第一章_张量分析基础知识

1、晶体物理性能南京大学物理系序言由于近代科学技术的发展，单晶体人工培养技术的成熟，单晶体的各方面物理性能（如力、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作用的物理效应，在各尖端科学技术领域里，都得到了某些应用特别是石英一类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电子技术中，比较早地在工业规模上进行大批生产和广泛应用激光问世的四十多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应用中，已成单晶体应用中极为活跃的领域晶体物理性能是我系晶体物理专业的专业课程之一，目的就是希望对晶体特别是光电技术中使用的晶体（包括基质晶体与非线性光学晶体）的有关物理性能及其应用方面的基本知识

2、，有一个了解对今后从事光电晶体的生长、检测和应用的工作，在分析问题、解决问题方面有所帮助，同时要在今后工作中不断从实践和理论两个方面扩大知识领域，有一个基础考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个方面作深入全面的介绍，也将侧重于激光晶体有关的一些性能及其应用鉴于以上考虑，晶体物理性能讲义将以离子晶体为主要对象，以光电技术上应用为线索组织内容，共分为八章着重于从宏观角度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作用过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应用，包括弹性与弹性波（第二章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光

3、学参量过程（第六章），声光效应（第八章）由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、方便地描述这些物理性能必须使用张量来表示因此，在第一章，我们介绍了关于张量分析基础知识方面的内容由于水平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因而内容安排不妥、取舍不当、错误之处一定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正目录第一章张量的基础知识标量、矢量和二阶张量坐标变换和变换矩阵正交变换矩阵的性质晶体对称操作的变换矩阵二阶张量的变换与张量的定义张量的足符互换对称张量的矩阵表示和矩阵的代数运算二阶对称张量的几何表示和二阶张量的主轴二阶对称张量主轴的确定10晶体张量与晶体对称性的关系第二章晶体的弹性

4、与弹性波弹性性质与原子间力应变应力推广的虎克定律、弹性系数立方晶体的弹性系数各向同性材料的弹性系数弹性扰动的传播弹性波简谐振动和驻波弹性常数及振动衰减因子的测量方法第三章晶体的介电性质介质中的宏观电场强度与极化强度晶体中的有效场高频电场的介电极化（光的色散与吸收）介电常数的测量离子晶体的静电击穿激光的电击穿（激光的电击穿损伤）第四章铁电与压电物理铁电体的一般性质常用铁电体的实验规律铁电体的相变热力学铁电体相变的微观机制晶体的压电效应压电方程和机电耦合系数压电晶体的应用实例石英第五章晶体光学光学各向异性晶体各向异性介质中光的传播折射椭球与折射率曲面晶体表面上的折射晶体偏光干涉及其应用第六章倍频与

5、参量频率转换非线性极化非线性极化系数非线性介质中电磁场耦合方程光倍频光倍频的相匹配第II类相匹配角度匹配和温度匹配扫描实验曲线内腔倍频光参量放大10参量振荡器11参量振荡器的调谐方法12参量频率上转换13非线性材料的性能要求第七章电光效应及其应用线性电光效应两种典型材料的电光效应电光滞后电光调制原理实际调制器的几个问题晶体电光开关电光Q开关电光偏转电光材料10晶体均匀性的实验检测11晶体的激光损伤12晶体均匀性实验检测第八章声光效应及其应用弹光效应声光交互作用产生的衍射现象声光交互作用的理论声光效应在一些物理常数测量中的应用声光调制器声光偏转器声光调Q声光材料附录A点群投影图B各阶张量在不同点

6、群中的矩阵形式C主要常数表D单轴晶体中光线离散角a 的推导E双轴晶体中双折射面相差G 的推导F贝塞尔函数的基本性质第一章张量分析基础知识以前学的课程中，有关力学、热学、电学、光学等的性质都是以各向同性介质来表述的或以一维问题来说明问题，这对于突出某些物理现象的微观的物理原因方面是必要的，但晶体物理性能是讲晶体中的力学、电学、光学、声学、磁学、热学等物理性能，而晶体的各向异性却是一种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效应等等物理现象则完全因为晶体具有各向异性性质才能表现出来因此，晶体结构对称性和这些性质之间的关系成为问题的主要方面。为描述晶体宏观上表现出来的各向异性

