《概率论》独立同分布的中心极限定理ppt课件（全）

1、 2 概率论的起源与发展 起源： 17世纪中叶法国贵族梅勒 赌博问题 帕斯卡(1623-1662) 费马(1601-1665) 荷兰人惠更斯(1629-1695)：1657年 这一时期称为组合概率阶段 成为数学分支： 瑞士人 雅克比-贝努力(1654-1705) 大数定理(LLN) 成为数学分支 1713年 3 棣莫佛(1667-1754): 中心极限定理(CLT)(1901 年), 乘法原理，正态分布等。 蒲丰(1707-1788)：蒲丰问题 几何概率 拉普拉斯(1749-1827)：1812概率分析理论 概率的古典定义 泊松(1781-1840)：推广了大数定理，提出了Poisson分布等

2、. 19世纪后期，极限理论成为概率研究的热点问题， 其中切比雪夫及其学生马尔可夫为代表的圣彼得堡学派做出巨大贡献。 法国人 贝特朗于1899年提出了著名的贝特朗悖论 4 公理化阶段： 俄国人伯恩斯坦，奥地利人冯-米西斯(1883-1953)对概率论的严 格化做了初步的尝试 1905年测度论诞生-波雷尔(1881-1956)，勒贝格(1875-1941) 1933年，柯尔莫哥洛夫(1903-1987) 现代公理化体系 5 伊藤清(1915-2008): 1942-1944年定义了对布朗运动的随机积分， 1987年获得沃尔夫奖 Black-Scholes期权定价模型：1973年首次在 政治经济学杂

3、志(Journal of Political Economy)发表， 1997年获诺贝尔经济学奖 彭实戈(1947-): 1995年“倒向随机微分方程”获得国家自然科学二等奖(一等奖空缺)。 许宝禄(1910-1970)，陈希孺(1934-2005)，严加安(1941-) 马志明(1948-)，陈木法 (1946-) 莱维(1886-1971): 独立增量过程； 辛钦(1894-1959)： 平稳过程 杜布(1910-2004)，Meyer：鞅论 当代的发展：随机过程与随机分析-概率主流 1. 确定性现象和不确定性现象确定性现象和不确定性现象. 2. 随机现象随机现象: 在个别试验中其结果呈现

4、出在个别试验中其结果呈现出 不确定性不确定性,在大量重复试验中其结果又在大量重复试验中其结果又 具有统计规律性具有统计规律性. 前前 言言 3. 概率与数理统计的广泛应用概率与数理统计的广泛应用. 1. .随机试验随机试验 举例举例: : E E1 1: : 抛一枚硬币，观察正抛一枚硬币，观察正(H)(H)反反(T)(T)面的情况面的情况. . E E2 2: : 将一枚硬币抛两次将一枚硬币抛两次, ,观察正反面出现的情况观察正反面出现的情况. . E E3 3: : 将一枚硬币抛两次，观察出现正面的次数将一枚硬币抛两次，观察出现正面的次数. . 随机试验随机试验: : (1) 可在相同的条件

5、下重复试验可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个每次试验的结果不止一个,且能且能 事先明确所有可能的结果事先明确所有可能的结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪一次试验前不能确定会出现哪 个结果。个结果。 2. 样本空间与随机事件样本空间与随机事件 (一一) 样本空间样本空间：随机试验：随机试验E的所有可能结果的所有可能结果 组成的集合称为组成的集合称为 E的样本空间，记为的样本空间，记为S. 样本样本 空间的元素称为样本点，用空间的元素称为样本点，用e表示表示. 样样 本本 空空 间间 1.离散样本空间离散样本空间:样本点为有限多个或样本点为有限多个或 可列多个可列多

6、个. 2.无穷样本空间无穷样本空间:样本点在区间或区域样本点在区间或区域 内取值内取值. (二二) 随机事件随机事件 样本空间样本空间S的子集称为的子集称为随机事件随机事件，简，简 称为称为事件事件。 事件发生事件发生:在一次试验中，当且仅当这在一次试验中，当且仅当这 一子集中的一个样本点出现时，称这一子集中的一个样本点出现时，称这 一一 事件发生。事件发生。 E E2 2: :将一枚硬币抛两次将一枚硬币抛两次, ,观察正反面出现的情况观察正反面出现的情况. . 基本事件基本事件:由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集. 必然事件必然事件: 样本空间样本空间S是自身的子集，在是自身的

7、子集，在 每次试验中总是发生的，称为必然事件。每次试验中总是发生的，称为必然事件。 不可能事件不可能事件：空集空集不包含任何样本点，不包含任何样本点， 它在每次试验中都不发生，称为不可能它在每次试验中都不发生，称为不可能 事件。事件。 （三）事件间的关系与事件的运算（三）事件间的关系与事件的运算 1.包含关系包含关系和和相等关系相等关系: A BA ) 1 ( B S 若事件若事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生, 则称事件则称事件B包含事件包含事件A,记作记作A B. 若若A B且且A B, 即即A=B, 则称则称A与与B相等相等. .A , A,A .A A , A,A B.A

