第31招解三角形题型的解法

1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第31讲: 解三角形题型的解法 【知识要点】 、直角三角形中各元素间的关系: 在 ABC 中，C 900, AB c, AC b, BC a. (1) 三边之间的关系: a2 b2 c2 （勾股定理） (3 锐角之间的关系: 边角之间的关系: B 90 ; （锐角三角函数定义） sin ba -,tan A cb a A cosB , cosA sin B c 二、斜三角形中各元素间的关系： ABC中，A、B、C为其内角, a、b c分别表示A B、C的对边. (1 ）三角形内角和：A+B+C (2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 s

2、i 2R( R为外接圆半径) nA sinB sinC 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 a2 2 2 b c 2bccos A ； b2a2 c2 2ac cos B ； c2 a2 b2 2abcosC . ,2 2 2 ,b +C - a cosA = 2bc cosB = a2+c2- b2 2ac 2 , 2 2 小 a +b - c cosC = 2ab c 2 2 a +b - c = 2abcosC +b2 - a2 = 2bc cosA a2 +c2 - b2 = 2accosB 三、三角形的面积公式: (1) S (2)

3、s 11 -aha -bhb 22 1111 absinC - bcsinAacsinB = 222 2 -chc （ ha、hb、hc分别表示 2 a、b c的高）； 四、解三角形: 由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其 他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及 内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型: (1) 两类正弦定理解三角形的问题: 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角 两类余弦定理解三角形的问题: 1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们

4、的夹角，求第三边和其他两角 解三角形如果出现多解，要利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系来检验 五、三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点 (1) 角的变换 因为在 ABC中, A+B+C ，所以 sin(A B) sin C ； cos(A B) cosC ； tan (A B) tanC ； si3 C A B cos, cos 2 2 .C sin . 2 (2) 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 六、求解三角形应用题的一般步骤: (1) 分析：分析题意，弄清已知和所求; (2) 建模

5、：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图; 求解：正确运用正、余弦定理求解; 检验：检验上述所求是否符合实际意义 七、解应用题中的几个角的概念 (1)仰角、俯角的概念: .如图: 在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角 d (2)方向角：相 对于某正方向的水平角 .如南偏西 45 等. (3) 方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角 【解析】由土=士得血$=迪人过r r 【方法讲评】 题型一 求三角形的角和边 使用情景 解三角形 解题步骤 一般利用正弦定理、余弦定理和三角恒等变形来解答. 【例 1 】在 ABC 中，已知

6、a 2y2 , b 23 , A 45，求 c、B、C . 这个三角形有两组解一占= 60或5 = sin A 当=12O0,C=;r-(J+) = 15由 flstn C 2/2 sifl 15 F 口 c =；=6 W . sin A sin 斗亍 故 5 二 = 7空上二后+；或5=120C = 15c = 76-72 . 【点评】(1)利用正弦定理和余弦定理时，注意使用的数学情景，知道两边和其中一边的对角一般利 用正弦定理解答; (2)已知两边和其中一边的对角，一般要讨论，利用三角形内角和定理或三角形边角不 等关系定理检验 【反馈检测 1】在 C中，角 ,C的对边分别为a , b ,

7、c,且2sinC sin sin a cos bcos (1)求角 的大小; (2)若 a 3，sinC 2sin ，求 b，c 的值. 题型二 求三角形的面积 使用情景 解三角形 解题步骤 11 利用公式S aha absinC解答. 22 【例2】 在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且严 COsC 73acosA (1)求角 A的值; (n)若 sin C sin( B A)2sin 2A，求 ABC的面积. (2)若角 【解析】 由正如飄甞=逛，得辿需n 苗农 CO5 J B , BC边上的中线 AM 77，求 ABC的面积. 6 整#里彳寻:2血口 CO5 A =馆si

