高中数学经典公式及结论大全

1、高中数学经典公式及结论大全1. 元素与集合的关系xAxCU A , xCU AxA .2. 德摩根公式CU ( AI B)CU A U CU B; CU ( A U B)CU A I CU B .3集合 a1 , a2,L , an 的子集个数共有2n 个；真子集有2n 1 个；非空子集有2n 1 个；非空的真子集有 2n 2 个 .4. 二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 f ( x)ax 2bx c(a0);(2)顶点式 f ( x)a( xh) 2k (a0) ;(3)零点式 f ( x)a( xx1 )( xx2 )(a0) .5. 方程 f ( x) 0在 (k1 , k2 )上

2、有且只有一个实根, 与 f (k1 ) f (k2 )0 不等价 , 前者是后者的一个必要而不是充分条件. 特别地 ,方程 ax2bx c0(a 0) 有且只有一个实根在(k1 , k2 ) 内 , 等价于f (k1 ) f (k2 ) 0 , 或 f (k1 )0 且 k1bk1 k2 , 或 f ( k2 )0 且 k1 k2bk2 .2a222a6. 闭区间上的二次函数的最值二次函数 f ( x) ax2bxc(a 0)在闭区间p, q 上的最值只能在 xb处及区间的两端2a点处取得，具体如下： （可画图解决问题）bp,q ，则 f ( x) minf (bf ( p), f (q) ；

3、(1) 当 a0 时，若 x), f (x) maxmaxb2a2ap, q ， f ( x) maxmax f ( p), f (q) ， f ( x) min min f ( p), f (q) .x2abbp,q ，则 f ( x) minminf ( p), f (q)，若 xp,q ，则(2) 当 a0)f ( x)f ( xa) ，则 f ( x) 的周期 T=a；16. 分数指数幂m1(1)a n0, m, nN ，且 n1） .（ an amm1a n0, m, nN ，且 n1 ） .(2)m （ aa n17根式的性质（ 1） ( n a) n a .（ 2）当 n 为奇数

4、时， n ana ；当 n 为偶数时， n an | a |a, a0.a, a018有理指数幂的运算性质(1)ar asar s (a 0, r , s Q) .(2)(ar )sars ( a0, r , sQ ) .(3)(ab)rar br ( a0, b0, rQ ) .注： 若 a 0， p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 .19. 指数式与对数式的互化式log a NbabN (a0, a1, N0) .20. 对数的换底公式log a Nlog m N0 , 且 m 1, N 0 ).( a 0 , 且 a 1, ml

5、ogm a推论 log am bnn log a b ( a 0 , 且 a 1, m, n0 , 且 m 1, n 1 , N 0 ).m21对数的四则运算法则若 a 0， a 1， M0， N 0，则(1)log a ( MN )log a Mloga N ;(2)log a Mlog a Mlog a N ;N(3)log a M nn log a M ( n R) .22. 数列的同项公式与前 n 项的和的关系s1,n1a1a2L an ).ansn 1 , n( 数列 an 的前 n 项的和为 snsn223. 等差数列的通项公式ana1(n 1)ddna1d (nN * ) ；其前

6、 n 项和公式为n(a1an )n(n 1)d 2( a11sn2na12d2nd) n .224. 等比数列的通项公式an a1qn 1a1 qn ( nN * ) ；qa1 (1 qn )a1anq1sn1 q, q 1或 sn1q,q其前 n 项的和公式为.na1 , q1na1, q125. 同角三角函数的基本关系式sin 2cos21 ， tan=sin，cos27. 正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。28. 和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscosmsinsin;tan()tantan.1mtan tana sinb cos =a2b2

7、sin()( 辅助角所在象限由点 ( a,b) 的象限决定 , tanb).a29. 二倍角公式sin 2sincos.cos2cos2sin22cos 21 1 2sin 2.tan 22 tan.1 tan230. 三角函数的周期公式函数 ysin(x) ，x R 及函数 ycos( x) ，x R(A, ,为常数，且 A 0， 0) 的周期 T2；函数 ytan(x) ， x k, kZ (A, ,为常数，且 A0， 0) 的周期 T.231. 正弦定理abc2R .sin A sin Bsin C32. 余弦定理a2b2c22bc cos A; b2c2a22ca cos B ; c2

