角动量定理及角动量守恒定律

1、角动量定理及角动量守恒定律 、力对点的力矩: 如图所示，定义力F对0点的力矩为： M = r F 大小为： M = Fr sin v 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋 法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲 的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时， 拇指指向的方向就是力矩的方向。 二、力对转轴的力矩： 力对0点的力矩在通过0点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。 1）力与轴平行，则M =0 ; 2）刚体所受的外力F在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之 间的距离d称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积，称为力F对 转轴的力矩，用M表示。力矩的大小为：M = Fd 或

2、：M = Frsi nr 其中是F与r的夹角。 3）若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一 个与转轴平行的分力R，一个在垂直与转轴平面内的分力 F2，只有分 力F2才对刚体的转动状态有影响。 对于定轴转动，力矩M的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方 向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。 、合力矩对于每个分力的力矩之和 合力 合外力矩 即 F八Fi M = r F = r Fj 八 r MMi 四、质点的角动量定理及角动量守恒定律 在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中 所遵循的动量守恒定律。同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动

3、时，我们也可以用角 动量来描述物体的运动状态。角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和（线） 动量所起的作用相类似。 在研究力对质点作用时，考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定 律；考虑力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。 至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作 用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容。本节主要讨论的是绕定轴转动的刚 体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守 恒定律。 下面将从力矩对时间的累积作用，弓I入的角动量的概念

4、，讨论质点和刚体的角动量和角 动量守恒定律。 1质点的角动量（Angular Momentum）描述转动特征的物理量 丄 1）概念 一质量为m的质点，以速度v运动，相对于坐标原点O的位置矢量 为r，定义质点对坐标原点0的角动量为该质点的位置矢量与动量的矢量积，即 L = r P = r mv 角动量是矢量，大小为 L=rmvsin a 式中a为质点动量与质点位置矢量的夹角。 角动量的方向可以用右手螺旋法则来确定。 角动量的单位：kg.mls-1 2)说明: (1)大到天体，小到基本粒子，都具有转动的特征。但从 18世 纪定义角动量，直到20世纪人们才开始认识到角动量是自然界 最基本最重要的概念

5、之一，它不仅在经典力学中很重要，而且在 近代物理中的运用更为广泛。 例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子本身还有自旋运动，具有自旋角动量等等。 原子、分子和原子核系统的基本性质之一，是它们的角动量仅具有一定的不连续的量值。这 叫做角动量的量子化。因此，在这种系统的性质的描述中，角动量起着主要的作用。 (2)角动量不仅与质点的运动有关，还与参考点有关。对于不同的参考点，同一质点有不同 的位置矢量，因而角动量也不相同。因此在说明一个质点的角动量时， 必须指明是相对于哪一个参考点而言的。 3)角动量的定义式L = r P = r mv与力矩的定义式M = r F形 式相同，故角动量有时也称为动量

6、矩 动量对转轴的矩。 (4) 若质点作圆周运动，v，且在同一平面内，则角动量的大小为 L=mrv=mrw，写成矢量形式为L =mr2 (5) 质点作匀速直线运动时，尽管位置矢量 r变化，但是质点的角动量L保持不变 L=rmv sin a =mvd 2.质点的角动量定理(Theorem of Angular Momentum) (1)质点的转动定律 问题：讨论质点在力矩的作用下，其角动量如何变化。 设质点的质量为m在合力f的作用下，运动方程为 一 - dv d mv F = ma = m dt dt 用位置矢量r叉乘上式，得 dt 考虑到 dddr- r mv = r mvmv dtdtdt 和

7、 得 由力矩 d r 一 一 一 v = v v = 0 dt - - d r F r mv - dt M = r F - d - 和角动量的定义式L = r mv dt 得 表述: dL dt 作用于质点的合力对参考点 O的力矩，等于质点对该点 O的角动量随时间的变化率, 精品文档，知识共享！ ! 有些书将其称为质点的转动定律(或角动量定理的微分形式)。 这与牛顿第二定律F二P/t在形式上是相似的，其中 M对应着F, L对应着P。 (2)冲量矩和质点的角动量定理 把上式改写为Mt = L Mdt为力矩和作用时间的乘积，叫作冲量矩。对上式积分得 t2 Mt = L? - L1 t1 t2 式中

