抛物线及其性质知识点大全

1、抛物线及其性质1 抛物线定义 ：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线2 抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数 p 几何意义开口方向标 准方程焦 点位置焦 点坐标准 线方程范 围对 称轴顶 点坐标离心率通 径焦半径 A(x1 , y1)焦点弦长AB焦点弦长AB的补充A(x1, y1 )B( x2 , y2 )参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.右左上下y22 px( p 0)y22px( p0)x22py( p0)x22 py( p 0)X 正X 负Y 正Y 负( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p)2222pppypxxy2222x 0,

2、 y Rx 0, y Ry 0, x Ry 0, x RX 轴X 轴Y 轴Y 轴（ 0,0 ）e12pAFpAFx1pAFy1pAFpx122y122( x1x2 ) p(x1 x2 ) p( y1y2 ) p( y1y2 ) p以 AB 为直径的圆必与准线l 相切若 AB 的倾斜角为，2 p若 AB 的倾斜角为，则AB2 pAB2cos2sinx1 x2p2y1 y2p2411AFBFAB2AFBFAF ? BFAF ? BFp3抛物线 y22 px( p 0) 的几何性质：(1) 范围：因为 p0，由方程可知 x 0，所以抛物线在y 轴的右侧，当 x 的值增大时， | y | 也增大，说明

3、抛物线向右上方和右下方无限延伸1(2) 对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向(3) 顶点（ 0， 0），离心率： e 1，焦点 F ( p ,0) ，准线 xp ，焦准距 p22(4)焦点弦：抛物线 y 22 px( p 0) 的焦点弦 AB ， A(x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 | AB | x1 x2p 弦长 |AB|=x 1+x2+p, 当 x1=x2 时，通径最短为 2p。4焦点弦的相关性质：焦点弦 AB ， A( x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) ，焦点 F ( p ,0)2(1)若 AB 是抛物线 y22px(p 0)的焦点弦（过焦点

4、的弦），且 A(x1, y1) ， B(x2 , y2) ，则： x1x2p2，4y1y2p2 。(2) 若 AB是抛物线 y22px(p 0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为，则 AB2 Psin 2（ 0）。(3) 已知直线 AB是过抛物线 y22 px( p 0) 焦点 F ,11AF BFAB2AFBFAF ?BFAF ? BFp(4) 焦点弦中通径最短长为 2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径(5) 两个相切： 1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切. 2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5弦长公式：A(x1 , y1 ) , B(

5、x2 , y2 ) 是抛物线上两点，则AB( x1 x2 )2( y1 y2 )21 k 2 | x1 x2 | 112 | y1 y2 |k6. 直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，消 y 得：（ 1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（ 2）当 k0 时， 0，直线 l 与抛物线相交，两个不同交点；=0， 直线 l 与抛物线相切，一个切点； 0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。（ 3）若直线与抛物线只有一个公共点 , 则直线与抛物线必相切吗 ?（不一定）7. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 l： y kxb抛物线， ( p 0)联立方程法：y k

6、x b2(kb p) x b20y 2k 2 x22 px2设 交点 坐标 为 A(x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ，则 有0 , 以 及 x1x2 , x1 x2 ， 还可 进一 步求 出y1 y2 kx1 b kx2 b k( x1 x2 ) 2b ， y1 y2(kx1 b)( kx2b) k 2 x1 x2 kb( x1 x2 ) b2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a. 相交弦 AB的弦长AB1k 2 x1x21 k 2 ( x1x2 )24x1 x21 k 2a或 AB11y1y211( y1y2 )24 y1 y21 k2k2k2ab. 中点

7、M ( x0 , y0 ) ,x0x1x2 ， y0y1y222点差法：设交点坐标为A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，代入抛物线方程，得y122 px1y222 px2将两式相减，可得( y1y2 )( y1y2 ) 2 p( x1x2 )y1y22 px1x2y1y2a.在涉及斜率问题时， kAB2 py1 y2b.在涉及中点轨迹问题时 ，设线段 AB 的中点为 M (x0, y0 ) ， y1y22 p2 pp ，x1x2y1 y22y0y0即 kABp ，y0同理，对于抛物线 x22 py ( p0) ，若直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点，点 M ( x0