8、a2b22ab cosC .33. 面积定理（ 1） S11bhb12ahachc （ ha、 hb、 hc 分别表示 a、b、 c 边上的高） .22（ 2） S1 ab sin C1 bc sin A1 ca sin B .22234. 三角形内角和定理在 ABC中，有 ABCC( AB)sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B)35. 实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1) 结合律： ( a)=( ) a;(2) 第一分配律： ( + ) a=a+ a;(3) 第二分配律： ( a+b)= a+ b.36. 向量的数量积的运算律：(1)

9、a b= b a （交换律） ;(2) （a ） b=（ a b）=a b= a（b） ;(3) （ a+b）c= a c + b c.37. 平面向量基本定理如果 e1、 e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、 2，使得a= 1e1+ 2 e2 不共线的向量e1、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底38向量平行的坐标表示设 a= ( x1 , y1) ,b= ( x2 , y2 ) ，且 b0，则 a Pb(b 0)x 1 y2 x2 y1 0 .39. a 与 b 的数量积 ( 或内积 )a b=|a|b|cos40. a b 的

10、几何意义数量积 ab 等于 a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积41. 平面向量的坐标运算(1) 设 a= (x1, y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ，则 a+b= ( x1 x2 , y1 y2 ) .(2) 设 a= (x1, y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ，则 a-b= ( x1 x2 , y1 y2 ) .uuuruuuruuur(3) 设 A( x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) , 则 ABOBOA (x2 x1 , y2 y1 ) .(4)设 a= (x, y),R ，则 a= ( x, y) .(5)设 a=

11、(x1, y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ，则 a b= (x1x2y1 y2 ) .42. 两向量的夹角公式cosx1 x2y1 y2(a= (x1, y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).y12x22x12y2243. 平面两点间的距离公式dA, Buuur= | AB |uuurABuuurAB( x2x1) 2( y2y1) 2(A(x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ).44. 向量的平行与垂直设 a= ( x1, y1 ) ,b= (x2 , y2 ) ，且 b 0，则A|bb= ax1 y2x2 y10 .a b(a0)a b=0x 1 x2y1 y

12、2 0 .45. 三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为A(x 1,y 1) 、 B(x 2 ,y 2 ) 、 C(x 3 ,y 3 ) , 则 ABC的重心的坐标是G( x1x2 x3 , y1y2y3 ) .3346. 三角形四“心”向量形式的充要条件设 O 为 ABC 所在平面上一点，角A, B, C 所对边长分别为a,b,c ，则（ 1） O 为ABC 的外心uuur 2uuur 2uuur 2OAOBOC .（ 2） O 为ABC 的重心uuuruuuruuurrOAOBOC0.（ 3） O 为ABC 的垂心uuuruuuruuuruuuruuur uuurOA OBOB

13、OCOC OA .（ 4） O 为ABC 的内心uuuruuuruuurraOAbOBcOC0 .47. 常用不等式：（ 1） a,bRa2b22ab（ 2） a,bRabab2( 当且仅当a b 时取“ =”号) ( 当且仅当a b 时取“ =”号) （ 3） a3b3c33abc(a0, b 0, c 0).（ 4） abab ab .48. 均值定理已知 x, y 都是正数，则有（ 1）若积 xy 是定值 p ，则当 xy 时和 x y 有最小值 2p ；（ 2）若和 xy是定值 s ，则当 x y 时积 xy 有最大值 1s2 .449. 一元二次不等式ax2bx c 0(或0) (a

14、0,b24ac 0) ，如果 a 与 ax2bx c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与 ax 2bxc 异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间 .x1 x x2(xx1)( x x2 ) 0( x1 x2 ) ；x x1, 或 x x2( x x1)( x x2 ) 0( x1x2 ) .50. 含有绝对值的不等式当 a 0 时，有xax2a2x a .axa2a2a 或 xa .xx51. 指数不等式与对数不等式(1) 当 a 1 时 ,a f ( x)ag ( x)f ( x) g( x) ;f (x)0logaf (x)loga g(x)g(x)0.f (x)