8、n(貝+ C) = -3 sin占 又如所以如=冬 乂厶化(0小所臥亠弓 2 6 (2)由乙R =，厶4 = f 知 CT = b , 6 6 2t F+牛-了 心仲由余注理得：0亍二T 所決11孔的面枳尸 =73 - 【点评】求三角形的面积一般利用公式 -absin C解答，注意灵活选用公式 2 【反馈检测2】在 ABC中, 内角A B, C对边的边长分别是 a, b, c,已知c 2 , C 3 (1)若 ABC的面积等于 73，求 a, b ; 题型三 判断三角形的形状 使用情景 解三角形 解题步骤 一般利用正弦定理或余弦定理边化角或角化边. ) 2 古，则ABC的形状是（ 【例3】在

9、ABC中，若tanA tan B A.直角三角形 .等腰或直角三角形 C.不能确定 D .等腰三角形 sin A 【解析】由竺昱-込1- siliAcosB ac os 占 a tan 血 EbcosA 扩 cos E 变开纟得血sin J cos A = sin S cos 5 ；. sin 2 J = $iii 2* cos Jb sinB jr ：.2A=2S或2+ 2孚=7 = *或/ +月=三,所以三角形为等腥或直甬三角形故选择B . 【点评】（1）判断三角形的形状，一般利用正弦定理或余弦定理边化角或角化边 .(2) in2A sin2B 得到 2A 2B或 2A 2B 180，不要

10、漏了 2A 2B 180. 【反馈检测3】已知a,b,c分别是 ABC中角A,B,C的对边acsinA 4sinC 4csinA. （1 ）求a的值; J3 （2）圆0为 ABC的外接圆（0在 ABC内部）， ABC的面积为 ,b c 4,判断 ABC 3 并说明理由. 题型四 解三角形的应用 使用情景 解三角形的应用 解题步骤 先画图，把条件标记到图形中，然后转化成解三角形的数学问题来解 【例4】已知甲船正在大海上航行，当它位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船 遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10海里C处

11、的乙船，乙船当即决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达 .（供参考使用：tanQ 试问乙船航行速度的大小；（2）试问乙船航行的方向（试用方位角表示，如北偏东度）. 【解析】依题意画出 A B、C的方位图，如下 在九4占C中=上C且耳今0。十设乙船运动到鸟处的距离为存海里，则 fi余弦定理EC二=-化丄+ 缶-2JCX AS XCOS CAB得 厂=10+20*+2xl0 x20 x- = 700 亠茴，又因加乙两船行驶的时即=晋十时从而乙船的速切十畔 在亠诞中，由正弦定理可得曲 AS 所siiiZC5= X sifl CAS =匣, J10 crV 十 4c 二 4ac, / C 衣 0. ；.

12、 ac +牝=4心 C + 4 = 4a 2)* = 0 可得 = 2 （R记万C中点为二A= =故/50U二12（r,圆。的半径为F二寒，由正弦 J 公式可知血八护孕故心由余弦定理可矩心WwM由上可得 斗二沪十d氐，又i十匸=4则故肌:为等边三角形. 【反馈检测4答案】缉私船沿北偏西 60的方向能最快追上走私船 【反馈检测4详细解析】由已知条件得，AB 2, AC 73 1, BAC 120, - BC VaB2+AC2-2AB AC cs BAC = 丁4 + 4 23+ 232 = 76. ACB 45, BCD 中, 在 ABC 中， AB =BC ，解得 sin ACB sin ACB sin BAC2 BC为水平线，设经过时间t小时后，缉私船追上走私船，则在 BD 10t,CD 10 屈 DBC 120, sin BCD BDsin CBD 1匸 = 1 1073t2 CD BCD 30，缉私船沿北偏西 60的方向能最快追上走私船. 【反馈检测 5答案】（1）证明略；（2）-时，SpAC最大值等于逅 34 【反馈检测5详细解析】（1）证明：由正弦定理得 cos A sin B cosB sin A ,整理为 sin AcosA sin BcosB ,即 sin2A =sin2B 2A= 2B或 2A+ 2B=n ,即 A= B或 A+ B= 一 . 2