7、，要表达一个物理学定律的方程式通常要比表达各向同性物质的方程式数目多得多人们实践中探索出一套描述各向异性的数学方法，可以使问题简化得多，这种方法就是张量方法在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的，晶体对称性的操作对应的坐标变换，一般使用三维正交直角坐标系的变换就够了本章介绍的将只限于这种坐标系统所定义的张量（称为卡迪生张量）此外，我们对于张量分析不作严格的数学论证，着重介绍张量分析的一些定义、运算的规则和方法，这对于从事晶体生长与应用的工作者来说是完全足够了标量、矢量与二阶张量有些物理量只要一个数字加上一个单位就可以表达清楚了，譬如温度、质量、密度、频率等等，只要表示C、g、g/cm3、Hz

8、是多少就很清楚了，不管你取什么坐标，都是个数值，这种量称为标量，有时也称为数量还有一些量，既有大小，又有方向，例如力、速度、位置、电场强度等等，大家知道这些量称为矢量。要表达一个矢量就要麻烦一些，用一个数值是无法表达清楚的，在数学上要严格地表达这样一个量，首先要确定坐标系统，如果取三维直角坐标系统，事先要表明坐标原点在哪里，X1、X2、X3三个轴的取向也规定下来，可能会出现两种不同的坐标系统，一种是右手螺旋直角坐标系，另一种是左手螺旋坐标系（见图）X2X1X2X3X1X3a）右手螺旋系 b)左手螺旋系图两种直角坐标系它们的区别在于X1、X2、X3三轴的方向的旋转顺序不同，坐标系选定了一种，选定

9、了右手系，一个矢量A，可以表示为： （1.1）其中分别是X1、X2、X3三轴方向上的单位矢量，A1、A2、A3分别是A在三个坐标轴上的投影，称为矢量的三个分量。在事先规定的坐标系统内，只要给出A1、A2、A3三个数值，那么的大小和方向就唯一的规定下来了。由此可见，一个矢量和标量不同，必须要用三个数量才能正确地表达出来，更要提醒注意的是A1、A2、A3只有在规定的坐标系内才是正确的，在不同的坐标系内表示同一个，它们的A1、A2、A3却是各不相同的。图表示一个在（X1X2）平面内的矢量在不同坐标系统内A1、A2、A3数值不同的情形，当在X1、X2、X3坐标系统中可用这样三个数值表示（Acosq,

10、Asin, 0），如果取另一个坐标系统X1、X2、X3,它是绕X3转动q后的新坐标系统，这时同一个矢量却要表示为（A，0，0）。qX1X2X2AX1图同一个矢量，在不同坐标系的三个分量是不同的总之，对一个矢量的表达有二个特点：要三个数值（三个分量），坐标系变换，三个数值也要相应地变化。还有一些物理量，譬如晶体中的介电常数e，在各向异性晶体中一般要用九个分量才能表达清楚，这九个分量的数值也随坐标系统不同而有变化，这种量称为二阶张量。现在我们来具体看看e为什么要九个分量才能完整地表达。在各向同性的电介质中电位移矢量与宏观场强之间有下列物理学关系联系起来： （1.2）把规定坐标系统矢量方程展开得到三

11、个方程：D1=e0eE1D2=e0eE2D3=e0eE3 或写为Di=e0eEi (i=1,2,3) (1.3)电位移矢量的某一分量Di只和电场强度相同的坐标分量Ei成正比，其中三个方程的比例常数都为e0e，坐标系统尽管可以不同，E、D的分量也随之变化，但三方程的比例常数是不变的，所以e0和e在各向同性介质中均为标量，只要一个数值就可表达而且与所选坐标系统无关，从（1.3）式也可看出D和E方向始终一致。但是，在各向异性晶体中D和E方向并不一致，实验上发现，D的某一分量Di和E的所有三个分量都有关系，可写成如下关系：D1=e0(e11E1+e12E2+e13E3)D2=e0(e21E1+e22E