15、g(x)(2) 当 0a1时 ,a f ( x)ag ( x)f ( x) g( x) ;f (x)0loga f (x)loga g(x)g(x)0f (x)g(x)52. 斜率公式ky2y1 （ P1 ( x1, y1 ) 、 P2 (x2 , y2 ) ） .x2x153. 直线的五种方程（ 1）点斜式yy1k( xx1 ) ( 直线 l 过点 P1(x1, y1) ，且斜率为 k ) （ 2）斜截式ykxb (b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ).（ 3）两点式yy1xx1 ( y1 y2 )( P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 )(x1 x2 ).y2y1

16、x2x1(4)截距式xy1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距，a、b0)ab（ 5）一般式AxByC0 ( 其中 A、 B不同时为 0).54. 两条直线的平行和垂直(1)若 l1: yk1 xb1 ，l2 : y k2 xb2 l1 | l 2k1 k2 , b1b2 ; l1 l2k1k21.(2)若 l1: A1 x B1 yC10 , l2 : A2 xB 2 y C2 0 , 且 A1、 A2、 B1、 B2 都不为零 , l1 | l 2A1B1C1；A2B2C2 l1 l2A1 A2B1B20 ；55四种常用直线系方程(1) 定点直线系方程：经过定点P (x , y ) 的直线

17、系方程为yyk (xx ) ( 除直线 xx ), 其000000中 k 是待定的系数 ; 经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为A( xx0 )B( yy0 )0 , 其中 A, B 是待定的系数(2)共点直线系方程： 经过两直线 l1 : A1 x B1 y C10 ,l 2 : A2 x B 2 y C20 的交点的直线系方程为 ( A1x B1 y C1)( A2xB2 yC2 )0 ( 除 l 2 ) ，其中是待定的系数(3)平行直线系方程：直线ykx b 中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线AxBy C 0 平行的直线系方程是AxBy0 (0)

18、 ，是参变量(4)垂直直线系方程： 与直线 Ax ByC0 (A 0，B 0) 垂直的直线系方程是Bx Ay0 ,是参变量56. 点到直线的距离d| Ax0By0C | ( 点 P( x0 , y0 ) , 直线 l ： Ax By C 0 ).A2B257.AxByC0 或0 所表示的平面区域设直线 l : AxBy C0，则 Ax ByC0 或0 所表示的平面区域是：若 B0 ，当 B 与 AxBy C 同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与 AxByC 异号时，表示直线 l 的下方的区域 . 简言之 , 同号在上 , 异号在下 .若 B0 ，当 A 与 AxBy C 同号时，表示直线

19、l 的右方的区域；当A 与 AxByC 异号时，表示直线 l 的左方的区域 .简言之 , 同号在右 , 异号在左 .58.( A1x B1 yC1 )( A2 xB2 yC2 )0 或0 所表示的平面区域设曲线 C : ( A1xB1 yC1)( A2 xB2 yC2 )0 （ A1 A2B1B2 0 ），则( A1xB1 yC1)( A2 xB2 y C 2 )0 或0 所表示的平面区域是：( A1xB1 yC1)( A2 xB2 yC 2 )0( A1xB1 yC1)( A2 xB2 yC 2 )0所表示的平面区域上下两部分；所表示的平面区域上下两部分.59. 圆的四种方程（ 1）圆的标准

20、方程(xa)2( y b)2r 2 .（ 2）圆的一般方程x2y2Dx EyF 0 ( D 2E24F 0).60. 点与圆的位置关系点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( xa)2( yb) 2r 2 的位置关系有三种若 d(ax0 )2(by0 )2，则dr点 P 在圆外; dr点 P 在圆上;dr点 P 在圆内.61. 直线与圆的位置关系直线 AxByC0 与圆 ( x a)2( y b) 2r 2的位置关系有三种 :dr相离0 ;dr相切0 ;dr相交0 .其中 dAaBbC.A2B 262. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O， O，半径分别为 r， r ，O1O2 d1212