8、 ,B A ,BA, . BABxAx|xBA 1k k21 n 1k kn21 的的和和事事件件记记为为可可列列个个事事件件 的的和和事事件件记记为为任任意意有有限限多多个个事事件件 记记的的和和 与与称称为为中中至至少少有有一一个个发发生生即即事事件件 的的和和与与称称为为或或 B A S BA (2) 2.和事件和事件: 事件事件A B=x|x A 且且 x B 称为称为A与与B的积，即事件的积，即事件A与与B同时发生同时发生. A B 可简记为可简记为AB. 类似地，事件类似地，事件 为可列个事件为可列个事件A1，A2， 的积事件的积事件. 1k K A B A S BA)3( 3.积

9、事件积事件： 事件事件A-B=x|x A且且x B 称为称为A与与B的差的差.当且仅当当且仅当A发生发生, B不发生时不发生时 事件事件A-B发生发生. 显然显然: A-A= , A- =A, A-S= A B BA)4( s 4.差事件差事件: .BA, ,BA,BA 不不能能同同时时发发生生与与即即互互斥斥的的 或或是是互互不不相相容容的的与与则则称称若若 基本事件是两两互不相容的基本事件是两两互不相容的,即样本点是即样本点是 互不相容的互不相容的,事件事件A与与B-A是互不相容的是互不相容的. BA A B 5.事件的事件的互不相容互不相容(互斥互斥): .,BA ,:. BABASBA

10、 且仅有一个发生且仅有一个发生中必然有一个发生中必然有一个发生与与件件 事事在一次试验中在一次试验中即即事件，也称为对立事件事件，也称为对立事件 互为逆互为逆与与，则称，则称且且若若 .AB ,BABA .AA,AA 或或互互为为对对立立事事件件，则则记记为为与与若若 不不发发生生也也称称为为的的对对立立事事件件记记为为 6. 对立事件对立事件(逆事件逆事件)： S A B AB (1)若若A, B二事件互为对立事件二事件互为对立事件, 则则A,B必互不相容必互不相容, 但反之不真但反之不真. .SS 或或 (2)必然事件与不可能事件互为对立事件，必然事件与不可能事件互为对立事件， ABABA

11、BA)3( ABBAABBA ； 7.事件的运算律事件的运算律: )CA()BA()CB(A )CA()BA()CB(A 交换律交换律: 结合律结合律: 分配律分配律： C)BA()CB(A C)BA()CB(A 对偶律对偶律: .BABA;BABA C,BA . 1不发生不发生发生发生与与事件事件例例 .CBA CBA 中中至至少少有有二二个个发发生生、事事件件 .BCACAB 中中恰恰有有二二个个发发生生”、事事件件CBA .BCACBACAB 3. 频率与概率频率与概率 (一一) 频率频率 1. 在相同的条件下在相同的条件下,共进行了共进行了n次试验次试验,事事 件件A发生的次数记为发生

12、的次数记为nA, 称为称为A的频数的频数, nA/n 称为称为事件事件A发生的频率发生的频率,记为记为fn(A). 频率的基本性质：频率的基本性质： . 2 (1) 01 Af n （ ） ； （非负性） （规范性） ; 1)( )2(Sf n 则则两两两两互互不不相相容容，）若若（,A,AA3 k21 )AAA(f k21n 有有限限可可加加性性）).(A(f)A(f)A(f kn2n1n 频率的特性频率的特性: 波动性波动性和和稳定性稳定性. 说明说明(1) 波动性波动性: 若试验次数若试验次数n相同相同, 不同时候试验不同时候试验 其频率不同其频率不同,当当n较小时较小时, fn(A)随

13、机波动的幅度较大随机波动的幅度较大. (2) 稳定性稳定性:当当n增大时，频率增大时，频率fn(A)的波动越来的波动越来 越小，呈现出一定的稳定性。越小，呈现出一定的稳定性。 1.定义定义:设设E是随机试验是随机试验, S是样本空间是样本空间. 对于对于 E的每个事件的每个事件A对应一个实数对应一个实数P(A),称为事件称为事件 A的概率的概率,如果集合函数如果集合函数P(.)满足下列条件满足下列条件: (1) 对任一事件对任一事件A,有有P(A)0; (非负性）非负性） (2) P(S)=1;（规范性（规范性) (3)设设A1,A2,是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件,则有则有 P(A

14、1 A2 )=P(A1)+P(A2)+ (可列可加性可列可加性) (二)概率概率 由概率定义可以推出概率的一些重要性质：由概率定义可以推出概率的一些重要性质： . 0)( . 1P性质 则 是两两互不相容的事件若性质, 2 , 1 .2 AnAA )( ).() 2 () 1 ( ) 21 ( 有限可加性 An P A P A P AnAA P );A(P)B(P)AB(P ,BA . 3 则有则有若若性质性质 ).A(P)B(P 一般地有一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB). . 1)A(P,A. 4 对对任任一一事事件件性性质质 ).A(P1)A(P,A. 5 对对任任一一事事件

15、件性性质质 ).AB(P)B(P)A(P)BA(P B,A. 6 有有对任意两事件对任意两事件性质性质 可可以以作作如如下下推推广广： )CBA(P ).ABC(P)BC(P)AC(P)AB(P )C(P)B(P)A(P )AAA(P n21 ).AAA(P)1( )AAA(P )AA(P)A(P n21 1n nkji1 kji nji1 ji n 1i i 4. 等可能概型等可能概型(古典概型古典概型) 等可能概型的两个特点等可能概型的两个特点: (1) 样本空间中的元素只有有限个样本空间中的元素只有有限个; (2) 每个基本事件发生的可能性相同每个基本事件发生的可能性相同. 计算公式计算

