2018上海高三数学二模---函数汇编

1、2018上海高三数学二模函数汇编2(2018宝山二模)10.设奇函数f(x)定义为R，且当x 0时，f(x) x m 1 (这里xm为正常数).若f(x) m 2对一切x 0成立，则m的取值范围是答案：2,(2018宝山二模)15.若函数f x x R满足f 1 x、f 1 x均为奇函数，则下列 四个结论正确的是()(A) f x为奇函数(B) f x为偶函数(C) f x 3为奇函数(D) f x 3为偶函数答案：C(2018宝山二模)19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明:用该技术进行淡水

2、养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为g(x)(单位：千克/年)养殖密度为 x,x 0 (单位：尾/立方分米)。当x不超过4时，g(x)的值恒为2 ;当4 x 20 , g(x)是x的一次函数，且当 x达到20时，因养殖空间受限等原因，g(x)的值为0.(1 )当0 x 20时，求函数g(x)的表达式。(2)在(1)的条件下，求函数 f (x) x g(x)的最大值。2,x0,4答案：(1) g x1 5, x N ； (2) 12.5千克/立方分米x ,x 4,208 2(2018虹口二模5) 已知函数f (x)2xx2 1x 0，则f 1f 1( 9)【解析】f 1(x)、X, x

3、 0, f 1( 9)3, f 1f 1( 9) f 1 (3)2log2(x 1), x 071(2018虹口二模11) x是不超过x的最大整数，贝U方程(2X)2 - 2X - 0满足x 144的所有实数解是【解析】当 0x1 , 2x 1(2x)2 2 x 1 ；当 x 0 , 2x 0 , (2x)2 -,2 4 x 1，二满足条件的所有实数解为x 0.5或x 1(2018 虹口二模 21)已知函数 f(x)ax3 x a (a R,x R), g(x) 二(x R).1 x(1)如果x 4是关于x的不等式2f (x)0的解，求实数a的取值范围;(2)判断g(x)在(1,1)的单调性，

4、并说明理由;和(3)证明：函数f (x)存在零点q，使得a q q4q-q3n 2成立的充要条件是34a.3I解析】(1) f(二)02(2)根据单调性定义分析，在,1)上递增;(1,丁上递减，在(3) “函数f (x)存在零点q，使得a q q4 q-3n 2q成立”说明aq q4 q-q3n 2成立，根据无穷等比数列相关性质，q ( 1,1),1 qqV44结合第(2)问，a 茲 在(1,-上递减，在,1)上递增，1 q322q诉V4、二 a ( )min g( )-，反之亦然.1 q23（2018杨浦二模1）函数y Igx 1的零点是答案：x 10（2018杨浦二模17）（本题满分14分

5、，第1小题满分7分，第2小题满分7分）共享单车给市民出行带来了诸多便利， 某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用据市场分析，每辆单车的营运累计利润y（单位：元）与营运天数x x N*满足1 2y x 60x 800.2（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围;（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大?x【解】（1）要使营运累计收入高于800元，人12令x2 60x 800 800 ,2 分2解得40 x 80.5 分所以营运天数的取值范围为40到80天之间7 分（2） 丫x1 800x602x9分2、4006020当且仅当1 800 x时等号成立，解得x

6、4002x 1分所以每辆单车营运 400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天.14分(2018杨浦二模21)(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分8分)记函数f(x)的定义域为D.如果存在实数a、b使得f(a x) f (a x) b对任意满足a x D且a x D的x恒成立，则称f (x)为 函数1(1) 设函数f(x) 1，试判断f(x)是否为 函数，并说明理由；x1(2) 设函数g(x) 2t，其中常数t 0,证明：g(x)是 函数；(3) 若h(x)是定义在R上的 函数，且函数h(x)的图象关于直线x m( m为常数)对称，试判断h(x)是

