连续性方程和运动方程的公式运用

1、连续性方程和运动方程的公 式运用 连续性方程和运动方程的 公式运用 主要内容主要内容 第二章第二章 动量传递的基本规律：动量传递的基本规律： 连续性方连续性方 程程 运动方程运动方程 奈维奈维-斯托克斯方程（层流）斯托克斯方程（层流） 第三章第三章 奈维奈维-斯托克斯方程应用斯托克斯方程应用 平壁间平壁间 流动流动 园管内流动园管内流动 爬流爬流 势流势流 平面流平面流 第四章第四章 边界层流动边界层流动 第五章第五章 湍流理论（雷诺方程（湍流）湍流理论（雷诺方程（湍流） 动量传递的概念动量传递的概念 连续性方程和运动方程的 公式运用 动量传递的应用 了解流场中速度、压力的分布规律； 解决与流

2、体输送相关的单元操作过程中 的问题； 为热质传递研究奠定基础。 连续性方程和运动方程的 公式运用 数学补充数学补充 连续性方程和运动方程的 公式运用 2场论基础知识场论基础知识 连续性方程和运动方程的 公式运用 （2）场论）场论 连续性方程和运动方程的 公式运用 连续性方程和运动方程的 公式运用 第二章 连续性方程与运动方程 本章重点： 1 掌握研究问题的两种方法并能够应用； 2 偏导数、全导数、随体导数的差别； 3 连续性方程的推导和应用条件； 4 运动方程推导思路和应用条件； 5 熟悉场论中的数学表示方法。 连续性方程和运动方程的 公式运用 研究对象 牛顿流体、单一组分、等温流动牛顿流体、

3、单一组分、等温流动系统 连续性方程和运动方程的 公式运用 第一节 描述流动问题的两种观点 拉格朗日（Lagrange）观点： 在流体运动的空间中选择某一固定质量的流 体微元，观测者随此质点运动（相对坐标 系）。观测其特征变化来研究整个流体运动 规律。 质量固定，位置和体积可变。 如随船观水，气球探测。 连续性方程和运动方程的 公式运用 欧拉观点 ： 流体运动的空间中固定某一位置和体积，分 析这点所通过的流体的特性变化来研究整个 流体的运动规律 位置和体积固定，质量随时间变化。 如岸上观水，地面观测站。 强调:对同一流场，无论采用哪种观点，其 结果都是相同的，只不过采用的观点得当， 分析问题方便

4、、简捷一些。 连续性方程和运动方程的 公式运用 流线与轨线 轨线：流体质点在流场中的运动轨迹流体质点在流场中的运动轨迹， 是拉格朗日法考察流体运动所得的结果。 轨线上某一点的切线代表质点的运动方 向，轨迹给出了轨迹给出了同一质点在不同时刻的 速度方向。（在黑板上画图） 连续性方程和运动方程的 公式运用 连续性方程和运动方程的 公式运用 流线：流线时这样的空间曲线，对于某 一固定时刻，曲线上任一点处的速度方 向和曲线在该点的切线方向重合。流线 是欧拉法考察的结果。 流线是同一时刻由不同流体质点所占据 的空间曲线。它给出该时刻不同质点的 运动方向。 （在黑板上画图） 连续性方程和运动方程的 公式运

5、用 连续性方程和运动方程的 公式运用 注意： 流线的性质：在任一时刻通过流场中任何一 个空间点都有一条流线，所以流场中的流线是 流线簇。在流线簇中，流线越密，代表速度越 大。 流线是不能相交的。因为空间上每一点只能 有一个速度方向，所以不能有两条流线同时通 过一点。即流体不能穿越流线流动。 特例：在速度为零或无限大的空间点上例外， 速度为零的点称为驻点，速度无限大的点称为 奇点。 流线的形状和位置，在稳态流动中不随时间 变化，在非稳态流动中，一般要随时间变化。 对于稳态流动，流场中任何参数均不随时间 变化，故流线方程与轨线方程重合。 连续性方程和运动方程的 公式运用 连续性方程和运动方程的 公