16、公式: ,Ak在等可能概型中,若事件 包含 个样本点 则 )( 中的基本事件总数 中的基本事件数 S A AP 例例1. 将一枚硬币抛掷三次，将一枚硬币抛掷三次，A表示表示“恰有一次出现正面恰有一次出现正面” B表示表示“至少有一次出现正面至少有一次出现正面”, 求求 P(A), P(B) 抽样问题抽样问题 一只口袋装有一只口袋装有6只球，其中只球，其中4只白球、只白球、2只红只红 球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。考虑球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。考虑 两种取球方式两种取球方式:(a)第一次取一只球，观察其颜色后第一次取一只球，观察其颜色后 放回袋中，搅匀后再取一球，这种取球方式

17、叫做放回袋中，搅匀后再取一球，这种取球方式叫做 放回抽样放回抽样。(b)第一次取一球不放回袋中，第二次第一次取一球不放回袋中，第二次 从剩余的球中再取一球，这种从剩余的球中再取一球，这种取球方式叫做取球方式叫做不放不放 回抽样回抽样。试分别就上面两种情况，求。试分别就上面两种情况，求(1)(1)取到的两取到的两 只球都是白球的概率；只球都是白球的概率；(2)(2)取到的两只球颜色相同取到的两只球颜色相同 的概率的概率;(3);(3)取到的两只球中至少有一只是白球的取到的两只球中至少有一只是白球的 概率。概率。 生日问题生日问题 假定每个人的生日在一年假定每个人的生日在一年365天的任一天天的任

18、一天 都等可能都等可能,随机选取随机选取n(小于小于365)人人,他们至少他们至少 有两个人生日相同的概率？有两个人生日相同的概率？ 小概率事件问题小概率事件问题 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过12次来访次来访,且都是且都是 在周二和周四来访在周二和周四来访. 问是否可以推断接待时问是否可以推断接待时间是有间是有 规定的规定的? 实际推断原理实际推断原理:“小概率事件在一次试验中实小概率事件在一次试验中实 际上是不可能发生的际上是不可能发生的”. 5. 条件概率条件概率 (一一)条件概率条件概率: 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S, A, B是事件是事件, 要考虑要考

19、虑 在在A已经发生的条件下已经发生的条件下B发生的概率发生的概率, 这就是条件概这就是条件概 率问题率问题. 例例1. 将一枚硬币掷两次将一枚硬币掷两次, 观察其出现正反面的情况观察其出现正反面的情况. 设设 A“至少有一次正面至少有一次正面”, B“两次掷出同一面两次掷出同一面” 求：求： A发生的条件下发生的条件下B发生的概率发生的概率. 在古典概型中，若在古典概型中，若P(A)0 P(A) P(AB) n n n n n n A)|P(B A AB A AB 1. 定义定义: 设设A, B是两个事件是两个事件, 且且P(A)0, 称称 P(A) P(AB) A)|P(B 为为在事件在事件

20、A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的条件概率发生的条件概率. 2. 性质性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件条件概率符合概率定义中的三个条件,即即 1A)|P(B0 B, 1 0 有有对对于于每每一一个个事事件件 1A)|P(S 2 0 1i i 1i i 21 0 A)|P(B)A|BP( , ,B ,B 3 则则两两互不相容两两互不相容设设 此外此外, 条件概率具有无条件概率类似性质条件概率具有无条件概率类似性质.例如：例如： 0A)|P( (1) 12n (2) B ,B , , B,设两两互不相容 则 n 1i i n 1i i A)|P(BA)|BP( )A|B(P1)A|

21、BP( (3) A)|P(BC- A)|P(C A)|P(BA)|CP(B (4) 例例1. 3只一等品只一等品 1只二等品只二等品 任取一只任取一只,不放回不放回 再任取一只再任取一只 A第一次取到的是第一次取到的是 一等品一等品 B第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品, 求求P(B|A). (二二) 乘法定理乘法定理: A)P(A).|P(BP(AB) 0,P(A) , 则有 立即可得由条件概率定义 推广推广: P(AB)0, 则有则有 P(ABC)=P(C|AB) P(B|A) P(A). 一般一般, 设设A1, A2, ,An是是n个事件个事件(n2), P(A1A2 .An-1)

22、0, 则有则有乘法公式乘法公式: P(A1A2An) = P(An|A1A2An-1)P(An-1|A1A2An-2) P(A1)P(A2|A1) r只红球只红球 t只白球只白球 例例2. 每次任取一只球观察颜色每次任取一只球观察颜色 后放回后放回,再加入再加入a只同色球只同色球 在袋中连续取球在袋中连续取球4次次, 试求第一、二次取到红球试求第一、二次取到红球 且第三、四次取到白球的概率且第三、四次取到白球的概率. 例例3. 透镜第一次落下打破的概率为透镜第一次落下打破的概率为0.5,若第一次若第一次 落下未打破落下未打破, 第二次落下打破的概率为第二次落下打破的概率为0.7, 若前若前 两