8、, y0 ) 是弦AB 的中点，则有 kABx1 x22x0x02 p2 pp（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）3【经典例题】（ 1）抛物线二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合 . 其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中. 由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例 1】 P 为抛物线y22 px 上任一点， F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（）A. 相交B.相切C.相离【解析】如图，抛物线的焦点为Fp

9、,0 ，准线是2pl : x. 作 PH l 于 H，交 y 轴于 Q，那么PFPH ，2且 QH OFp. 作 MNy 轴于 N则 MN是梯形 PQOF的2中位线， MN1OF PQ1 PH1 PF . 故以222PF 为直径的圆与 y轴相切，选 B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的 .D.位置由 P 确定YPH QNMOpXF( ,0)2l : x = - p2= 2 px2y（ 2）焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关 . 理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的 .【例 2】 过抛物线 y 22 px p0 的焦

10、点 F 作直线交抛物线于A x1, y1 , Bx2 , y2两点，求证：（ 1） ABxxp（ 2）11221AFBFp【证明】（ 1）如图设抛物线的准线为l ，作AA1l A1 , BB1l于B1，则 AF AA1 x1p，Yp2A(x,y)A1BFBB1x211. 两式相加即得：2ABx1x2pFXB 1 B(x,y)（ 2）当 AB x 轴时，有22lAFBFp，112AFBF成立；p当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为： y kxp. 代入抛物线方程：242p2k2 xp2 px . 化简得： k 2x2p k 22 xk 20124方程（1）之二根为x， x， x1x

11、2k 2.124111111x1x2p2ppAF BFAA1BB1x1x2x1x2p x1x2p2224x1 x2px1 x2p2p2p x1p2p x1.x2x2pp4242故不论弦AB与 x 轴是否垂直，恒有112AFBF成立 .p（ 3）切线抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关 . 理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功 .【例 3】证明：过抛物线 y22px 上一点 M（x0， y0）的切线方程是：y0y=p（ x+x0）【证明】对方程 y22 px 两边取导数：2 yy2 p， yp .切线的斜率yk yx xp .由点斜式方程：y y0pxx0y0

12、ypx px0y0210y0y0Q y022 px0，代入（）1即得：y 0y=p（ x+x0）（ 4）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现， 却容易为人疏忽的定点和定值 .掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获 .例如： 1.一动圆的圆心在抛物线y28x 上，且动圆恒与直线x20 相切，则此动圆必过定点（）A. 4,0B. 2,0C. 0,2D. 0,2显然 . 本题是例1 的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2.抛物线 y22 px 的通径长为2p；3.设抛物线 y22 px 过焦点的弦两端分别为A x , y, B x , y，那么： y1 y2p21122以下再举一

13、例【例 4】设抛物线 y22 px 的焦点弦 AB 在其准线上的射影是A1B1，证明：以 A1B1 为直径的圆必过5一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而 A1B1 与 AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点. 由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点. 以下我们对AB的一般情形给于证明 .【证明】如图设焦点两端分别为A x1, y1 , B x2 , y2，那么： y y2p2CACByy2p2.1111设抛物线的准线交x 轴于 C，那么 CFp.AYA1 12CA1CB1 .故 A1 FB190 .MA1FB1中 CF这就说明：以A1B1 为直径的圆

14、必过该抛物线的焦点.CFXB1B通法 特法妙法（ 1）解析法为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等） .【例 5】（ 10. 四川文科卷 .10题）已知抛物线y=-x 2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点YA 、 B ，则 |AB| 等于（）A.3B.4C.32D.42【分析】直线AB必与直线x+y=0 垂直，且线段AB 的中点必在直线x+y=0 上，因得解法如下.【解析】点A、 B 关于直线x+y=0对称，设直线AB的方程为：BMOXAy x m .由yxm2x m 3 01l? x + y = 0yx2x3设方

