2019届高考数学一轮复习 第二章 函数 第八节 函数与方程课件 文

1、第八节函数与方程 总纲目录 教材研读 1.函数零点的定义 考点突破 2.函数零点的判定(零点存在性定理) 3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系 考点二判断函数零点的个数 考点一函数零点所在区间的判断 考点三已知函数的零点(方程的根)求参数值(取值 范围) 1.函数零点的定义函数零点的定义 (1)对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴轴有交点函数y= f(x)有零点零点. 教材研读教材研读 2.函数零点的判定函数零点的判定(零点存在性定理零点存在性定理) 一般地,如果函数y=f(x

2、)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并 且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系 0=00)的图象 与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点 零点个数两个两个 一个一个 无无 4.用二分法求函数用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤零点近似值的步骤 第一步,确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度. 第二步,求区间(a,b)的中点x1. 第三步,计算f(x1): (i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; (ii)若f(a)f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0(a,x1); (iii)若f(x1)f(b)0,则令a=x1(此时零点x

3、0(x1,b). 第四步,判断是否达到精确度:若|a-b|0; f(2)=5, f(1)=2,f(2)f(1)0; f(-2)=-, f(-1)=-,f(-2)f(-1)0; f(0)=1, f(-1)=-,f(0)f(-1)0, 易知-1,0符合条件,故选D. 35 9 2 3 2 3 4.函数f(x)=ex+3x的零点个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 B 答案答案 B函数f(x)=ex+3x在R上是增函数, f(-1)=-30,f(-1)f(0)0, 函数f(x)有唯一零点,且在(-1,0)内,故选B. 1 e 5.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2

4、-ax的零点是( ) A.0,2 B.0, C.0,- D.2,- 1 2 1 2 1 2 答案答案 C由题意知2a+b=0,则b=-2a.令g(x)=bx2-ax=0,得x=0或x=-, 所以g(x)的零点为0,-. a b 1 2 1 2 C 6.函数y=-m有两个零点,则m的取值范围是 . | | 1 2 x (0,1) 答案答案(0,1) 解析解析在同一直角坐标系内,画出y1=和y2=m的图象,如图所示,由于 原函数有两个零点,故0m1. | | 1 2 x 典例典例1(1)函数f(x)=+ln的零点所在的区间大致为() A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(1,2)与

5、(2,3) (2)若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别 位于区间() A.(a,b)和(b,c)内 B.(-,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+)内 D.(-,a)和(c,+)内 2 x 1 1x 考点突破考点突破 考点一函数零点所在区间的判断考点一函数零点所在区间的判断 答案答案(1)B(2)A 解析解析(1)f(x)=+ln=-ln(x-1),其在定义域(1,+)上是减函数.当1 x2时,ln(x-1)0,即f(x)0,故函数在(1,2)上没有零点. f(2)=-ln 1=1 0, f(3)=-ln 2=,因为=

6、22.828,所以e,故ln e ln,即1ln 8,所以2ln 8,即f(3)0,根据零点存在性定理可知函数f(x) 在(2,3)上存在零点,故选B. (2)易知f(a)=(a-b)(a-c), f(b)=(b-c)(b-a), f(c)=(c-a)(c-b).又ab0, f(b)0,又函数f(x)是二次函数,且图象开口向上,故两个零点分别 在(a,b)和(b,c)内,故选A. 2 x 1 1x 2 x 2 x 2 2 2 3 23ln2 3 2ln8 3 828 8 1 2 方法技巧方法技巧 判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 (1)解方程,当对应方程易解时,可通过解方程看方程是否有根

7、落在给定 区间上进行判断; (2)利用零点存在性定理进行判断; (3)画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断. 1-1设f(x)=0.8x-1,g(x)=ln x,则函数h(x)=f(x)-g(x)存在的零点一定位于区 间() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(e,3) 答案答案 A h(x)=f(x)-g(x)的零点等价于方程f(x)-g(x)=0的根,即函数y= f(x)与y=g(x)图象的交点的横坐标.两函数的大致图象如图,从图象可知它 们仅有一个交点A,横坐标的范围是(0,1),故选A. A 1-2已知函数f(x)=ln x-的零点为x0,则x

8、0所在的区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2 1 2 x 答案答案 C因为f(x)=ln x-在(0,+)是增函数, f(1)=ln 1-=ln 1- 20, f(2)=ln 2-0, 所以x0(2,3),故选C. 2 1 2 x 1 1 2 0 1 2 1 1 2 C 典例典例2(1)函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内的零点的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 (2)若a满足x+lg x=4,b满足x+10 x=4,函数f(x)=则关于 x的方程f(x)=x的解的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2 ()2,0, 2,0,

9、 xab xx x 考点二判断函数零点的个数考点二判断函数零点的个数 答案答案(1)C(2)C 解析解析(1)由题意可知f(x)的定义域为(0,+).在同一直角坐标系中画出 函数y1=|x-2|(x0),y2=ln x(x0)的图象,如图所示: 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2. (2)由已知,得lg x=4-x,10 x=4-x.在同一直角坐标系中作出y=10 x,y=lg x以及 y=4-x的图象,其中y=10 x,y=lg x的图象关于直线y=x对称,直线y=x与y=4-x 的交点为(2,2),所以a+b=4,所以f(x)=当x0时,由x2+4x+2 =x,得x=-1或x=-