12、2+e23E3)D3=e0(e31E1+e32E2+e33E3)或可写为： (i=1, 2, 3) (1.4)其中eij分别表示Di分量与Ej分量之间的比例关系数。可见，完整地表示晶体的介电常数要用九个分量eij，这九个分量也随着坐标变换而变化。这就是二阶张量的特征。从张量分析的角度看，矢量实际上是一阶张量，和矢量对比来理解张量并没有特别的地方，只是这种物理量是用更多一些分量来表示的量，张量的严格定义将在中介绍。坐标变换和变换矩阵无论是矢量、二阶张量或是更高阶的张量，它们的分量都随着坐标变换而变化。正如图2中所示同一个矢量，当选取后一坐标系统（X1， ，X2 ，X3， ）时，A矢量中有二个分量

13、为零。那么对于张量来说，是否也可以找到一个最合理的坐标系统，使张量分量简化呢？虽然要找一个简化张量表示的坐标不那么一目了然，但也是可以找到的，因此有必要介绍一下从一个坐标系转换到另一坐标系的数学表示方法以及这种坐标变换引起的矢量分量和二阶张量分量随之如何变化的规律性。在研究晶体时，所经常使用的坐标变换，有这样二个特点，一是变换到新坐标轴时，坐标轴代表的尺度不能变化，二是新坐标系各轴之间夹角仍要保持直角。这种变换是最简单的，数学上称为正交变换。新、老坐标系的坐标轴相对位置一经确定，那么新坐标中X1与老坐标中X1、X2、X3轴分别的夹角q11、q12、q13也就确定了（见图）。X1X2q11q12

14、q13X1X3图新老坐标轴之间的夹角关系图中只画出了X1我们令三个角度的余弦值分别为a11=cosq11，a12=cosq12，a13=cosq13，此处，X2以及X3分别与三个老坐标轴的6个夹角也是确定的，同样办法可以得到另外6个量a21、a22、a23、a31、a32、a33，它们都是新老轴之间夹角的余弦，即aij=cosXi, Xj，如果新老坐标系之间，给出了上述九个余弦量，那么两个坐标系统之间的关系也就唯一地确定下来了为了便于记忆和运算，我们可以把九个aij三个为一组分成三组，每组排成一行，写成如下三行、三列的一个方阵X1 X2 X3 (老坐标轴) X1a11 a12 a13（新坐标轴

15、） X2 a21 a22 a23 X3 a31 a32 a33这个方阵称为变换矩阵，矩阵元素一般是aijaji的。如果给出这个变换矩阵，那么我们可以证明，任何矢量和张量的分量，在这个坐标变换下相应的变化便可唯一地确定设有矢量P在老坐标系的三个分量分别为P1, P2, P3, P在新坐标系中的三分量为P1, P2, P3（参看图），X2X1X3X1P1P2PP1P3图矢量P在新老坐标系中分量的关系图中新坐标只画出了X1轴和分量P1，显然可看到，P1应是P1, P2, P3在X1轴上投影之和，即有：P1=a11P1+a12P2+a13P3 (1.5)同理有：P2=a21P1+a22P2+a23P3

16、 P3=a31P1+a32P2+a33P3 (1.6)或写为： (1.7)如果，反过来老坐标中分量用新坐标表示，显然有：P1=a11P1+a21P2+a31P3P2=a12P1+a22P2+a32P3 (1.8)P3=a13P1+a23P2+a33P3或写为： (1.9)正交变换矩阵的性质上节所述的正交变换，因为有二项限制，坐标轴长短单位不能有伸缩，变换前后坐标都保持为直角坐标系。所以（）的矩阵中有几个元素并不是完全独立无关的现在我们来证明这种正交变换矩阵的二个重要特性一变换矩阵元素的正交性新坐标轴OX1, OX2, OX3在老坐标系中的方向余弦分别是第一行，第二行，第三行的三个元素我们知道一

