高等数学考研知识点总结2

1、第二讲导数与微分一、考试要求1、 理解导数和微分的概念， 理解导数与微分的关系， 理解 ( 了解 ) 导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义（经济意义，含边际和弹性），会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。2、 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。4、 会求分段函数的导数。 会求隐函数和由参数方程（ * ）所确定的函数及反函数的导数。二、内容提要1 、 导数与微分的定义（1）导数的定义： f (

2、x0 )lim f ( x)f ( x0 )limf ( x0x) f ( x0 )x x0xx0x0x（2）左右导数： f ( x0 )f ( x0 )Af( x0 )A（3）几何意义：切线 yf ( x0 )f( x0 )( xx0 )法线 yf (x0 )1( xx0 )f (x0 )（4）微分的定义：若 yf ( x0x)f ( x0 )Ax 0(x)则 dy=A xf( x) dx2 、 导数与微分的运算法则3、 求导方法（1）复合函数求导：设y=f(u), u= (x), 则 y=f(x)yf( u)xx(t )dy（2）参数方程求导：,dxyy(t )( x)f ( x)( x)

3、y (t ) , d 2 yd ( y (t ) )dtx (t )dx 2dtx (t )dx（3）隐函数 F(x,y)=0 求导：三种方法：直接求导、公式法dyFx 、dxFy微分形式不变性（4） 对数求导 (适用于幂指函数、多项连乘除的情形）(5)高阶导数(6)抽象函数、隐函数求二阶导数1三、重要公式与结论1、 f ( x0 ) lim f (x)f (x0 )limf ( x0x)f ( x0 )x x0xx0x0xlimf ( t)f (x0 )limf ( x0h) f ( x0 )t x0tx0h 0h一般地， 1)limf g (x)f (x0 )xx0g (x) x02)li

4、mf g( x)f ( x0 )xx0xx03)limf g (x)f h(x)xx0xx0f(x0 )f( x0 ) lim g( x)x0x x0xx0g(x)h(x)f (x0 ) limx x0x x0这里 lim ()lim()x0g xh xx x0x x02、f(x) 在 x 处可微f(x)在 x 处可导 f (x0 ) f ( x0 )3、若 f(x) 在 x= x0 处连续，且 limf ( x)x 0xx0若 f (x) 在 x= x0 处连续，且limf ( x)x0xx0若 f (x) 在 x= x0 处连续，且 limf( x)x0xx0若 f(x) 在 x= x0处

5、连续，且 limf ( x)kxx0 ( xx0 )若 f(x) 在 x= x0处连续，且 limf ( x )x 0 ) kxx 0 ( xAf ( x0 ) 0, f ( x0 )AAf( x0 ) 0, f ( x0 )AAf(x0 ) 0, f (x0 )AA(k1)f ( x0 )0, f ( x 0 )0A( 0k1)f ( x 0 )0, f ( x0 ) 不存在4、可导的偶（奇）函数，其导函数为奇（偶）函数 .可导的周期函数，其导函数为同周期的函数 .5、注： yf ( x ) 在 ( x , y) 处有yA( x , y) x o(x )则 yA( x, y) （一阶微分方程

6、）6、可微可导连续lim f ( x )f ( x 0 )xx07、设 f ( x 0 )0,f ( x 0 ) ，则f ( x ) 在 x 0 处可导的充分必要条件为f ( x0 )0设 limg( x )，则 g( x) xx 0在 x 0 处可导的充分必要条件为lim g( x )0x x0x x08、常见导数不存在的情形1）、 f ( x )xx 0在 x= x 0 处导数不存在，但 xx 0 ( xx 0 ) 在 x 0 处可导2）x sin 1, x0, ， 在 x=0 处当 1 时导数存在； 1 时导数不存在 .2 f ( x)xx00,四、 典型题型与例题题型一、有关导数的定义

7、及性质1 、分段函数在分界点处的导数2 、已知极限求f ( x 0 ) ，或已知f ( x0 ) 求极限3 、涉及抽象函数的导数f ( x)4 、抽象函数没给出可导的条件，考察在某点处的可导性或导函数例 1、设f (0) 0，则f (x) 在 x0 处可导的为（）（ A）lim1cosh)存在（ ）lim1h) 存在2 f (1Bf (1eh 0 hh0h（ C）lim1f (hsinh)存在（ ）lim1f (h)存在Df (2h)h 0 h2h0h例 2、设 fx 在 x0 处连续，且 lim ex11 ，则 f 0（）x 0 e f x1例 、（）设 f x 在x 0处连续，且limf