23、次落下未打破两次落下未打破,第三次落下打破的概率为第三次落下打破的概率为0.9, 试求试求:透镜落下三次而未打破的概率透镜落下三次而未打破的概率. (三三) 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式: : B , ,B ,B : n21 一一组组事事件件满满足足若若定定义义 1. 样本空间的划分样本空间的划分 n,., 2, 1,j i, j,i ,BB (i) ji ,SB (ii) n 1i i .S B ,B ,B n21 的的一一个个划划分分本本空空间间 为为样样则则称称 S B1 B2 B3 .Bn (1) 若若B1,B2,Bn是样本空间是样本空间S的一个划分的一个划分, 则每次

24、试验中则每次试验中, 事件事件B1, B2, , Bn 中必有一中必有一 个且仅有一个发生个且仅有一个发生. .BB , B ,B ,SB ,B ,2n )2( 2 1 2121 即即对对立立事事件件 为为则则的的一一个个划划分分为为时时当当 2. 全概率公式全概率公式: A B1 B2 B3 Bn S. 则则的事件的事件 为为 的一个划分的一个划分为为设设 , E An), 2, 1,(i0,)P(B ,SB ,B ,B i n21 )P(B)B|P(AP(A) i n 1i i n, ., 2, 1,i , )P(BB|P(A )P(BB|P(A A)|P(B , 0)( 0,)P(B ,

25、., n 1j jj ii i i 21 则有是一个随机事件且且 的一个划分是样本空间设 APA SBBB n 贝叶斯公式贝叶斯公式: 例例4. 某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制 造造厂提供的厂提供的,数据如下数据如下: 元件制造厂元件制造厂 次品率次品率 提供的份额提供的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 (1) 任取一只晶体管任取一只晶体管,求它是次品的概率求它是次品的概率. (2) 任取一只任取一只,若它是次品若它是次品,则由三家工厂则由三家工厂 生产的概生产的概 率分别是多少率分别是多少? 例例5 对

26、以往数据分析结果表明对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好当机器调整得良好 时时, 产品的合格率为产品的合格率为98%,而当机器发生某一故障时而当机器发生某一故障时, 其合格率为其合格率为55%, 每天早晨机器开动时机器调整良每天早晨机器开动时机器调整良 好的概率为好的概率为95%, 试求已知某日早上第一件产品是试求已知某日早上第一件产品是 合格品时合格品时, 机器调整得良好的概率是多少机器调整得良好的概率是多少? 1. 定义定义: 设设A,B是两事件是两事件,如果满足等式如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), 则称事件则称事件A与事件与事件B是相互独立的事件是相互独立的事件。 由定

27、义可知由定义可知: 不可能事件、必然事件与任何事件都是不可能事件、必然事件与任何事件都是 相互独立的。相互独立的。 1.6 独立性独立性 45 3. 定理定理: 设设A,B是两事件是两事件,且且P(A)0,则则A,B相相 互独立的充要条件是互独立的充要条件是: P(B|A)=P(B). 46 (1) A,B,B, AB, AB A若相互独立 则 与 与与 也相互独立。 相关结论相关结论: (2) P(A)0, P(B)0, A, BA, B若则相互独立与互不相 容不能同时成立。 47 2. 定义定义: 设设A,B,C是三个事件，如果满足等式是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B)

28、, P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 则称事件则称事件A,B,C相互独立。相互独立。 例例1. 一个元件能正常工作的概率称为元件的可一个元件能正常工作的概率称为元件的可 靠性。如下图，设有靠性。如下图，设有4个独立工作的元件个独立工作的元件1，2， 3，4按先串联再并联的方式连接。设第按先串联再并联的方式连接。设第i个元件个元件 的可靠性为的可靠性为 ，试求系统的可靠性。，试求系统的可靠性。 (1,2,3,4) i p i 12 34 例例2. 100件乐器件乐器,验收方案是从中任验收方案是从中任 取取3件测试件测试 (相

29、互独立的相互独立的), 3件测试后都认为音色纯则接收件测试后都认为音色纯则接收 这批乐器这批乐器,测试情况如下测试情况如下: 经测试认为音色纯经测试认为音色纯 认为音色不纯认为音色不纯 乐器音色纯乐器音色纯 0.99 0.01 乐器音色不纯乐器音色不纯 0.05 0.95 若若100件乐器中恰有件乐器中恰有4件音色不纯件音色不纯,试问试问: 这批乐器被接收的概率是多少这批乐器被接收的概率是多少? 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 2.1 随机变量随机变量 不是数量。与样本点抛硬币试验中例THH,TS , 1. 1. 定义定义: 设随机试验设随机试验E的样本空间是的样本空间是S=e

30、，若对于，若对于 每一个每一个eS, 有一个实数有一个实数X(e)与之对应与之对应, 即即X(e)是定是定 义在义在S上的单值实函数，称为上的单值实函数，称为随机变量随机变量。 （random variable, 简记为简记为r.v.) e S X(e) Rx 有了随机变量有了随机变量X, 以前的各种随机事件均可用以前的各种随机事件均可用X的的 变化范围来表示变化范围来表示:如例如例1中中: A=“正面朝上正面朝上”=X=1, C=“正面朝上或背面朝上正面朝上或背面朝上” =X=1或或X=0=S, 反过来反过来, X的一个变化范围表示一个随机事件的一个变化范围表示一个随机事件. 0X2 =“正