10、2;当x0时,x=2,所以方程f(x)=x的解的个数是3. 2 42,0, 2,0. xxx x 规律总结规律总结 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点; (2)零点存在性定理; (3)利用图象交点的个数. 特别地,若已知f(x)有几个零点,则用数形结合法,转化为两个熟悉的函数 图象有几个交点问题,数形结合求解. 2-1函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 答案答案 B易知函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数方程|log0.5x|= 的根的个数函数y1=|log0.5x|与y2=的图象的交点个数.作出两个函 数的图象如图所示

11、,由图可知两个函数图象有两个交点,故选B. 1 2x 1 2 x 1 2 x B 2-2若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x0,1时, f(x)=x,则 函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是() A.多于4 B.4 C.3 D.2 答案答案 B由题意知, f(x)是周期为2的偶函数. 在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的大致图象,如图. 观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点. B 典例典例3(1)(2017课标全国,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯 一零点,则a=

12、() A.- B. C. D.1 (2)(2017云南昆明质量检测)已知关于x的方程=a|x|有三个不同的实 数解,则实数a的取值范围是() A.(-,0) B.(0,1) C.(1,+) D.(0,+) 1 2 1 3 1 2 1 2x 考点三已知函数的零点考点三已知函数的零点(方程的根方程的根)求参数值求参数值(取值范围取值范围) 答案答案(1)C(2)C 解析解析(1)由函数f(x)有零点得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1) =0有解, 令t=x-1,则t2-1+a(et+e-t)=0,即a=. 令h(t)=,易得h(t)为偶函

13、数, 又由f(x)有唯一零点,得函数h(t)的图象与直线y=a有唯一交点,则此交点 的横坐标为0,所以a=,故选C. (2)方程=a|x|有三个不同的实数解等价于函数y=与y=a|x|的图 象有三个不同的交点.在同一直角坐标系中作出函数y=与y=a|x|的 图象,如图所示,由图易知,a0.当-2x0时,设函数y=a|x|=-ax的图象与函 数f(x)=的图象相切于点(x0,y0),因为f (x)=-,则有 2 1 ee tt t 2 1 ee tt t 10 2 1 2 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 2 1 (2)x 解得a=1,所以实数a的取值范围是(1,+),故选C. 00 0

14、0 2 0 , 1 , 2 1 , (2) yax y x a x 规律总结规律总结 已知函数的零点或方程根的情况求参数问题的常用方法 (1)直接法:直接根据题设条件构造关于参数的不等式,再通过解不等式 确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的 图象,然后数形结合求解. 同类练同类练(1)(2017甘肃兰州模拟)已知奇函数f(x)是R上的单调函数,若函 数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点,则实数的值是() A. B. C.- D.- (2)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(

15、x)-m有3个零点,则实数m 的取值范围是 . 1 4 1 8 7 8 3 8 2 2 log (1),0, 2 ,0, xx xx x 答案答案(1)C(2)(0,1) 解析解析(1)令y=f(2x2+1)+f(-x)=0,则f(2x2+1)=-f(-x)=f(x-),因为f(x)是R上 的单调函数,所以2x2+1=x-只有一个根,即2x2-x+1+=0只有一个根,则= 1-8(1+)=0,解得=-.故选C. (2)函数g(x)=f(x)-m有3个零点,转化为f(x)-m=0的根有3个,进而转化为y= f(x),y=m的图象有3个交点.画出函数y=f(x)的图象,则直线y=m与其有3个 公共

16、点.又抛物线顶点为(-1,1),由图可知实数m的取值范围是(0,1). 7 8 变式练变式练设函数f(x)=log2(2x+1),g(x)=log2(2x-1),若关于x的函数F(x)=g(x)- f(x)-m在1,2上有零点,则m的取值范围是 . 22 13 log,log 35 答案答案 22 13 log,log 35 解析解析令F(x)=0,即g(x)-f(x)-m=0. 所以m=g(x)-f(x)=log2(2x-1)-log2(2x+1) =log2=log2. 因为1x2,所以32x+15. 所以,1-. 所以log2log2log2, 即log2mlog2.所以m的取值范围是.

17、 21 21 x x 2 1 21 x 2 5 2 21 x 2 3 1 3 2 21 x 3 5 1 3 2 1 21 x 3 5 1 3 3 5 22 13 log,log 35 深化练深化练定义在R上的奇函数f(x),当x0时, f(x)=则 关于x的函数F(x)=f(x)-a(0a1)的所有零点之和为() 1 2 log (1),0,1), 1 |3|,1,), xx xx A.1-2a B.2a-1 C.1-2-a D.2-a-1 A 答案答案 A因为当x0时, f(x)= 即x0,1)时, f(x)=lo(x+1)(-1,0; x1,3时, f(x)=x-2-1,1; x(3,+)时, f(x)=4-x(-,1). 画出x0时f(x)的图象, 1 2 log (1),0,1), 1 |3|,1,); xx xx 1