6、式运用 流线方程 连续性方程和运动方程的 公式运用 连续性方程和运动方程的 公式运用 连续性方程和运动方程的 公式运用 连续性方程和运动方程的 公式运用 系统与控制体 控制体：对于某个坐标系来说，固定不变的任 何体积称之为控制体。控制体的边界称为控制 面。控制面总是封闭的。应当指出，占据控制 体的诸流体质点可以随时间而变化。 特点：控制面相对于坐标系是固定的。在 控制面上可以有质量交换（即有流体进入或流 出控制面）、热量交换（能量(热、功、内能等) 输入或输出控制面）；控制面上也可以受到控 制体以外施加在控制体物质上的力而引起动量 交换。控制体内部质量、热量、动量的储存 量可能改变。控制体可以

7、是运动的，也可以 是固定的。 控制体是欧拉法的结果。 连续性方程和运动方程的 公式运用 系统：所取控制体无质量穿越其表面，既没有 流体进出，则此固定质量的控制体称为系统。 特点：系统的边界面的形状、位置可以随时 间而变化，系统的边界随着流体一起运动。 在系统的边界上，可以有热量交换、动量交 换，但是没有质量交换。 系统是拉格朗日观点的结果。 小结：拉格朗日观点 系统 轨线 欧拉观点 控制体 流线 连续性方程和运动方程的 公式运用 不同的导数 偏导数： 某固定点处流体密度随时间的变 化率。 全导数： 流体密度由于位置和时间变化而产 生的变化率（观测者在流体中以任意速度运 动）。 随体导数： 观测

8、者随流体随波逐流运动，即 观测者在流体中与流体流速完全相同的速度运 动。此时： d dz zd dy yd dx xd d d dz u d dy u d dx u zyx ; D D 连续性方程和运动方程的 公式运用 随体导数 d dz zd dy yd dx xd d z u y u x u d d zyx z u y u x u D D zyx z t u y t u x t u t D Dt ct zyx 等也有类似表达式、浓度对温度 连续性方程和运动方程的 公式运用 随体导数 一般情况，算符 可用下式表示： 算符 所表示的函数称为随体导数或实体 导数、拉格朗日导数。 z u y u

9、x u D D zyx D D D D ),(zyxf d d D D d dz zd dy yd dx xd d 连续性方程和运动方程的 公式运用 第二节 连续性（微分质量衡算）方程 前提条件：单组分等温流动系统前提条件：单组分等温流动系统 分析方法：欧拉法分析方法：欧拉法 控制体：控制体： 流体质点流体质点 连续性方程和运动方程的 公式运用 （输出的质量流率）（输入的质量流率） 累积的质量速率0 连续性方程和运动方程的 公式运用 第二节 连续性（微分质量衡算）方程 在x左侧面： 输入微元体积的质量流率 输出微元体积的质量流率 z x y dz dx dy (x,y,z) dy dz ux

10、dy dz dydzux dx dx df ff dydzdx x u u x x 0 ) )( ( dx x u u x x )( 连续性方程和运动方程的 公式运用 微分质量衡算方程 于是得到x方向输出与输入微元体积的质量流率之差： 同理在y方向： Z方向： dydzdx x u u x x ) )( ( dxdydz x u dydzu x x )( dxdzdy y u u y y ) )( ( dxdydz y u dxdzu y y )( dxdydz z u u z z ) )( ( dxdydz z u dxdyu z z )( 连续性方程和运动方程的 公式运用 微分质量衡算方程

11、 （输出的质量流率）（输入的质量流率） 累积的质量流率 质量衡算： 出入累积0 dxdydz z u y u x u z y x ) )( )( )( ( dxdydz )( dxdydz z u y u x u z y x ) )( )( )( ( 0 )( dxdydz z u y u x u z y x )( )( )( 0 )( 连续性方程和运动方程的 公式运用 微分质量衡算方程 写成向量形式： 展开： 连续方程式一般形式 z u y u x u z y x )( )( )( 0 )( 0 )()( )( ) )( )( )( ( z u y u x u z u y u x u zyx

