（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第7讲 解三角形应用举例课件

1、第第7讲解三角形应用举例讲解三角形应用举例 考试要求1.运用正弦定理、余弦定理解决简单的三角形度量问题(B级要求)； 2.运用定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(B级要求). 知 识 梳 理 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_叫仰 角，目标视线在水平视线_叫俯角(如图1). 上方 下方 (2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角 为(如图2). (3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西 45等. (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的

2、正切值. 1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，则此三角形是钝角三角形.() 诊 断 自 测 (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关 系.() 解析(2)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案(1)(2)(3) 2.(教材改编)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥 位桩A，B(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线 BC，测得BC50 m，ABC105，BCA45，就可以计算 出A，B两点的距离为_m. 3.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是5 n mile，灯塔A在观察站C的

3、北偏东20， 灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为_ n mile. 4.(2018苏北四市联考)一艘海轮从A处出发以每小时40海里的速度沿南偏东40的方 向直线航行30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是 南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是 _海里. 5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在 西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上， 仰角为30，则此山的高度CD_ m. 考点一测量距离、高度问题 (1)求烟囱AB的高度； (2)如果要在

4、CE间修一条直线，求CE的长. 解(1)设AB的高度为h.在CAB中， 因为ACB45，所以CBh. 在OAB中，因为AOB30，AEB60， 故烟囱AB的高度为15 m. 所以在OCE中， 故CE的长为10 m. 规律方法测量距离、高度问题应注意 (1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念. (2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知 则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. (3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. 【训练1】 (1)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看

5、到一个灯塔B在北偏东 60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离 为_ km. (2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选 A，B两点，从A，B两点分别测得树尖 的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_ m. 解析(1)如图，由题意，BAC30，ACB105， B45，AC60 km， (2)在PAB中，PAB30，APB15，AB60， 考点二测量角度问题 解如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇， 则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD. CBA45，即B在C正东.CBD9030120， 即缉私船沿

6、北偏东60方向能最快追上走私船. 规律方法解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最 重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂” 使用. 【训练2】 甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9海里的B处，并以20海 里每小时的速度沿南偏西15方向行驶，若甲船沿南偏东的方向，并以28海里每 小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求sin 的值(结 果保留根号，无需求近似值). 解设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，那么

7、在ABC中，AC28t，BC 20t，AB9，ABC1801545120， 又ABC120，BAC为锐角， 所以45BAC， 考点三函数思想在解三角形中的应用 角度1距离的最值 【例31】 (2019镇江模拟)如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三 角形，其中直角边BC200 m，斜边AB400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别 在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F. (1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另 一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的 距离； 在BDE中，由余弦定理得：

8、(2)由题意得EF2DE2y，BDECEF， 在直角三角形CEF中，CEEFcosCEF2ycos ， 角度2面积的最值 【例32】 (2019苏州一模)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内布设一条 对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一 根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求A和C互补， 且ABBC. (1)设ABx米，cos Af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围； (2)求四边形ABCD面积的最大值. 解(1)在ABD中，BD2AB2AD22ABADcos A. 在CBD中，BD2CB2CD22CBCDc

9、os C. 因为A和C互补，所以AB2AD22ABADcos ACB2CD22CBCDcos CCB2 CD22CBCDcos A， 即x2(9x)22x(9x)cos Ax2(5x)22x(5x)cos A. 记g(x)(x24)(x214x49)，x(2，5). 由g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)0， 函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减， 因此g(x)的最大值为g(4)129108. 角度3时间的最值 (1)试建立由A经P到C所用时间与的函数解析式； (2)试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由. 解(

10、1)由题意，轮船航行的方向角为. 所以BAP90，AB50， 所以由A经P到C所用时间与的函数解析式为 所以在BC上选择距离B为17.68 km处为登陆点，所用时间最少. 规律方法解三角形应用问题的步骤与注意点： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系； (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型； (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解； (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要 求等； (5)对于三角形应用问题中的最值问题.可建立函数模型，转化为函数的最值问题解决. 【训练3】 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上