17、个直线在直角坐标系中的三个方向余弦的平方和必定等于，所以有a112+a122+a132=1a212+a222+a232=1 (1.10)a312+a322+a332=1上面三式可以写为： (1.11)我们引入一个新符号dij具有下列性质： (1.12)dij称克龙尼克d函数，把dij排列成矩阵则有如下形式： (1.13)称为单位矩阵，引入dij后，(1.10), (1.12)六个关系式可以合并写成如下形式：(1.14)(aij)矩阵元素之间的上述关系就称为正交关系，共有六个方程，所以九个分量中其实只有三个独立元素二矩阵行列式|aij|的数值总是等于数学上可以证明，正交变换的矩阵的行列式的值=在

18、数学课中知道一个三行三列的行列式的值有如下定义：(1.15)利用aij的正交条件可以证明aij = 或我们这里只指出aij值的重要性，如果值为，表示坐标系的左右手螺旋不变，如果为，表示这种变换将引起左右手螺旋性的变换，我们仅指这个结论，不拟普遍地加以证明晶体对称操作的变换矩阵晶体具有一定的对称性，如果只考虑宏观物理性质的各方向上具有的对称性，晶体可分成32种不同类型称为32种点群*，每一点群包含若干种对称元素，宏观对称元素分为旋转轴（，次轴），对称平面，旋转反伸轴如轴，对称中心，对晶体进行一定“操作”，可以使对称图形完全重合，实际上就是使物理性能恢复到未操作前完全一致这种“操作”除旋转轴外，不

19、是简单的机械动作能完成的，从数学的语言来说，就是进行一定的坐标系变换，变换前后一定方向上的物理性能又可完全复原，譬如一个晶体具有次对称轴，就是沿某一轴旋转90后，晶体在各方向上的物理性能又完全重复，等于进行一次90旋转操作与此同理，所谓反伸操作，等于动作是相对的，那么我们把坐标系向相反方向旋转90，在数学上等于进行一次坐标变换，使原来一个矢量(X1, X2, X3)在新坐标中为(-X1, -X2, -X3)现在分别介绍几个主要对称元素所对应的变换矩阵*参看结晶学基础讲义，各点群对称元素的极射赤平图见附录A一旋转轴的变换矩阵设X3沿某一晶体对称轴，现在使坐标轴X1, X2绕X3转动一角度q新坐标

20、轴X3与X3一致，X1与X1, X2与X2各转q角（见图）根据各坐标轴的交角余弦很快可写出九个分量的矩阵元素X2X3 x3转q角X1 x1X2图绕X3轴转q角度后，新坐标轴的相对位置X1与X1, X2, X3的夹角余弦分别为cosq, cos(90-q), 0X2与X1, X2, X3的夹角余弦分别为cos(90+q), cosq, 0X3与X1, X2, X3的夹角余弦分别为0, 0, 1所以它所对应的变换矩阵为 (1.16)对称轴，次轴对应的q值，分别为q=360, 180, 120, 90, 60代入(1.16)即可，例如次轴，q=90代入(1.16)得绕X3旋转的次轴变换矩阵为：(1.

21、17)如果把坐标轴X2或X1和转轴一致，可以得到另一些变换矩阵，同学可自行练习写出二对称平面的变换矩阵一个对称平面对应的操作为对一平面作镜面“像”，任一位置矢量P经反映操作后和P完全重合，从数学上说，任何位置矢量在平面上的分量不变，而垂直于平面的分量则改变正负号，如果把坐标系的(X2X3)平面取得和对称平面重合，X1和对称面法线方向一致，那么相应的坐标变换是，新坐标X2, X3相对于X2, X3不动，而X1则变为X1的相反方向（参看图）因此立刻可写出对应的变换矩阵为：(1.18)X2x2对称面n x1X3x3x1图对称平面为(X2X3)平面时，经反映变换后新、老坐标轴的相对位置，n为对称面法线