12、 z y x 0)( ) u 连续性方程和运动方程的 公式运用 微分质量衡算方程的进一步分析 zyx u z u y u xD D 0 )()( )( ) )( )( )( ( z u y u x u z u y u x u zyx z y x 与随体导数定义： 得： 0 1)( )( )( D D z u y u x u z y x 0 1)( )( )( D D z u y u x u z y x （2-7b） 连续性方程和运动方程的 公式运用 随体导数的意义 对流导数对流导数： 由于流体质点运动，从一个 点转移到另一个点时发生的变化； 所以上述方程式表明：流体微元体积上的 一个点在d时间

13、内从进入微元体积的空 间位置（x,y,z)移动到微元体积的空间位 置（x+dx,y+dy,z+dz)时，流体密度随间 的变化率. z (x,y,z) x y dz dx dy zyx u z u y u xD D 连续性方程和运动方程的 公式运用 微分质量衡算方程的进一步分析 v=1，对该式求随体导数，得： （2-9） 比较（2-7b)与（2-9）： 体积变形率 速度向量的散度 0 11 D D D Dv v z u y u x u D Dv v z y x 1 连续性方程和运动方程的 公式运用 体积变性率和线性变型率 x1 x2 12 12 xx uu xx 12xx uu 12xx 连续性

14、方程和运动方程的 公式运用 几种特殊情况下连续方程简化 稳态流动，密度不随时间变化，即 简化为： 对于不可压缩流体，于时间与空间无关： 不可压缩流体的连续性方程。 （2-12） 0 z u y u x u z y x )( )( )( 0 )( z u y u x u z y x )( )( )( 0 0 z u y u x u z y x 0u 连续性方程和运动方程的 公式运用 柱坐标和球坐标连续性方程式 z x y (x,y,z)或 （r,） z x y (x,y,z)或 （r,z） 连续性方程和运动方程的 公式运用 柱坐标和球坐标连续性方程式 柱坐标： 球坐标： 0)( )(1)(1 z

15、 r u z u rr ru r 0)( sin 1)sin( sin 1)(1 2 u r u rr ru r r 连续性方程和运动方程的 公式运用 思考题：推导球坐标系的连续性方程。 参见浙大教材 连续性方程和运动方程的 公式运用 第三节 运动方程 衡算基础：动量守恒方程 研究方法：拉格朗日法 连续性方程和运动方程的 公式运用 用应力表示的运动方程 （一）动量守恒定律在流体微元上的表达式 （拉格朗日法） 牛顿第二定律：物体动量随时间的变化率等与牛顿第二定律：物体动量随时间的变化率等与 该物体所受外力的矢量和。该物体所受外力的矢量和。 （2-16） F诸外力的向量合；M流体的质量 U流体的速

16、度向量；时间。 D uD MF )( 惯性力外力（质量）加速度 连续性方程和运动方程的 公式运用 拉格朗日法：拉格朗日法：在流体运动的空间内，选 择某一固定质量的流体微元（M为常为常 数数），观察者追随此流体微元且一起运 动（在相对坐标系下，可以用随体导数在相对坐标系下，可以用随体导数 的概念来描述的概念来描述），并根据此运动流体微 元的变化状况来研究整个流场中流体运 动规律。 固定质量的流体微元： 体积 质量 =常数 所以所以 dxdydzdv dxdydzdv D uD dxdydzFd 连续性方程和运动方程的 公式运用 微分动量衡算方程 对于微元流体 在x、y、z三个方向： 力：质量力或

17、体积力FB，作用在整个微元流体 上； 表面力或机械力，作用在微元流体诸表面 上的外力，计为FS.它又可分为法向力和剪应力。 D uD dxdydzdFFd i D uD dxdydzdFFd z ziz D uD dxdydzdFFd y yiy D uD dxdydzdFFd x xix 连续性方程和运动方程的 公式运用 (二)、作用于微元体上的外力分析作用于微元体上的外力分析 合外力（惯性力）=质量力+表面力 质量力 作用在所有流体质点上的力，重力 离 心力 电场力等。 表面力：作用在控制面上的力,在此即作用在流流 动着的流体微元表面的力动着的流体微元表面的力. 机械力(接触力) 这些力是