31、面朝上正面朝上”. X0= , -5X5=S. 2. 分类：分类： (2) 可用随机变量可用随机变量X描述事件。描述事件。 随机变量随着试验的结果而取不同的值随机变量随着试验的结果而取不同的值,在试在试 验之前不能确切知道它取什么值验之前不能确切知道它取什么值, 但是随机变但是随机变 量的取值有一定的统计规律性量的取值有一定的统计规律性概率分布概率分布。 (1) 离散型随机变量离散型随机变量; (2) 连续连续型随机变量。型随机变量。 注注: (1) 任何随机试验都可以找到相应的随机变量，任何随机试验都可以找到相应的随机变量， 2.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 1. 定

32、义定义 若随机变量全部可能取到的值是有限多个若随机变量全部可能取到的值是有限多个 或可列无限多个或可列无限多个, 则称为则称为离散型随机变量离散型随机变量. :r.v. 2.的的分分布布律律离离散散型型 ,.)3 , 2 , 1k(xXr.v. k 所所有有可可能能取取值值为为设设离离散散型型 (1) 1,2,.k ,p)xP(X kk , 1p1,2,.,k , 0p:p 1k kkk 且且满满足足 .r.v.X(1)的的概概率率分分布布或或分分布布律律式式为为离离散散型型则则称称 :(1)式式也也可可用用表表格格形形式式表表示示 X x1 x2 xn pk p1 p2 pn . 例例1.

33、设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信 号灯号灯,每盏信号灯以概率每盏信号灯以概率p禁止汽车通过禁止汽车通过, 以以X表示汽表示汽 车首次停下时已通过信号灯的盏数车首次停下时已通过信号灯的盏数, 求求X的分布律的分布律. (设各信号灯的工作是相互独立的设各信号灯的工作是相互独立的). 3.几种重要的离散型几种重要的离散型r.v.的分布律的分布律： X 0 1 pk 1-p p 其中其中0p1, PX=k=pk(1-p)1-k, k=0,1. 若某随机试验若某随机试验E只有两个只有两个(或相互对立的两或相互对立的两 类类)可能的结果可能的结果, 只要将其

34、中的一个只要将其中的一个(或一类或一类) 结果对应于数字结果对应于数字1,另一个另一个(或另一类或另一类)对应于对应于 数字数字0,于是就可用于是就可用0-1分布的随机变量来描分布的随机变量来描 述有关的随机事件述有关的随机事件. (一一) 0-1分布分布 (二二) 贝努利试验贝努利试验 (二项分布二项分布) . ,nE , )1p0( p)A(P ,AAE : 为贝努利试验为贝努利试验 这样的试验称这样的试验称次次独立重复地进行独立重复地进行将试验将试验 且且与与只有两个可能结果只有两个可能结果设试验设试验定义定义 设设X是是n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的次数发生的次数, 则

35、则X 是一个随机变量是一个随机变量, 于是于是 n., . 2, 1, 0,k ,p)(1p)(kXP knkn k 称称X服从参数为服从参数为n,p的二项分布的二项分布, 记为记为Xb(n,p). 当当n=1时时, PX=k=pk(1-p)1-k, k=0,1, 即为即为0-1分布分布. 例例2.某种电子元件的使用寿命超过某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级小时为一级 品品, 已知一大批该产品的一级品率为已知一大批该产品的一级品率为0.2, 从中随机抽从中随机抽 查查20只只, 求这求这20只元件中一级品只数只元件中一级品只数X的分布律的分布律. 58 例例3. 某人进行射击，设每次

36、射击的命中率为某人进行射击，设每次射击的命中率为 0.02，独立射击，独立射击400次，试求至少击中两次的次，试求至少击中两次的 概率概率。 例例4. 设有同类型设备设有同类型设备80台台, 各台工作是相互独立各台工作是相互独立 的的, 发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01, 设一台设备的故障设一台设备的故障 由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法：由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法： 其一是由其一是由4人维护，每人负责人维护，每人负责20台；其二是由台；其二是由3人人 共同维护共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故台。试比较这两种方法在设备发生故 障但不能及时维修的概率

37、大小。障但不能及时维修的概率大小。 (三三) 泊松分布泊松分布(Poisson) ).( . ,0 , . , 2 , 1 , 0, ! X X k k e kXPX k 记为分布 的泊松服从参数为则称是常数其中 的分布为若 泊松分布有很多应用泊松分布有很多应用.通常用来刻画一段间通常用来刻画一段间 隔中某类事件发生的次数隔中某类事件发生的次数 例如例如,一定时间间隔内电话交换台收到的呼一定时间间隔内电话交换台收到的呼 唤次数，某一地区一个时间间隔内发生的唤次数，某一地区一个时间间隔内发生的 交通事故数等都服从泊松分布交通事故数等都服从泊松分布. (四四) 几何分布几何分布 进行重复独立试验进