22、当然同理我们还可以写出，X2或X3与对称平面法线重合时的反映操作的变换矩阵三对称中心变换矩阵对称中心对应的操作为反伸，经过反伸操作(就像照相机显像)使任何位置矢量P可以和大小一样方向相反的矢量P1重合从坐标变换的角度来看相当于使新坐标轴X1, X2, X3相对于X1, X2, X3方向相反的变换，坐标的原点取在对称中心上。用上述方法可得变换矩阵为： (1.19)四旋转反伸轴的变换矩阵旋转反伸相应的操作是先绕某轴旋转90轴，然后再对轴上一点作反伸假如次旋转轴沿着X3，轴上的反伸参考点取为坐标原点，相应坐标变换是这样的，第一步，X1, X2绕X3转90，达到X1X2位置，X3和X3仍一致第二步，对

23、原点作反伸，使X1, X2, X3全部反向变为X1”, X2”, X3”它的变换矩阵，由X1”, X2”, X3”对原来坐标轴X1, X3的夹角余弦决定，立即可写出是（见图）(1.20) x1x1x2x3x2x1x2x1x3,x3转90度x2x3(a) (b)图轴沿X3轴坐标转换(a)先绕X1转p/4，新坐标轴X1, X2, X3如图示(b)再将X1, X2, X3对坐标原点反伸，达到最后的新坐标轴位置X1”, X2”, X3”我们在中将利用晶体对称性的上述变换得出各张量元素分量之间关系以及最简单的坐标系统二阶张量的变换与张量的定义在各向异性介质中的某一些物理参量，常具有张量的性质，它总是与某

24、个物理学定理联系在一起的因此，我们还是以介电张量eij为例说明二阶张量随坐标变换时的规律设在(X1, X2, X3)坐标系中介电极化的关系为： (1.21)如果变换到（X1, X2, X3）坐标，其变换矩阵为(aij)，那么,和eij均要变化，则应有： (1.22)根据矢量变化公式(1.7)，则有： (1.23)D和E之间有物理学定律(1.22)联系故有： (1.24)我们再根据(1.9)使E用E表示则有：(1.25)代入上式略加整理后得到： (1.26)同(1.22)比较可得到在不同坐标系中ei j和e kl的如下关系 (1.27)同理可证明相反的变换是： (1.28)现在我们可从数学上给迪

25、卡生张量下一个比较确切的定义:张量是与坐标有联系的一组量，它们随坐标变换而按一定规律变化，如和坐标无关的称为零阶张量（即标量），如出现一次变换矩阵元和一个加和号的为一阶张量，如出现二个变换矩阵元和二个加和符号的为二阶张量，出现n个矩阵元和n个加和号的称为n阶张量现将0-4阶张量的变换公式列于表A.1名称张量个数分量个数变换公式新坐标中分量用老坐标分量表示老坐标分量用新坐标分量表示标量1=30f=ff=f矢量3=31二阶张量9=32三阶张量27=33四阶张量81=34根据上述张量的确切定义，鉴别在物理学公式中出现的某一个量究竟是否是张量，其唯一的根据是某一个具有若干分量的一组量，是否遵从表A.1

26、中某一级张量变换公式因此很容易得出如下两个结论（）任何二个张量的各分量，彼此相乘所得的若干量组成另一个张量，新张量的阶数将是原来二个张量阶数之总和现以二个一阶张量（矢量）为例，来说明这个推论，二个矢量分量彼此相乘必得如下九个分量 (1.29)这九个分量Piqi(i, j=1-3)，利用(1.6)式极易证明为二阶张量(1.30)(1.30)和表A.1中所列二阶张量变换公式完全一致，所以它们是一个二阶张量其它阶数张量相乘可以用同样办法加以证明因此三阶，四阶张量的变换规律分别和三个矢量及四个矢量乘积的变换规律一样（）物理学公式中，某二个张量之间存在线性关系，有若干比例常数，那么这一组比例常数必然也是