8、(h2 )1，则30634h2h 0（A） f (0)0 且 f (0)（ B） f (0)1 且 f (0)（C） f (0)0 且 f (0)（D） f (0)1 且 f (0)3例 4、(04123)设函数 f ( x ) 连续，且 f (0)0 ，则存在0 ，使得（A） f ( x) 在 (0,)内单调增加（B） f( x) 在 (,0) 内单调减少（C）对 x( 0,)有 f ( x) f ( 0)（D）对x (,0)有 f ( x ) f (0)例 5、设 f ( x) 是以 4 为周期的函数，且 fh1 2 ，则 limh 0 f (3 4h) f ( 1)例 6、设 f ( x

9、) 可导， yf ( x2 ) 自变量x 在 x1 处取得增量 x0.1 时相应的函数增量 y 的线性主部为0.1 ， 则 f (1)（）（ A） -1（ B） 0.1（C） 1（D）0.5例 7、设函数 f(x) 在 x=1 处连续，且是周期为 2 的周期函数，满足 lim ln f ( x)32,x 1xcos2求曲线 y=f(x) 过点 x= -1 处的切线方程为4例 8、曲线 yx2 与曲线 y a ln x( a0) 相切，则 a =(A)4e(B)3e(C)2e(D)e【】题型二、分段函数的导数方法： 1 、利用 f( x 0 )Af( x 0 )f ( x 0 )A2 、设 f

10、( x 0 ) 0,f ( x0 )，则 f ( x) 在 x0 处可导的充分必要条件为f ( x 0 ) 03 、设 lim g( x ) ，则 g( x ) xx 0在 x 0处可导的充分必要条件为 lim g( x ) 0x x0x x0ln( 1x )x ,x0例 9、设 f ( x )x2ax0在 x 0处可导，求 a, b, csin bxcx,x0x例 10、设 f ( x )x arctan1,x0x，则 f ( x ) 在 x0 处0x0（ A） 不连续（B） 连续但不可导（ C） 可导但 f( x ) 在 x0 不连续（D） 可导且 f ( x ) 在 x0 连续5例 11

11、、求函数 f ( x )( x 2x2) x 3x sin x 的不可导点。例 12、（034） 设 f ( x ) x 31( x) ，其中 ( x ) 在 x 1 处连续，则 (1)0 是 f ( x )在 x1 处可导的（ A） 充分必要条件（ B） 必要但非充分条件（ C） 充分但非必要条件（ D） 既非充分也非必要条件题型三、变限积分求导方法： 1、h( x )f ( t )dtf h( x )h ( x ) f g( x) g ( x )g( x )2、若被积表达式中含有h ( x )x,a( x ) f ( x , t )dt ，提出 a( x ),g ( x)再令 u( x ,

12、 t ) ，使被积表达式中不含有 x 。例 13、 F ( x )x 2t )dt 求 F ( x )tf ( x06x2sin xu0,例 14、 .设 f ( x)du, x求 f (0) .xu0,x0,1f ( xt )dt ,limf ( x )A （为常数），求 ( x ) ，并讨例 15、设 f ( x) 连续， （ x）00xx论 ( x ) 在 x 0 处的连续性题型四、利用导数公式及法则求导1 、熟记 16 个求导公式2 、四则运算法则3 、反函数求导法则4 、复合函数求导法则5 、隐含数求导法则6 、参数方程所确定函数的导数（极坐标）注： 1 、直接求导或微分72 、多项

13、乘积的导数可考虑对数求导法3 、区别 f g( x ), f g( x ) 例 16、设方程 x y y 确定 y 是 x 的函数，求 dy dx3、公式法例 17、设函数 yxarctan t确定，求 dyy( x ) 由ty 2et52 ydx例 18、（022）已知曲线的极坐标方程是r1cos，求该曲线上对应处的6切线与法线的直角坐标方程。8题型六、高阶导数方法： 1 、数学归纳法2 、重要函数的高阶倒数公式3 、莱布尼兹公式4 、幂级数展开（泰勒公式）f ( x)a n ( x x 0 ) nf ( n) ( x 0 )an n!n 0例 19、（ 0023）求 f ( x )x 2

14、ln( 1 x) 的 f ( n ) (0) 。法一、用莱布尼兹公式， n2 时 f ( n ) (0)0nn 2 时， f (n ) (0)Cnk ( x 2 )( k ) ln( 1 x )( n k ) |x 0k 0Cn22ln( 1x ) ( n 2) |x 0n(n法二、泰勒公式f ( x)x 2 xx 3x 421)( 1)n 3 (n 3)!1|x 0( 1) n 3n!(1x ) n 2n2x 2x 3( 1)(n 1)x n 2n 2)23o( xn 2(1)( n 1) x no x n)n2(0,n2f ( n) (0)1) n 3n!,n2(例、（）函数 yn22x在 x 0处的 n 阶导数ln1yn0 =20102【答案】 应填2nn1 ! .【分析】利用函数 yln1x的高阶导数公式 .【详解】 ln 12 x (n )2n