38、行重复独立试验, 设每次试验成功的概率为设每次试验成功的概率为p, 失败的概率为失败的概率为1-p=q(0p1), 将试验进行到出现一将试验进行到出现一 次成功为止次成功为止, 以以X表示所需的试验次数表示所需的试验次数, 则则X的分布的分布 律为律为: PX=k=qk-1p, k=1, 2, 称为称为X服从参数为服从参数为p的的几何分布几何分布. 例例 设某种社会定期发行的奖券设某种社会定期发行的奖券,每券每券1元元,中奖率为中奖率为 p,某人每次购买某人每次购买1张奖券张奖券, 如果没有中奖下次继续再如果没有中奖下次继续再 买买1张张, 直到中奖为止直到中奖为止, 求购买次数求购买次数X的

39、分布律的分布律. 若该人共准备购买若该人共准备购买10次次,共共10元钱元钱, 即如果中奖就停止即如果中奖就停止, 否则下次再购买否则下次再购买 1张张, 直到直到10元共花完为止元共花完为止,求购买次求购买次 数数Y的分布律的分布律. 3 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 1. 定义定义：设：设r.v. X, x R1, 则则 F(x)=P Xx 称为称为 X的的分布函数分布函数. (1) P x1x1, F(x2) F(x1) (2) 0F(x)1, F(- )=0, F(+ )=1. (3) F(x) 是右连续的是右连续的, 即即 F(x+0)=F(x). 例例1. 离散型离散型

40、r.v., 已知其分布律可求出分布函数已知其分布律可求出分布函数. X -1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求求: X的分布函数的分布函数, 并求并求 P X1/2, P3/2X5/2. 4.4. 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 :. 1 定定义义 , x ,f(x) ,F(x)X. v . r 有有使对于任意的实数使对于任意的实数数数 存在非负函存在非负函的分布函数的分布函数对于对于 x f(t)dt)F(x 则称则称X为连续型为连续型r.v.f(x)称为称为X概率密度函数概率密度函数, 简称简称概率密度概率密度. (1)连续型连续型r.v.的分布函数是连续函数

41、的分布函数是连续函数. (2) 设设X为连续型为连续型r.v. 它取任一指定的实它取任一指定的实 数值数值a的概率均为的概率均为0. 即即PX=a=0. )x(x , xd)x( f)x(F)x(FxXxP )3( 21 x x 1221 2 1 f(x).(x)F,xf(x) (4) 则有则有处连续处连续在点在点若若 :f(x)2.的的性性质质概概率率密密度度 0.f(x) (1) . 1xdf(x) (2) - 例例1. 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2米的圆盘米的圆盘,设击中靶上任一设击中靶上任一 同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并并

42、 设射击都能击中靶设射击都能击中靶, 以以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离. 试求试求X的分布函数与密度函数的分布函数与密度函数. 68 x 2 7 2 X kx,0 x3 f(x)2,3x4 0, 1k2X 3P1X. 例例 设设随随机机变变量量具具有有概概率率密密度度 其其它它 （ ）确确定定常常数数 ；（ ）求求的的分分布布函函数数； （ ）求求 4.几个常用的连续型几个常用的连续型r.v.分布分布 (一一)均匀分布均匀分布: :,)b, a(X且且概概率率密密度度为为上上取取值值在在区区间间设设随随机机变变量量 . , 0 ,bxa , ab 1 )x( f 其它其它 则

43、称则称随机变量随机变量X在在(a,b)上服从均匀分布上服从均匀分布,记作记作 XU(a,b). 分布函数为分布函数为: .bx , 1 ,bxa ),ab()ax( , ax , 0 )x(F (二二) 指数分布指数分布: 1. 定义定义: 如果连续型随机变量如果连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为: . 0 0, , 0 , 0, 1 )( / x xe xf x 指数分布的无记忆性指数分布的无记忆性: |tXPsXtsXP X ( ).X则称 服从参数为 的指数分布，记为 0st， (三三) 正态分布正态分布: ).,(, ,)0(, ,x, 2 1 f(x) ) 1 ( 2 2 )x

44、( 2 2 NX X e X 记作正态分布 的服从参数为则称为常数其中 的概率密度为设随机变量 :其其图图像像为为 性质性质: x, h0 -h .PXPXh 曲线关于对称 这表明对有 如何计算如何计算? (2)标准正态分布标准正态分布: ).1 ,0(NX,X , tde 2 1 (x) ,e 2 1 )x(,1,0 x 2 t 2 x 2 2 记记服服从从标标准准正正态态分分布布则则称称 时时当当 . t 2 1 )x( 2 2 2 )t ( x deF 分布函数 引理引理:).1 , 0(N X Z),N(X 2 则则若若 例例: 若若XN( , ),则 则X落入区间落入区间: - ,

45、+ , -2 , +2 , -3 , +3 的概率为多少的概率为多少? 标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点: 满足条件满足条件若若设设 z),1 , 0(NX , 10 ,zXP ,分位点为标准正态分布的上则称点 z z (x) O 2. 特例特例: (1, ) 是参数为是参数为 的指数分布的指数分布. （ =1） 3. 伽玛函数的性质伽玛函数的性质: (i) ( +1)= ( ); (ii) 对于正整数对于正整数n, (n+1)=n!; .) 2 1 ()iii( (四四) 伽玛分布伽玛分布: 1. 定义定义: 如果连续型随机变量如果连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为: )