27、一个张量，它的阶数也就是公式两边张量阶数之和中已经证明了两个矢量D和E之间的比例常数eij，组成一个二阶张量如果推广到其它阶数张量之间的比例常数，完全可以用同样办法加以证明例如第二章的同为二阶张量的应力张量sij与应变张量eij之间的比例常数是具有81个分量组成的弹性模量Cijkl，它确实是一个阶张量。又如压电效应中，电场强度矢量与应力张量（二阶）之间的比例常数dijk，有27个分量亦可证明它是遵从三阶张量的变换公式因此在物理公式中出现的一些新的量只要确证其它量是张量，那么这个新的量是哪一级张量是不难确定的这里还要再次着重指出，只有张量的数学定义才是判断的唯一依据，譬如介电常数eij共有九个分

28、量组成一个二阶张量，这是上述几节一再证明了的。但如果有这样九个量nij2=eij，而且这九个量nij（折射率）确实也随坐标变换而变化，那么它是不是组成一个张量呢？我们可以从张量定义出发来考察一下，因为它随坐标变换的公式是： (1.31)显然不符合表中二阶张量的变换公式，它既不是二阶张量，也不是任何其它阶的张量只有(nij)2=eij才是二阶张量因此晶体中其它很多性能如解理强度，表面能，屈服强度，电击穿强度，晶体生长速率，声速等等虽表现为各向异性，但和折射率本身一样并不具有所要求的张量变换形式，不是张量。它可能与晶体内某些张量性质的物理量有复杂的关系张量的足符互换对称一对称与反对称二阶张量一个二

29、阶张量eij如果将足符i, j次序互换后，两个分量存在eij=eij的关系，称为对称二阶张量，如果有eij= -eij则称为反对称二阶张量。反对称二阶张量的同足符分量eij次序互换后应有eij= -eij，因此eii=0 (i=1, 2, 3)，所以把对称与反对称二个张量写成矩阵的形式分别为如下形状：对称反对称一个与晶体物理性能相联系的某些量究竟属于对称张量还是非对称张量或反对称张量，纯粹从数学的角度是无法判断的，这是出于物理上的原因，取决于相应的物理过程的能量关系，我们以介电极化过程为例说明介电张量是一个对称二阶张量根据电磁学知道电介质中电场的单位体积的总能量为：(1.32)(1.32)微分

30、得 (1.33)方程右边第一项是由于宏观电场强度改变dE而引起介质极化偶极矩在电场中的势能变化部分，这不涉及到极化变化而引起的总能量改变，第二项才是直接晶体极化改变了dD引起的晶体内能电能的增加后一项，才是真正与极化过程相联系的总能量变化，所以晶体极化过程中总能的改变可写为： (1.34)将关系式代入上式可得到 (1.35)上式对E1及E2的偏导数分别为：） (1.36)） (1.37) 我们知道总电能W是宏观电场独立变量E1, E2, E3的连续函数，根据高等数学多元函数的性质知道两次偏导数的次序可以颠倒 (1.38)考虑(1.36),(1.37)代入上式得到：e21=e12 (1.39)同

31、理可以证明：e31=e13 以及e23=e32所以介电张量是一个对称二阶张量在晶体物理中重要的二阶张量属于可逆过程的都有相应能量关系，因而都是对称张量。此外一些不可逆过程有关的如电导、热导系数等二阶张量也是可以从另一角度证明绝大多数也属于对称张量（不可逆过程有关的二阶张量，也可以从另外的角度来证明大多数这样的物理量也是对称张量，但是其证明涉及到不可逆过程的热力学关系，已超出本课程范围）应力与应变张量虽然不存在能量关系，但从第二章中已证明也是对称二阶张量一个对称二阶张量的独立的分量只有以下六个：e11, e22, e33, e23=e32, e13=e31, e12=e21下面我们在许多场合下，

32、可以将对称双重足符简化为一个足符来表示简化足符的数值可取，其对应关系定义如下：双足符ij11, 22, 33, 23, 13, 12简化足符i 1，2，3，4，5， (1.40)为便于记忆，简化足符的顺序在二阶张量的矩阵形式中按如下顺序对应起来：二三阶张量的足符对称问题三阶张量有三个角标如dijk, 足符i, j, k间是否有互换对称，也必须从物理过程中去考察一般说正如指出的三阶张量都有相应物理过程的公式和一个一阶张量、一个二阶张量相联系，如压电效应中有：(i=1, 2, 3) (1.41)或者如反压电效应（或称电致伸缩效应）中有（压电效应与反压电效应参看）(i, j=1, 2, 3) (1.