15、程（ 1）之两根为 x1， x2，则 x1x21 .设 AB的中点为 M（ x0， y0），则 x0x1x21. 代入 x+y=0： y0=1 . 故有 M1 , 1 .22222从而 m y x1. 直线 AB的方程为： yx1 .方程（ 1）成为： x2x 2 0 .解得：x2,1 ，从而 y1,2 ，故得： A（ -2 ，-1 ）， B（1， 2） .AB 32 ，选 C.（ 2）几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏. 针对这种现状，人们研究出多种使计算量Y大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就

16、是几何法.AK【例 6】（ 11.全国 1 卷 .11 题）抛物线 y24x的焦点为 F ，准线为 l ，经过 F 且斜率60 M O F(1,0)X6L:x=-12Y=2px为3 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF）的面积（A 4B 3 3C 4 3D 8【解析】如图直线AF的斜率为3 时 AFX=60 . AFK为正三角形 . 设准线 l 交 x 轴于 M，则 FMp2,且 KFM=60， KF4, S AKF3424 3 . 选 C.4【评注】（ 1）平面几何知识：边长为a 的正三角形的面积用公式 S3 a2计算 .4（ 2）本题如果用解析法， 需先列

17、方程组求点 A 的坐标，再计算正三角形的边长和面积 . 虽不是很难，但决没有如上的几何法简单 .（ 3）定义法追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难. 但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.【例 7】（ 07. 湖北卷 .7 题）双曲线C1 : x2y2 1(a 0， b 0)的左准线为 l ，左焦点和右焦点分别为F1 和 F2 ；抛物线 C2 的线为a2b2l ，焦点为 F2； C1 与 C2 的一个交点为M ，则 F1 F2MF1 等于（）MF1MF2A 1B 1C112D 2【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定

18、义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距 c，离心率为e，作MHl于 H ，令MF1r1, MF2r2 .点 M 在抛物线上，MH MF2MF1MF1r1e，r2, 故MF2r2MH这就是说：| MF1| 的实质是离心率e.| MF2|其次， | F1 F2 | 与离心率 e 有什么关系？注意到：| MF1 |yHr2M(x,y)rr 12FOFx2(c,0)1 ( -c , 0)a2l : x = -c7F1F22c e 2ae r1r2e 11e 1.MF1r1r1r1e这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于| F1 F2 | MF1| MF1 | MF 2e 1

19、 e 1.选 A.|（ 4）三角法本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源. 利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.【例 8】（09. 重庆文科 .21 题）如图，倾斜角为 a 的直线经过A抛物线 y2 8x 的焦点 F，且与抛物线交于 A、 B 两点。（）求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程；（）若 a 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交x 轴于点 P，证明 |FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。M【解析】（

20、）焦点F（ 2， 0），准线 l; x2 .（）直线 AB ： y tanx21 .xy2代入（ 1），整理得： y2 tan8 y16tan028y1y28tan.设方程（ 2）之二根为 y1， y2，则y1y216y0y1y244cot设 AB中点为 Mx0 , y02tan, 则x0coty02 4cot 22AB 的垂直平分线方程是：y 4cotcotx4cot 22 .令 y=0，则 x4cot 26，有 P4cot 26，0故 FP OPOF4cot 2624 cot21 4cos2于是 |FP|-|FP|cos2a= 4csc21cos24csc22sin 28 ，故为定值 .（ 5）消去法合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题. 其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例 9】 是否存在同时满足下列两条件的直线l ：（ 1） l 与抛物线 y28x 有两个不同的交点A 和8B；（ 2）线段 AB被直线 l1 ： x+5y-5=0 垂直平分 . 若不存在，说明理由，若存在，求出直线l 的方程 .【解析】假定在抛物线y 28x 上存在