21、dr1r2外离4条公切线 ;dr1r2外切3条公切线 ;r1r2dr1r2相交2条公切线 ;dr1r2内切1条公切线 ;0dr1r2内含无公切线 .63. 椭圆的标准方程及简单的几何性质64椭圆的的内外部x2y21(ab0) 的内部x02y021 .（ 1）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆2b2a2b2a（ 2）点 P( x0x2y21(ab0) 的外部x02y021 ., y0 ) 在椭圆2b2a2b2a65. 双曲线的内外部(1) 点 P( x0x2y2x02y02, y0 ) 在双曲线2b2 1(a 0, b 0) 的内部a2b2 1 .a(2) 点 P( x0x2y21(a 0,

22、b 0) 的外部x02y021 ., y0 ) 在双曲线2b2a2b2a66. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1 ）若双曲线方程为x2y21x2y20yb x .a2b2渐近线方程：2b2aabx yx 2y2(2) 若渐近线方程为 yx0 双曲线可设为2baa ba2.(3)若双曲线与 x2y 21有公共渐近线，可设为x2y 2（0 ，焦点在 x 轴上，a 2b2a2b 20，焦点在 y 轴上） .67.抛物线 y 22 px 的焦半径公式抛物线 y22 px( p0)焦半径 CFx0p .2过焦点弦长 CDx1ppx1x2 p .x22268. 抛物线 y22 px 上的动点可设为P(

23、y2, y ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt )或 P (xo, yo ) ，其中 yo22 pxo .2 p69. 抛物线的内外部(1)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线y22 px( p0) 的内部y22 px( p0) .点P( x0 , y0 ) 在抛物线 y22 px( p0)的外部y22 px( p 0).(2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线y22 px( p0) 的内部y22 px( p0) .点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y22 px ( p0) 的外部y22 px( p0) .(3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线x22 py( p0) 的内部

24、x22 py( p0).点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x22py ( p0) 的外部x22py ( p 0) .(4)点 P(x0 , y0 ) 在抛物线 x22 py( p0)的内部x22 py( p0) .点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x22 py ( p0) 的外部x22 py( p0) .70.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB( x1x2 )2( y1 y2 )2 或AB= 1 k2x1x2112 y1y2k（弦端点 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，由方程y kxb消去 y 得到 ax2bx c 0 ，0 , 为F(x, y )0直线 AB 的倾

25、斜角， k 为直线的斜率）.71证明直线与直线的平行的思考途径（ 1）转化为判定共面二直线无交点；（ 2）转化为二直线同与第三条直线平行；（ 3）转化为线面平行；（ 4）转化为线面垂直；（ 5）转化为面面平行 .72证明直线与平面的平行的思考途径（ 1）转化为直线与平面无公共点；（ 2）转化为线线平行；（ 3）转化为面面平行 .73证明平面与平面平行的思考途径（ 1）转化为判定二平面无公共点；（ 2）转化为线面平行；（ 3）转化为线面垂直 .74证明直线与直线的垂直的思考途径（ 1）转化为相交垂直；（ 2）转化为线面垂直；（ 3）转化为线与另一线的射影垂直；（ 4）转化为线与形成射影的斜线垂直

26、.113证明直线与平面垂直的思考途径（ 1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（ 2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（ 3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（ 4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（ 5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.75证明平面与平面的垂直的思考途径（ 1）转化为判断二面角是直二面角；（ 2）转化为线面垂直 .76. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1) 加法交换律： ab=b a(2) 加法结合律： (a b) c=a (b c) (3) 数乘分配律： (a b)= a b77. 共线向量定理对空间任意两个向量a、 b(b 0 ) ， a b存在实数

27、使a= bP、A、B 三点共线uuuruuuruuuruuur uuurAP | ABAPt ABOP(1 t )OA tOB .uuuruuuruuuruuurAB | CDAB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线ABtCD 且 AB、CD 不共线 .78. 球的半径是R，则其体积 V4R3 ,3其表面积 S4R2 79柱体、锥体的体积V柱体1h 是柱体的高） .Sh （ S 是柱体的底面积、3V锥体1h 是锥体的高） .Sh （ S 是锥体的底面积、380. 互斥事件 A， B 分别发生的概率的和81. n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A1 A2 An)=P(A 1) P(A2) P(An) 82. 独立事件 A， B 同时发