33、42) (1.41), (1.42)中的二阶张量是对称张量，那么可以证明，与二阶对称张量相对应的二个足符存在互换对称所以一个三阶张量，由于其中二个足符是对称的，存在dijk=dikj (kj对称)的关系，所以27个分量实际上只有18个独立分量四四阶张量的足符对称问题四阶张量有四个足符如弹性模量Cijkl，由于上述同样道理，物理学公式中它所联系的二个二阶张量都是对称张量（弹性模量参看及），那么四个足符将分为二组(i, j)及(k, l)分别是对称的，而且可以分别应用简化足符而使之简化为二个足符表示，但足符数字都改取，一般说四阶张量中的81个分量可减少为36个分量但是，利用弹性形变的总能量的关系还

34、可证明Cij两个简化足符之间也有互易对称关系，如：C1122=C2211C1123=C2311由于这两种对称性关系的存在，弹性模量的独立分量将进一步减少到21个不过，这种简化足符间的互换对称，不是所有四阶张量普遍存在的关系如果相应的物理过程中，不存在某种总能量变化的对称关系，那么，简化足符是没有这种对称的，如第八章的压光系数，光弹系数等四阶张量就没有这种互换对称存在，所以它一般仍保持36个分量以上利用足符的互换对称而使用简化足符，仅仅是为了在计算某些物理学公式时使得变数尽可能减少，但必须十分注意的是，使用简化足符，并不是张量阶数降低了，所以在坐标变换时要决定张量各分量的变化时，绝对不能应用简化

35、足符张量的矩阵表示和矩阵的代数运算为了书写与运算的方便，常常把物理学公式中的矢量与张量写成矩阵的形式，譬如方程(1.4) 可写成下列形式： (1.43)要用(1.43)来代替(1.4)，实际上必须事先约定一些规则为前提（）约定任何一个矢量（即一阶张量）的三个分量都可以写成，称为三行一列矩阵（）约定一个二阶张量，可以写成称为三行三列矩阵，分量eij，写在矩阵的第i行和第j列位置上（）方程(1.43)等式右边两个矩阵连写在一起，表示两矩阵的乘积，所以还要事先约定一个矩阵的乘法规则某一个矢量Pi、张量Tij，或者坐标变换的相应矩阵aij，我们都用P, I, A等符号下加一横来代表，（通常书籍中用黑体

36、字表示）现在我们来规定矩阵的乘法规则设有一个m行n列矩阵和一个n行P列矩阵，相乘后得出另一m行P列的矩阵乘积是这样规定的： (1.44)k是A中的第i行各元素分别乘上B矩阵的第k列的各元素的总和为乘积g矩阵中的第gij元素为明白起见，举一个数学例子： (1.45)乘积矩阵中第一行第一列元素等于第一个矩阵的第一行元素分别乘上第二矩阵的第一列元素之和，即：00+33+2(-2)=5其它乘积矩阵元素的值，可按此规则乘得(1.45)的结果在矩阵乘法中必须注意二点：两矩阵相乘前面矩阵的列数必须和后面矩阵的行数相等，否则两矩阵不能相乘两矩阵相乘的次序颠倒是不相等的，即ABBA例如：有了事先约定的上述各规则