46、.,(X,X ,dxex)(,0, 0, 0.x , 0 , 0 x,ex )()x( f 0 x1 x1 简记简记服从伽玛分布服从伽玛分布则称则称 伽玛函数为伽玛函数为为参数为参数其中其中 5. 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 一、一、 X为离散型为离散型r.v. 例例1.设设X具有以下的分布律具有以下的分布律,求求Y=(X-1)2分布律分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4 1. 离散离散r.v.分布函数的概率分布的求法分布函数的概率分布的求法: 设设X的概率分布如下表的概率分布如下表: X x1 x2 xk PX=xi p1 p2 pk . (1)

47、 记记yi=g(xi)(i=1,2,)yi的值也是互不相同的的值也是互不相同的, 则则Y 的概率分布如下表的概率分布如下表: Y y1 y2 yk PY=yi) p1 p2 pk . (2) 若若g(x1),g(x2),中不是互不相等的中不是互不相等的, 则应将那些则应将那些 相等的值只写一次相等的值只写一次,但把各自所对应的概率相加但把各自所对应的概率相加, 就就 得到了得到了Y的概率分布律的概率分布律. 二、二、X为连续型为连续型r.v. .8X2Y , 0, ,4x0 , 8x (x)f Xr.v. . 2 X 的概率密度的概率密度求求 其它其它 具有概率密度具有概率密度设设例例 1.

48、“分布函数法分布函数法”: (1) 先求出先求出Y的分布函数的分布函数: FY(y)=PYy=Pg(X)y=PX G, 转化为转化为 关于关于X的事件的事件, 再利用再利用X的分布函数表示的分布函数表示. (2)对对y求导得到求导得到Y的概率密度的概率密度:fY(y)=FY(y). .XY ,x- (x),fX .3 2 X 的的概概率率密密度度求求 的的概概率率密密度度为为设设例例 例例4. r.v.XN( , 2), 证明证明X的线性函数的线性函数Y=aX+b (a0)也服从正态分布也服从正态分布. . , 0 y |,)y(h|)y(h(f )y(f X Y 其其它它 当当 若若f(x)

49、在有限区间在有限区间a, b以外等于零以外等于零, 则只需假则只需假 设在设在a, b上上g(x)严格单调严格单调, 选取选取 =min(g(a), g(b), =max(g(a), g(b). . )X(gY,(.)g)x(gy 概概率率密密度度公公式式 的的有有情情况况时时是是严严格格单单调调函函数数的的特特殊殊的的当当 2.定理定理:设设X是连续型是连续型r.v., 具有概率密度具有概率密度f(x),设设y=g(x) 是是x的严格单调函数的严格单调函数, 且反函数且反函数x=h(y)具有连续的导具有连续的导 函数函数. 当当g(x)严格增加时严格增加时, 记记 =g(- ), =g(+

50、); 当当g(x)严格减少时严格减少时, 记记 =g(+ ), =g(- ), 则则Y的概率密度为的概率密度为: 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 1 二维随机变量二维随机变量 1. 二维二维r.v.定义定义: 设设E是一个随机试验是一个随机试验, 样本空间是样本空间是 S=e,设设X=X(e)和和Y=Y(e)是定义在是定义在S上的上的r.v., 由由 它们构成的一个向量它们构成的一个向量(X, Y), 叫做叫做二维二维r.v. 注注: 二维二维r.v. (X, Y)的性质不仅与的性质不仅与X和和Y有关有关, 而且还而且还 依赖于这两个依赖于这两个r.v.的相互关系的相互

51、关系. 如何描述二维如何描述二维r.v.(X, Y)的统计规律的统计规律? 2. 二维二维r.v.(联合联合)分布函数分布函数: .Y Xr.v. ,(X, Y)r.v.yYx,PX )y(Y)xP(X)y x,F( y, x, 的的联联合合分分布布函函数数和和 或或称称为为的的分分布布函函数数称称为为二二维维 二二元元函函数数对对于于任任意意的的实实数数 84 1212 (2) xXx ;yYy 随随机机点点落落在在矩矩形形域域 图图 的的概概率率为为 1212 22122111 PxXx ;yYy F(x ,y )-F(x , y )-F(x ,y )F(x , y ) 图图2 二维二维r

52、.v.的分布函数的基本性质与一维的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函的分布函 数数F(x)的性质类似的性质类似. 若将若将(X, Y)看成平面上随机点的坐标看成平面上随机点的坐标, 则分布函数则分布函数F(x,y)的的 值为值为(X,Y)落在阴影部分的概率落在阴影部分的概率(如图如图1) 图图1 3. 下面分别讨论二维离散型和连续型下面分别讨论二维离散型和连续型r.v. ijij ijij r.v. ,r.v. x ,yp , i, j1 2 3 p0, p 1, ij (X,Y) (X, Y) PXY, , , 若二维的所有可能取值是有限对 或可列多对 则称为离散型 记 若 (一一)

