高中物理竞赛(静力学)(一)

1、第一讲：力、物体的平衡补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。一、 力学中常见的三种力1. 重力、重心重心的定义：m1 gx1 m2 gx2，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。xm1 g m2 g问题：半径 R=30cm的均匀圆板上挖出一个半径r =15cm 的内切圆板，如图 a所示，求剩下部分的重心。2. 弹力、弹簧的弹力（F= kx , 或 F=- kx ）（ 1 ）两弹簧串联总伸长x， F= ？k1 xk1k2 x由 x1+ x 2= x ,k 1x1= k2x2 ，得 x2,所以 Fk2 x2kx .k1k2k1k2（ 2 ）并联时 F=( k 1 + k2 )x.(

2、3) 把劲度系数为 k的弹簧均分为 10 段，每段劲度系数 k =?(10 k)1.一个重为 G的小环，套在竖直放置的半径为R的光滑大圆上。一个劲度系数为k，自然长度为 L（ L2 R）的轻质弹簧 ,其上端固定在大圆环最高点 ,下端与小环相接,不考虑一切摩擦,小环静止时弹簧与竖直方向的夹角为:.（答案： cos 1kL）2kR2G3. 摩擦力（ 1 ）摩擦力的方向：静摩擦力的方向：跟运动状态与外力有关。滑动摩擦力的方向：跟相对运动方向相反。2. 如图所示 ,在倾角 =300 的粗糙斜面上放一物体,物体的重力为 G,现用与斜面底边平行的水平作用力F(F= G/2) 推物体 ,物体恰好在斜面上作匀

3、速直线运动,则物体与斜面的动摩擦因数为. （答案：6 ）3（ 2 ）摩擦角 :f和N 的合力叫全反力，全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角（f 达到最大）叫摩擦角，摩擦角=tan -1 f/ N =tan -1 。摩擦角与摩擦力无关，对一定的接触面，是一定的。水平地面上有一质量为 m 的物体 ,受斜向上的拉力 F作用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦因数为,则为使拉力 F最小 ,F与水平地面间的夹角多大 ?F的最小值为多少 ?二、物体的平衡1. 三力平衡特点 (1) 任意两个的合力与第三个力是一对平衡力(2) 三力汇交原理：互不平行的三个力处于平衡，这三个力的作用线必交于一点。确定墙壁或天花板对杆

4、的弹力方向？若墙壁与杆间动摩擦因数为，物体只能挂在什么范围？3.如图所示 ,质量为 M 的杆 AB 静止在光滑的半球形容器中,设杆与水平方向的夹角为.则容器面对杆 A 点的作用力 F为多大 ?2. 力矩和力矩平衡:M = FL1(1) 力矩的平衡条件 :对任意点M 0M 0 也常用来受力分析，如三个完全相同的小球叠放在水平地面上处于静止状态,则下面的球受到几个力作用 ?对球心 ,根据力矩平衡可知，下面的球受到二个大小相等的摩擦力,共五个力作用这是确定圆柱体受摩擦力的常用方法。又如板与墙之间夹一球，两边的摩擦力大小相等，若相同，对球心有M0 得板对球的弹力大，可判断沿墙滑动，沿板滚动。4. 将重

5、为 30N 的均匀球放在斜面上 ,球用绳子拉住 ,如图所示 .绳 AC与水平面平行， C点为球的最高点斜面倾角为37 0.求：(1) 绳子的张力 .(2) 斜面对球的摩擦力和弹力 .5.一根质量均匀的米尺AB 用细绳悬挂 ,现用重为米尺重量的5/3 倍的砝码挂在尺上某点,这时两端细绳成如图所示,米尺呈水平状态,则此砝码距 A点的距离应为多少? （答案： 0.1m ）6.两根细线悬挂在同一点,另一端分别系有带电小球A、 B,静止时如图所示,已知绳长 OB =2 OA ,两球的质量关系是M A=2 M B, =45 0,求 .(2) 二力杆：两端受力的杆，力的作用线一定沿杆(根据力矩平衡 ) 。7

6、.如图所示，每侧梯长为L的折梯置于铅垂平面内，已知A、B两处与地面间的动摩擦因数分别为A=0.2 ，B=0.6 ，C点用光滑的铰链连接，不计梯重，求人最多能爬多高。8. 如图所示，一根细长棒上端 A处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等，两棒限以图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在C端加一个适当的外力（在纸面内）可使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90 ，且 C端正好在 A端的正下方。（ 1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？说明道理（不要求推算）。（ 2）如果 AB棒的质量为 m 1 ，BC棒的质量为 m 2，求此外力的大小和方向。