18、由该控制体毗邻的流体所产生的,由静 压力和粘性力提供.对于单位面积而言,称为表 面应力.表面应力分为法向应力和切向应力(剪 应力). 表面力=法向应力+切向应力 连续性方程和运动方程的 公式运用 质量力（重力） 在x方向上： dFxB=Xdxdydz X-单位质量流体的质量力在x方向上的分量。 重力Xgcon=Fxg 当X方向为水平方向时， X=Fxg0,90度 当X方向为垂直方向，Xg9.81m/s2 X与重力方向可以相同，也可以不同 g x 连续性方程和运动方程的 公式运用 表面力 y z x xx xy xz xy 第一个下表表示应力分量的 作用面与x轴垂直。第二个下 标y表示应力方向为

19、 y轴方向。 xx 表示法向 应力分量。拉伸 方向（向外）为正，压缩方向 （向内）为负。 微元流体在运动时，由于法 向应力和剪应力的存在，使其 发生形变。 连续性方程和运动方程的 公式运用 表面力 每一表面的机械应力均可分解成三个平行 于x、y、z三个坐标轴的应力分量3个 六个表面， 36=18个 z x y dz dx dy 上）(dy y yx yx 右）(dx x xx xx 后）(dz z zx zx 前）( zx 左）( xx 下）( yx 连续性方程和运动方程的 公式运用 当小微元体体积缩小 为一点时，相对表面 上的法向应力与切线 应力都是相应地大小 相等、方向相反的。 故只需采用

20、9个机械 应力就可以完全表达： 3个法向分量，6个切 线分量。 以后将证明该 矩阵为对称矩 阵 连续性方程和运动方程的 公式运用 6个切向应力分量之间的关系 上述6个剪应力可以使 小微元旋转且彼此不独立。 可以由此关联起来。 这四个剪应力对于旋转 轴线产生力矩： 力矩质量力矩质量旋转半径旋转半径 的平方的平方角加速度角加速度 2 dy y yx yx 2 dx x xy xy 2 dx x xy xy 2 dy y yx yx dy/2 dx/2 o dx/2 dy/2 x y 连续性方程和运动方程的 公式运用 表面力 当小微元体积趋近于0使旋转半径趋近于0 同理： 力矩质量旋转半径角加速度

21、（角加速度）旋转半径） 2 )( ) 2 )( 22 ) 2 )( 22 dxdydz dy dzdx dy y dy y dx dydz dx x dx x yx yx yx yx xy xy xy xy （角加速度）旋转半径） 2 ( yxxy yxxy xzzx zyyz 连续性方程和运动方程的 公式运用 用应力表示的运动方程 dxdydxdydz z dxdzdxdzdy y dydzdydzdx x dF zx zx zx yx yx yx xx xx xxxS ) z x y dz dx dy 上）(dy y yx yx 右）(dx x xx xx 后）(dz z zx zx 前）

22、( zx 左）( xx 下）( yx dxdydz zyx dF zx yx xx xS )( 简化后： X方向表面力 连续性方程和运动方程的 公式运用 X方向总的外力分量dFx 外力分量=质量力分量表面力分量 xSxBx dFdFdF zyx X D Du zx yx xxx zyx gcon D Du zx yx xxx （2-27a） 连续性方程和运动方程的 公式运用 以应力项表示的粘性流体运动微分方程 zyx X D Du zx yx xxx zyx Y D Du zyyyxyy zyx Z D Du zz yz xzz 的偏微分方程法线应力、剪应力有关 单位质量流体质量力、与密度、速