53、二维离散型二维离散型r.v. .Yr.v.X ,(X, Y)r.v. 3, 2, 1j i, ,pyY,xPX ijji 的的联联合合分分布布律律和和或或的的分分布布律律为为离离散散型型 则则称称 例例1. 设设r.v. X在在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取值四个整数中等可能地取值, r.v. Y则在则在1X中等可能地取一整数中等可能地取一整数, 试求试求(X, Y)的的 分布律分布律. (二二) 二维连续型二维连续型r.v. . YX y x,f , v. r. dudv,v u,fy x, : y - x - 的的联联合合概概率率密密度度 和和或或称称为为的的概概率率密密度度称称

54、为为 其其中中非非负负函函数数为为连连续续型型的的二二维维 则则称称若若定定义义 ,)Y,X()( (X, Y) )()F()1( G 0 y)dxdy.f(x,G) P(X, Y :G Y) (X, ,xoyG 4 内的概率为内的概率为在在 落落点点平面上的一个区域平面上的一个区域是是设设 ; 1),(Fdxdy)y x,( f2 - 0 ; )yx,( f yx )yx,(F ,)y x,()y x,( f 3 2 0 则有则有点连续点连续在点在点若若 :)y x,( f )2(的的性性质质 0;)y x,( f 1 0 .XYP)3( );yx,(F)2( ;A)1(: , 0, 0,y

55、 0,x ,Ae y) f(x, Y) r.v.(X, 2. y)(2x- 概概率率 分分布布函函数数常常数数求求 其其它它 具具有有概概率率密密度度设设二二维维例例 2. 边缘分布边缘分布 一、一、边缘分布函数边缘分布函数： 来来表表示示？如如何何用用数数 的的边边缘缘分分布布函函和和关关于于关关于于称称为为二二维维 记记为为分分别别也也有有分分布布函函数数都都是是和和而而 具具有有分分布布函函数数它它作作为为一一个个整整体体对对于于二二维维 y)F(x,?)y(F ?)x(F . YX)(X, Yr.v. (y),F (x),F , r.v.,YX, )yx,F( , ,(X, Y)r.v

56、. YX Y X 二、二、边缘分布律边缘分布律： , r.v.(X, Y) 为为二二维维离离散散型型设设 如如何何表表示示？的的分分布布律律则则,.2 , 1i , xPX :X i :Y ,的的分分布布律律同同理理又又该该如如何何表表示示？,.2 , 1j , yPY j 若已知联合分布律若已知联合分布律 例例1(续续) Y 1 2 3 4 pj 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 pi X 三、三、边缘概率密度边缘概率密度: y), f(x, ,(X, Y)r.v. 概概率率密密度度为为设设二

57、二维维连连续续型型 ?)x(f X 则则?)y(f Y 同理同理 ).y(f),x(f: , 0, x,yx 6, y) f(x, )X, Y( 2. YX 2 边边缘缘密密度度求求 其其它它 的的概概率率密密度度为为设设例例 ),N( (X, Y) : . 3 22 121 2 二二维维正正态态分分布布例例 ,yx, , )y()y)(x( 2 )x( )1(2 1 exp 12 1 y)f(x, 2 2 2 2 21 21 2 2 1 2 2 21 1 :Y,X的的边边缘缘分分布布求求 ),(NY ),N( X 2 2 2 11 2 注注: 由二维随机变量由二维随机变量(X,Y)的概率分布

58、的概率分布(X,Y)的联合分的联合分 布可唯一地确定布可唯一地确定X和和Y的边缘分布的边缘分布, 反之反之, 若已知若已知X,Y 的边缘分布的边缘分布, 并不一定能确定它们的联合分布并不一定能确定它们的联合分布. 3. 条件分布条件分布 一、一、二维离散型二维离散型r.v.的情况的情况: yPY yY ,xPX yY| xPX: , 0p j ji jij 有有设设 )1 . 3( 2, 1,i , p p j ij .X. v . ryY称 j 的条件分布律的条件分布律条件下条件下为在为在 . Yr.v.xX (3.2) , 2 , 1j , p p xPX yY,xPX xX|yPY 0p

59、, i i ij i ji ij i 的条件分布律的条件分布律条件下条件下称为在称为在 设设同样同样 例例1. 设设(X, Y)的分布律为的分布律为: X 5 7 13 18 20 1 0.08 0.01 0 0.02 0.14 2 0.11 0.10 0.09 0.01 0.04 3 0.03 0.07 0.15 0.06 0.09 求在求在X=2时时Y的条件分布律的条件分布律. Y 例例2 一射击手进行射击一射击手进行射击, 击中目标的概率为击中目标的概率为p(0p1), 射击到击中目标两次为止射击到击中目标两次为止, 设以设以X表示首次击中目标表示首次击中目标 进行的射击次数进行的射击次

60、数,以以Y表示总共进行的射击次数表示总共进行的射击次数,试求试求 X和和Y的联合分布律和条件分布律的联合分布律和条件分布律. 二、二、二维连续型二维连续型r.v. 首先引入条件分布函数首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度然后得到条件概率密度. :)1(条条件件分分布布函函数数的的定定义义 yY-y|xXPlim 0,yY-yP 0, y, 0 若若给定给定 , yY-yP yY-y, xXP lim 0 存在存在 yY|xXPy)|(xF .XyY Y|X 或或 记作记作的条件分布函数的条件分布函数下下称此极限为在条件称此极限为在条件 (y)f y)f(x, y)|(xf Y Y|X 的