8、L1和L2分别为质点在时刻ti和t2的角动量，Mt为质点在时间间隔t2- ti内所受的冲量 tl 矩。 质点的角动量定理：对同一参考点，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。 成立条件：惯性系 3.质点的角动量守恒定律(Law of Conservation of Angular Momentum) 若质点所受的合外力矩为零，即 M=0,则 L = r mv=恒矢量 这就是角动量守恒定律：当质点所受的对参考点的合外力矩为零时，质点对该参考点的 角动量为一恒矢量。 说明： (1)质点的角动量守恒定律的条件是 M =0,这可能有两种情况： 合力为零； 合力不为零，但合外力矩为零。 例如：质点作匀速

9、圆周运动就是这种情况。质点作匀速圆周运动时，作用于质点的合力 是指向圆心的所谓有心力，故其力矩为零，所以质点作匀速圆周运动时，它对圆心的角动量 是守恒的。不仅如此，只要作用于质点的力是有心力，有心力对力心的力矩总是零，所以， 在有心力作用下质点对力心的角动量都是守恒的。太阳系中行星的轨道为椭圆，太阳位于两 焦点之一，太阳作用于行星的引力是指向太阳的有心力，因此如以太阳为参考点0,贝U行星 的角动量是守恒的。 特例：(1)在向心力的作用下，质点对力心的角动量都是守恒的； (2)匀速直线运动。 (2)角动量守恒定律是物理学的另一基本规律。在研究天体运动和微观粒子运动时，角动量 守恒定律都起着重要作

10、用。 典型例题 1 mvo 2 mv2 2 k(- )2 1、如图所示，一静止的均匀细棒，长为L、质量为M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴 2 O在水平面内转动，转动惯量为ML /3. 质量为m、速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出 并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为 v/2, 则此时棒的角速度应为 mv 3mv 5mv 7mv (A) ML . (B) 2ML . (C) 3ML . (D) 4ML . 1 2 0 俯视图 解: 角动量守恒 12 mvL=扌ML m V- 2 J 1 3mv = 2ML , 选(D) 2 v 2.在一光滑水平上，有一轻弹簧，一端固定，

11、一端连接一质量m=1kg的滑块，如图所示。弹簧自然 十 长度I o=O.2m,倔强系数k=100N- mi。设t=0时，弹簧长度为lo，滑块速度 - vo=5m- s-1，方向与弹簧垂直。在某一时刻，弹簧位于与初始位置垂直的位 -置，长度I=0.5m。求该时刻滑块速度 八的大小和方向。 解.mv0 =mv sin 解得 v= Vo-m(- 0)=4m/s,30 3 假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的 (A)角动量守恒，动能也守恒.(B)角动量守恒，动能不守恒. (C)角动量不守恒，动能守恒.(D)角动量不守恒，动量也不守恒. 提示：卫星所受唯一外力为万有引力，是“

12、有心力”，故角动量守恒；该外力不做功，故动能守恒。 提示：反例如：合力为 0,但合力矩不为 0,此时动量一定守恒。 转动半径R等于多少? 2 B 4 .若作用于一力学系统上外力的合力为零，则外力的合力矩 这种情况下力学系统的动量、角动量、机械能三个量中一定守恒的量是 5.一根长为I的细绳的一端固定于光滑水平面上的O点，另一端系一质量为 m的小球，开始时绳子 是松弛的，小球与 O点的距离为h .使小球以某个初速率沿该光滑水平面上一直线运动，该直线垂直于小 球初始位置与 O点的连线.当小球与 O点的距离达到I时，绳子绷紧从而使小球沿一个以O点为圆心的 圆形轨迹运动，则小球作圆周运动时的动能Ek与初

13、动能Eko的比值Ek / Eko = . . 2 ,2 V _ h v _ h 提示：小球运动过程角动量守恒：mVoh=mvh二.V。 1二 V。1 6 .如图所示，在中间有一小孔 O的水平光滑桌面上放置一个用绳子连结的、质量m = 4 kg的小块物 体.绳的另一端穿过小孔下垂且用手拉住. 开始时物体以半径 Ro = 0.5 m在桌面上转动，其线速度是4 m/s .现 将绳缓慢地匀速下拉以缩短物体的转动半径.而绳最多只能承受600 N的拉力.求绳刚被拉断时，物体的 提示：N、G合力矩为0，T为有心力，故物体角动量守恒: mvoR。= mvR 又有拉力提供向心力： mv T = R 联立可解 7 .在光滑的水平面上，有一根原长Io = 0.6 m、劲度系数k = 8 N/m的弹性绳，绳的一端系着一个质量 m = 0.2 kg的小球B，另一端固定在水平面上的A点.最初弹性绳