23、度、时间、 0),(zyxZYXuuuf zxyxxxzyx 连续性方程和运动方程的 公式运用 问题与讨论 zyx X D Du zx yx xxx 系方程。另外还需补充若干个关 变量个数，量之间关系，减少独立三个方程，必须找出变 个：未知量 体积力）。，个：已知量，个：自变量 )()(),(,10 (3;,4 xzzxzyyzyxxyzzyyxxzyx uuu ZYXzyx zyx Y D Du zyyyxyy zyx Z D Du zz yz xzz 连续性方程和运动方程的 公式运用 应力与应变速率的关系 寻找关系如何着手？粘性流体在运动时各层之 间会发生相对运动，那么粘性与流体的形变之

24、间必然有一定的联系。 在三维流动中，应力与应变速率之间的关系十 分复杂，法向应力的作用难以判断。 思路：将刚体力学中应力与应变的关系，改进 后用于流体力学。 参考书：参考书： 王绍亭王绍亭 ，陈涛，动量热量与质量传递，天津科，陈涛，动量热量与质量传递，天津科 学技术出版社，学技术出版社，1986年。年。 连续性方程和运动方程的 公式运用 一维流动 剪应力（u联系起来) dy du x 连续性方程和运动方程的 公式运用 连续性方程和运动方程的 公式运用 连续性方程和运动方程的 公式运用 连续性方程和运动方程的 公式运用 三维流动, 显然,由于粘性力的作用,流体微 元会发生变形. 连续性方程和运动

25、方程的 公式运用 对三维流动，如图所示的流体微元，其 体积为。由力的分析可知，它在流动过 程中会发生体积形变，即由原来的长方 形六面微元体变为一个菱形六面微元体。 对于x-y平面而言，起作用的切向应力分 量有4个，其中xy 和yx分别作用在与x- y平面相垂直的4个平面上。相对应边上 的两个应力方向等值反向。经过微分时 间d后，原来的长方形变为菱形(图中虚 线所示)，相邻两条边线的夹角减小。 连续性方程和运动方程的 公式运用 连续性方程和运动方程的 公式运用 连续性方程和运动方程的 公式运用 剪应力 )( x u y u y x yxxy )( z u y u y z zyyz )( x u

26、z u zx xzzx （2-34a) （2-34b) （2-34c) 与速度关联起来 连续性方程和运动方程的 公式运用 法向应力 在三维流动中，判断法向应力的作用更为困难。 其推导过程较长，我们不打算详细介绍。同学 们可参见其他参考书中的推导。在此，我们主 要介绍一些基本的概念。 流体静止时，法向应力在数值上等于流 体的静压力，但方向相反。 xx =yy =zz =p 或 p=1/3(xx +yy +zz) 连续性方程和运动方程的 公式运用 在流动流体中，法向应力由下列两种类型的应 力所提供，其一为静压力，它使流体微元承受 压缩应力，发生体积形变；其二是由流体流动 时的粘性应力的作用产生，其

27、结果是使流体微 元在法线方向上承受拉伸或压缩应力，发生线 性形变。法向应力与压力和粘性应力的关系， 可写为： 表示粘性应力引起的附加法向应力。 连续性方程和运动方程的 公式运用 连续性方程和运动方程的 公式运用 法向应力 )( 3 2 )(2 z u y u x u x u p z y xx xx )( 3 2 )(2 z u y u x u y u p z y x y yy )( 3 2 )(2 z u y u x u z u p z y xz zz （2-35a) （2-35b) （2-35c) 与速度关联起来 连续性方程和运动方程的 公式运用 剪应力和法线应力 )( x u y u y

28、x yxxy )( z u y u y z zyyz )( x u z u zx xzzx （2-34a) （2-34b) （2-34c) )( 3 2 )(2 z u y u x u x u p z y xx xx )( 3 2 )(2 z u y u x u y u p z y x y yy )( 3 2 )(2 z u y u x u z u p z y xz zz （2-35a) （2-35b) （2-35c) 连续性方程和运动方程的 公式运用 粘性流体的运动微分方程 （Navier-Stokes方程） 将（2-34 2-35) 代入上式： zyx X D Du zx yx xxx )