37、，那么物理学公式(1.43)与(1.4)表示完全同等有了矩阵运算的上述规则，同样可以应用到矢量和二阶张量的变换公式，用矩阵形式可表示出来，同学可以自行证明，矢量P的变换公式可写为： (1.46)或(1.47)式中，A为坐标变换矩阵二阶张量的变换公式可写为：或 (1.48)式中A是坐标变换矩阵， 是A的转置矩阵，即将A中的行换为列，列换为行的矩阵物理学公式和张量的坐标变化的运算利用矩阵符号将简洁得多，在各项具体展开时，不易搞错，有很大的方便譬如一个矢量P经连续坐标变换二次，最后的变换公式用矩阵符号运算就简单得多，设第一次变换为A，第二次变换为B，则有：及前式代入后式得到最后变换公式为：(1.49

38、)式中最后变换必定相当于进行变换C，正好是BA的乘积行数列数(mn)相同的矩阵可以相加，有： (1.50)其中矩阵元素有下列关系：Cij=aij+bij (1.51)其它更高阶的张量，如第四章遇到的压电系数dijk，第七章中遇到的电光系数gijk，第六章中的非线性系数dijk为三阶张量以及第二章遇到的弹性模量Cijkl，声光系数Pijkl为四阶张量，不能直接写成矩阵形式，但是我们可以利用它们两个足符的互换对称性（即ij可互换或kl可互换）将其指标简化后，物理学公式在形式上也可以写成矩阵形式，这将在有关各章中分别加以介绍二阶对称张量的几何表示和二阶张量的主轴晶体物理中遇到的二阶对称张量比较多，我

39、们应该比较熟悉它随坐标系变换的性质同时二阶张量的变换公式中只出现二个变换矩阵元素的加和符号，比较简单，有可能在空间中用一个几何曲面来形象地表示它和坐标系之间的关系一个矢量可用某方向上一定长度的直线来形象地表示它在该坐标系中的三个分量，三个分量相应于在三个坐标轴上的投影，坐标系变换时，可形象地看到三个投影的大小也在相应改变下面介绍二阶张量对应的几何表示我们现在按下式定义一个空间二次曲面： (1.52)展开出来就是： (1.53)如果有Sij=Sji，(1.53)变为： (1.54)从空间解析几何的知识，我们知道(1.54)是一个以坐标系原点为中心的二次曲面方程，或者是一个椭球，或者是一个双曲面。

40、坐标系变换时，曲面方程的各项系数也相应变化，现在假定坐标系从OX1, OX2, OX3变为OX1, OX2, OX3，则有 (1.55)代入(1.54)有： (1.56)经整理新坐标系中，曲面方程中XkXl项的新系数为：(1.57)(1.57)写为： (1.58)我们可以明显地注意到，一个二次曲面的各系数的变换公式(1.57)和二阶的变换公式完全一样因为二次曲面的系数对i, j是对称的，Sij=Sji，所以说二次曲面的系数就具有二阶对称的特征因而任何一个二阶对称张量eij，在几何上都可以用下述曲面来形象地表示： (1.59)对称二阶张量的六个分量相应于这个曲面方程的六个系数，这个曲面称为该张量

41、的表象曲面，正如一个矢量可用在某方向上一定长度线段来表示，它的三分量是三个坐标上的投影，而一个对称二阶张量有六个分量，则要用一个空间曲面表形象地表示，它的分量为曲面方程的六个系数，这样的表示在直观上有很大好处，因为大家对二次曲面在各坐标系统中的方程变化比较熟悉，下面将看到，利用表象曲面可以很快地看出它代表的张量所决定的物理性能在各方向上所具有的对称性我们在空间解析几何中已经知道，一个二次曲面，有一个重要特性，总可以找到三个正交的坐标系统中曲面方程中交叉项系数都等于零曲面方程有如下简单的形式： (1.60)由此可见，一个二阶对称张量，一般情况下有六个分量，但是实际上，只要找到适当的坐标系统，仅需要三个分量就可以完全确定，使所有ij的eij=0的三个坐标轴称为张量主轴，这时三个不等于零的分量e11, e22, e33称为二阶张量主值，如果三个主值都是正值，那么它的表象曲面就是大家熟悉的椭球方程：(1.61)其中见图(a)如果三个主值中二个为正，一个为负，是一个单叶双曲面见图(b)，主值