计数的基本原理(1)

1、.1 问题 1：从甲地到乙地，旱路有从甲地到乙地，旱路有3 3条，水路有条，水路有2 2条，问条，问 从甲地到乙地共有多少种不同的走法？从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 从图中容易找到答案： 从甲地到乙地共有3+2=5 种不同的走法。 甲乙 找一找找一找 .2 问题问题 2. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可从甲地到乙地，可以乘火车，也可 以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车 有有2 2班班, , 汽车有汽车有3 3班，轮船有班，轮船有4 4班。那么一天班。那么一天 中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多 少种不同的走法少种

2、不同的走法? ? 想一想？想一想？ .3 分析分析: 完成由甲地到乙地这件事有三类办法： 第一类办法乘火车，有2种不同走法， 第二类办法乘汽车，有3种不同走法 第三类办法乘轮船，有4种不同走法。 因此，在一天中，此人由甲地到乙地不同的走法 共有 2+3+4=9 种。 乙 地 甲 地 .4 如果完成一件事，有如果完成一件事，有n类办法。在第类办法。在第1类办法类办法 中有中有m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类办法中有类办法中有m2种不种不 同的方法，同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同的种不同的 方法，那么完成这件事共有方法，那么完成这件事共有 关键词是关键词是“分类分

3、类”，各类办法之间，各类办法之间相互独立相互独立,每种每种 方法都能方法都能单独的完成单独的完成这件事，要计算所有方法种数这件事，要计算所有方法种数,只只 需将各类方法数相加需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称因此分类计数原理又称加法原理加法原理。 N= m1+m2+ + mn 种不同的方法种不同的方法 计数的基本原理计数的基本原理 .5 例例1 书架上层有不同的数学书书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书本，中层有不同的语文书 18本，下层有不同的物理书本，下层有不同的物理书7本。现要从书架上任取一本书，本。现要从书架上任取一本书， 问有多少种不同的取法？问有多少种不同的取法？

4、 解解：根据分类计数原理，不同的取法共有根据分类计数原理，不同的取法共有 N= m1+m2+m3 15+18+7 = 40 （种）。（种）。 分析分析：从书架上任取一本书，有三类取法：从书架上任取一本书，有三类取法： 第一类，从上层取一本数学书，有第一类，从上层取一本数学书，有m1=15种取法种取法 第二类，从中层取一本语文书，有第二类，从中层取一本语文书，有m2=18种取法种取法 第三类，从下层取一本物理书，有第三类，从下层取一本物理书，有m3=7种取法种取法 无论哪一类方法，任务都可完成，符合分类计数原理。无论哪一类方法，任务都可完成，符合分类计数原理。 即有即有40种不同的取法。种不同的

5、取法。 .6 口答题：口答题： 1. 一项工作可以用一项工作可以用2种方法完成，有种方法完成，有5人会用第人会用第 一种方法，另外一种方法，另外4人会用第二种方法，要选出人会用第二种方法，要选出1个个 人来完成这件工作，共有多少种不同的选法？人来完成这件工作，共有多少种不同的选法？ 2. 一个口袋内有一个口袋内有6个不同的黑球，个不同的黑球，4个不同的白球，个不同的白球， 5个不同的红球，从中任取一个球，共有多少种不个不同的红球，从中任取一个球，共有多少种不 同的取法？同的取法？ 试一试试一试 N5+49（种）（种） N6+4+515（种）（种） .7 问题问题3、由由A A村到村到B B村的

6、路有村的路有3 3条，由条，由B B村到村到C C村的路有村的路有2 2 条，问从条，问从A A村经村经 过过B B村到达村到达C C村共有多少种不同的走法？村共有多少种不同的走法？ 从图中可看出从图中可看出 共有共有32=6种种 不同的走法。不同的走法。 问题问题1和问题和问题3的的共同之处共同之处是：它们都研究完成一件事共有多少种不同是：它们都研究完成一件事共有多少种不同 的方法？这两个问题的的方法？这两个问题的不同点不同点是完成工作的方式不同。是完成工作的方式不同。 问题问题1中的每条旱路或水路都可以从甲地直接到达乙地，其中旱路和水中的每条旱路或水路都可以从甲地直接到达乙地，其中旱路和水