7、3. 物体的平衡条件：F=0 ；M =029.质量为 m 的均匀柔软绳 ,悬挂于同一高度的两固定点A、 B之间 ,已知绳的悬挂点处的切线与水平面夹角为,求绳的悬挂点处及绳的最低点处的张力.10.如图所示 ,质量为 m 的物体放在斜面上,它跟斜面之间的动摩擦因数为.则当斜面倾角大于时 ,无论水平推力F多大 ,物体不可能沿斜面向上运动12. 有一轻质木板AB长为 L,A端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水平轻绳BC拉住 .板上依次放着 1、 2 、 3 三上圆柱体 ,半径均为 r ,重均为 G.木板与墙的夹角为(如图所示 ).一切摩擦均不计,求 BC绳的张力 .13. 一架均匀梯子，一端放置在水平

8、地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙间的静摩擦因数分别为1 、2 。求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。部分参考答案（答案： FMg tan）解： F的作用线通过圆心B点对杆的作用力N 与相垂直角度关系如图所示MgF根据正弦定理0) sinsin( 90得 FMg tan解：若 B端开始滑动， AC为二力杆，地面对 A端的作用力方向与竖直方向夹角为30 ，而 A点对应的摩擦角 A =tan -1 A=tan -1 0.230 。AB杆能衡。所以人必须从 A点沿梯上爬，此时B端受到地面的作用力沿着BC方向。对整体，根据三力共点，人的重力作用线必通过FA和 FB的交点。设人的水平距离

9、为 s，有几何关系（两边高相等）：scotA=( L- s)cot30，得 s=0.26 L,最大高度 H= 3 s=0.45L。答案：（ 1） F的方向与 AC夹角范围 18 .24 -45 间；（ 2 ） F1 g2m1210 m228m1 m24解（ 1 ）设 F的方向与 AC 夹角为，如果当 m 1 质量很小时，AB 对 BC 的作用力沿AB 方向，则F的方向必交于AB 的中点，=45 -tan -112 =18 .24 ；如果当 m 2质量很小时，则 F的方向沿 BC方向， =45。所以 F方向的范围是 =18 .24 -45间。（2）以 A为转轴，对两棒有：(m1m2 )gL si

10、n 45 0F2L sin-2以 B为转轴，对 BC有： m2 gL sin 45 0F L sin( 45 0) -2sin(45- )=sin45cos-cso45sin-3有式得 F的大小： F1 g2m1210 m228m1m2 ；4F的方向与竖直线的夹角= tan 1 m1m2 .3m2m1可见， m 1=0 时， = tan 1118.24； m 2 =0 时， = tan 1 1 45 .3（答案：mgmg cot,）2 sin2无论水平推力 F多大 ,物体不可能沿斜面向上运动，这种情况称为自锁 。如放在水平地面上的物体，跟水平面之间的动摩擦因数为.推力 F与水平面之间的夹角为，

11、则当 大于时，无论水平推力F多大 ,物体不可能运动。有 Fcos=( mg + Fsin)，得 Fmg,推不动： cos- sin=0,cot= .cossin或 Fcos（增加的动力）Fsin（增加的阻力），得 cot.解 :此题的解法很多 ,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同 .解法 1:对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力 ,再对木板分析 ,有力矩平衡求出 BC绳的张力 .比较麻烦 .解法 2:把三个球作为整体 ,可求出板对三个球的弹力 ,再对板有力矩平衡求出BC绳的张力 .但弹力的力臂比较难求 .解法 3:先对三个球分析 ,受墙壁的弹力 N1 =3 Gcot .再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力 N 1 ,BC绳的拉力 T,重力 3 G,A点的作用力 N (N 对A 点的力矩为零 ).对 A点 ,有力矩平衡TACN1 AD3 (r2 sin)Gr式中 ADr / tan2, ACL cos有上述四式可行T3Gr(112 sinLcos) .1cos（答案：tan 1 1212）1解法 1：设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为，则有 f 1=1N 1 , f 2= 2N 2 （同时达到最大，与上题有区别）水平方向：1N 1= N 2 ，竖直方向：2 N 2+ N 1= G，得： G=2N 2 + N 2/1