直平分半径 OA的弦长为cm.4. MO O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM勺长等于cm5. 如图，AB为O O的弦，O O的半径为5, OCLAB于点D交O O于点C 且CD= I，则弦AB的长是通过预习本节内容你未解决的问题有:自我评价:小组评价：教师评价：c2

14、4.1.2垂径定理及推论教学设计问题生成评价单请同学们在预习的基础上，将生成的问题充 分交流后，在单位时间内完成下列题目，并准备 多元化展示.带着问题走进丰富多彩的数学世界迸复习1. 将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个 什么图形？2. 将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆 的一条弦，这条弦被直径怎样了？3. 个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？4. 赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求 出主桥拱的半径吗？巧问题-分析通过上述问题，学生自己动手操作可以得出圆是轴对称图形，而且对称轴是过直 径的直线，由此我们可以得出垂径定理及推论 归纳垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所

15、对的两条弧。垂径定理推论：平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意在推论里，平分的这条弦一定不能为直径，否则推论不成立。1A刁问题二例1.如图在O O中弦AB的长为8cm，圆心0 到AB的距离0D=3cm，则O 0的半径厂 0 iA D为cm(1) 连结什么可得到一个直角三形？(2) 利用什么知识可以解得半径。(3) 从中你可总结出利用垂径定理计算的什么 技巧？CO例2.如图，是赵州桥 的几何示意图，若其 中AB是桥的跨度为 37.4米,桥拱高CD为 7.2米，你能求出它 所在的圆的主桥拱、【/ ITH C小组评价：教师评价：24.1.2垂径定理及推论教学设计问题训练

16、一一评价单设计者：班级：姓名：1 如图1 , O0的直径为10,圆心0到弦 AB的距离0M的长为3,那么弦AB的长是( )A. 4B . 6 C . 7 D . 82.如图，O O的半径为5,弦AB的长为8, M是 弦AB上的一个动点，则线段 OM长的最小值为(A.)2 B . 3 C3.D. 5下列命题中，正确的是A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C. 弦的垂线必经过这条弦所 在圆的圆心D. 在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心4.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形 其跨度为()A. 5米米24米，拱的半径为B . 8 米 C13米，(劣弧), 则拱高为5 . O OAB=8cm,CD=6cn则 AB与 CD之间 的距离为()的半径为5cm,弦 AB/CD ,且A.1 cm B . 7cm C . 3 cm或 4 cmD. 1cm 或 7cm柘展提升6.如图，在直