29、()( )( 3 2 )(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 zx u z u yx u y u zx u yx u x u x u x p X D Du z x y x z y x xx 连续性方程和运动方程的 公式运用 粘性流体的运动微分方程 （Navier-Stokes方程） 其它方向略。见2-36 5个未知数，ux，uy，uz，p加上连续性方程和状态方 程f(，p)=0，5个方程，原则上可解。但由于非线性偏 微分方程，目前还无法求其通解。 为此，需根据实际加以简化，去掉一些项，使之可解 )( 3 1 )( 2 2 2 2 2 2 z u y u x u xz u y u

30、 x u x p X D Du z y x x x xx 连续性方程和运动方程的 公式运用 讨论 惯性力 质量力 压力 粘性力 )( 3 1 2 uuPF D uD g 连续性方程和运动方程的 公式运用 方程简化 对于不可压缩流体 见2-37 )( 2 2 2 2 2 2 z u y u x u x p X D Du x x xx )( 2 2 2 2 2 2 z u y u x u x p X u z u u y u u x u u D Du x x x xx z x y x x x 连续性方程和运动方程的 公式运用 柱坐标 2 2 22 2 2 2 21 )( 11 )( z uu r u

31、 r ru rrrr p X x u u r uu r u r u u u r rr rr r x rr r r 分量： 2 2 22 2 2 21 )( 111 z uu r u r ru rrr p r X z u u r uuu r u r u u u r z r r 分量： 222 2 2 21 )( 11 z u r u rr u r rr p X z u u u r u r u u u z zzz z z z zz r z 分量： 连续性方程和运动方程的 公式运用 球坐标 u r u r u r u r u r u rr u r rrr p X r uu u r u u r u r

32、 u u u r r r rr r rrr r r sin 2 cot 222 sin 1 )(sin sin 111 sin )( 22222 2 22 2 2 2 22 分量： u rr uu r u r u rr u r rr p r X r u r uuu r u u r u r u u u r r r 222222 2 22 2 2 2 2 sin cos2 sin 2 sin 2 )(sin sin 1 )( 111 cot sin 分量： 连续性方程和运动方程的 公式运用 球坐标 u r u rr uu r u rr u r rr p r X r uu r uuu r uu r

33、u r u u u r r 222222 2 22 2 2 2 sin cos2 sin 2 sinsin 2 )(sin sin 1 )( 1 sin 11 cot sin 分量： 连续性方程和运动方程的 公式运用 讨论 奈维-斯托克斯方程是用于牛顿流体，层流流动。奈 维-斯托克斯方程是单位体积微元力的平衡式 惯性力 重力 压力 粘性力 在不同的流动系统中，四种力所起的作用不同，视 具体的情况可以简化。 例如，对于理想流体，粘度等于0，粘性力项必然等于0。 一般而言，对粘性流体管内流动，重力的作用较小。 但对于瀑布类的流动，重力的作用是不可低估的。 对于静止流体，速度等于0，可以简化为静力学

34、方程式。 连续性方程和运动方程的 公式运用 奈维-斯托克斯方程原则上是可解方程。 未知数 ux uy uz p 共5个 方程数 奈维-斯托克斯方程 3 连续性方 程1 流体状态方程 1 共5个 例如，对于不可压缩均质流体 =常数 实际上，非线性方程组的解析解求起来 十分困难，只能对简单的定解条件的情 况得到。 大量的复杂的情况可借助于数值求解。 连续性方程和运动方程的 公式运用 定解条件 奈维-斯托克斯方程和定解条件一起才构成完 整的数学模型。 初始条件：传递现象满足的初始状态条件。 =0，ux uy uz p 的值 对于稳态流动，没有初始条件。 边界条件：传递现象在边界上满足的条件。 边界形式多种多样，具体问题要具体分析。 连续性方程和运动方程的 公式运用 0/ lg 常见的有几种： 固体壁面的粘附条件：粘性流体在静止壁面上速度为零。 在运动 壁面上 流体速度与运动壁面的速度相等。 自由表面 通常自由表面指一个流动的液 体暴露于气体