7、 路只不过是完成从甲地到乙地这件工作的两类不同的办法。（路只不过是完成从甲地到乙地这件工作的两类不同的办法。（分类分类） 问题问题3中的中的5条路的任意一条路都不能把从条路的任意一条路都不能把从A村经村经B村到村到C村这件工作做村这件工作做 完，它的工作是分两个步骤完成；第一步从完，它的工作是分两个步骤完成；第一步从A村到达村到达B村；第二步从村；第二步从B 村到达村到达C村。（村。（分步分步） AB C 找一找找一找 比一比比一比 a1 a2 a3 b1 b2 .8 如果如果完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有 m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第

8、2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法，, 做第做第n步有步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有 关键词是关键词是“分步分步”，各个步骤，各个步骤相互关联相互关联,任何一步任何一步 都都不能单独完成不能单独完成这件事情这件事情,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了,这件这件 事才算完成事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事 的方法总数的方法总数,又称又称乘法原理乘法原理。 N= m1m2 mn种不同的方法种不同的方法 计数的基本原理计数的基本原理 .9 2.把把3封不同的信投到封不同的信投到2个不同的信箱中，

9、共有多少个不同的信箱中，共有多少 种不同的投法？种不同的投法？ N2 228（种）（种） 1. 某商业大厦有东、西、南某商业大厦有东、西、南3个大门，某人从一个大门，某人从一 个门进从另一个门出，共有多少种不同的走法？个门进从另一个门出，共有多少种不同的走法？ N3 26（种）（种） .10 练一练练一练 1.1.用一个大写的英文字母用一个大写的英文字母或或一个阿拉伯数字一个阿拉伯数字 给教室里的座位编号，总共能够编出多少种给教室里的座位编号，总共能够编出多少种 不同的号码？不同的号码？N=26+10=36（种）（种） 2.2.书架上第书架上第1 1层放有层放有4 4本不同的计算机书本不同的计

10、算机书, ,第第2 2 层放有层放有3 3本不同的文艺书本不同的文艺书, ,第第3 3层放有层放有2 2本不同本不同 的体育杂志的体育杂志. .从书架的第从书架的第1 1、 2 2、 3 3层各取层各取1 1本本 书书, ,有多少种不同取法有多少种不同取法? ? N4 3224（种）（种） .11 3.3.用前用前6 6个大写英文字母和个大写英文字母和1 19 9九个阿拉伯数九个阿拉伯数 字，以字，以A A1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，的方的方 式给教室里的座位编号，总共能编出多少个式给教室里的座位编号，总共能编出多少个 不同的号码？不同的号码？ 练一练练一练 .12 字母

11、字母数字数字得到的号码得到的号码 A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 树形图树形图 .13 用前用前6 6个大写英文字母和个大写英文字母和1 19 9九个阿拉伯数字，九个阿拉伯数字， 以以A A1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2， ， 的方式给教室里的的方式给教室里的 座位编号，总共能编出多少个不同的号码？座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 议一议议一议 分析分析: :由于前由于前6 6个英文字母中的任意一个都能个英文字母中的任意一个都能 与与9 9个数字中的任何一个组成一个号码，而且个数字中的任何一个组成一个号码

12、，而且 它们各个不同，因此共有它们各个不同，因此共有6 69 95454个不同的个不同的 号码。号码。 .14 解解: 从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类, 第一类第一类, m1 = 3 条条 第二类第二类, m2 = 1 条条 第三类第三类, m3 = 22 = 4 条条 所以所以, 根据分类原理根据分类原理, 从从A到到B共有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。 在解题时，可能既要分类又要分步。在解题时，可能既要分类又要分步。 .15 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理 联系联系 区别一区别一 完成一件事情共有

13、完成一件事情共有n类类 办法，关键词是办法，关键词是“分类分类” 完成一件事情完成一件事情,共分共分n个个 步骤，关键词是步骤，关键词是“分步分步” 区别二区别二 每类办法都能单独完成每类办法都能单独完成 这件事情。这件事情。 每一步得到的只是中间结果，每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能单独完成任何一步都不能单独完成 这件事情，缺少任何一步也这件事情，缺少任何一步也 不能完成这件事情，只有每不能完成这件事情，只有每 个步骤都完成了，才能完成个步骤都完成了，才能完成 这件事情。这件事情。 分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于 “完成一件事情完成一件事情”的的“不同方法不同方法”的种数的问题。的种数的问题。 区别三区别三 各类办法是并列的、独立各类办法是并列的、独立 的的 各步之间是相互关联的各步之间是相互关联