7、否为周期函数？并证明你的结论【解】1(1)f (x)1 是函数1分x理由如下：f (x)11的定义域为x|x 0，x只需证明存在实数a，b 使得 f (a x) f (a x)b对任意xa恒成立11a x ax由 f(a x) f (ax)b，得 2b，即 b 2a xa x(a x)(ax)所以(b 2)(a2x2)2a对任意xa恒成立即 b 2,a0.从而存在a 0,b2，使f (a x) f (a x) b对任意x a恒成立.所以f(x) 11是函数.x(2)记g(x)的定义域为D，只需证明存在实数a， b使得当a x D且a x D时，g(a x) g(a x)b恒成立，即12ax t

8、12ax tb恒成立.所以 2a x t 2a x tb(2a x t)(2a x t)，化简得，(1 bt)(2a x 2a x)2ab(22t ) 2t.所以 1 bt 0,b(22a t2) 2t 0因为 tlOg 2 | t | ,1即存在实数a，b满足条件，从而g(x) 一是函数2x t10分所以h(mx)h(mx)(1),又因为h(ax)h(ax)b(2),h(x 2m2a)hm(xm2a)由(1 )hm(xm2a)h(2a由(2)b ha(ax) bh(x)(3)函数h(x)的图象关于直线x m ( m为常数)对称,12分所以当m a时，x) ha (a x)(3)所以 h(x

9、4m 4a)h(x 2m 2a) 2m 2ab h(x 2m 2a)(取 t x 2m 2a由(3)得)再利用(3)式，h(x 4m 4a) b b h(x) h(x).所以f(x)为周期函数，其一个周期为4m 4a.15分当 m a 时，即 h(a x) h(a x)，又 h(a x) b h(a x),b所以h(a x)-为常数.2所以函数h(x)为常数函数，bh(x 1) h(x) - , h(x)是一个周期函数. 17分综上，函数h(x)为周期函数。18分(2018黄浦二模3 )若函数f (x)8 ax 2x2是偶函数，则该函数的定义域是.答案：2,2(2018 黄浦二模 6)方程 l

10、og3(3 2x 5) log3(4x 1) 0 的解 x .答案：2(2018黄浦二模12)已知函数f(x) ax2 bx c(0 2a b)对任意x R恒有f(x) 0成立，则代数式L的最小值是 .f(0) f ( 1)答案：3.(2018黄浦二模18)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小 题满分8分.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)已知OA 10米 ,OB x米(0 x 10)，线段BA、线段CD 与弧BC、弧AD的长度之和为30米，圆心角为 弧度.(1) 求 关于x的函数解析式；(2)

11、记铭牌的截面面积为 y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.解(1)根据题意，可算得弧 BCx ( m ),弧 AD 10 (m).又BACD 弧 BC弧CD30 ,曰疋，10 x 10 x1030 ,所以,2x 10P0x 10).(2)依据题意，可知 yS扇 OADS扇 OBC102化简，得5x502254曰当x疋，l(满足条件0x 10)时,ymax22542(m ).(x45225答所以当x米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米.2(2018黄浦二模20)(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小 题满分6分，第3小题满分6分.2x,1已知函数f(x)= x21

12、, 0x 0,x 1.(1)求函数f (x)的反函数f 1(x)；试问：函数f(x)的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；(3)若方程f (x) 2、1 x2 |f(x)2.1X21 2ax40的三个实数根冷、x3满足:X1X2X3，且 X3X22(X2X1)，求实数a的值.解(1)2x,1 x 0,Q f (x)=2x 1, 0x1.当1 x 0时寸，f (x)2x,且0f(x)2.1 , 1 1由 y 2x，得 x y，互换 x与y，可得 f (x)x(0 x 2).2 2当 0 x 1 时，f(x) x2 1,且-1f (x) 0.由 y x

13、21，得 x x 1+y，互换 x与y，可得 f x) . 1+x( 1 x 0).1- x,01)上为“依赖函数”，求实数m、n乘积mn的 取值范围；444(3) 已知函数f(x)=(x -)2 (a1, f(x)=(x- 12)在m , n递增，故 f(m)f(n)=1,即(m - ln 1=1,由 nm1，得(m - 1) n - 1) =1 故 n m 1由 nm1，得 1m2,从而mn2在m (1,2)上单调递减，故 mn (4,m 1(3)因 a4-4一，故f(x) (x a)2在 ,4上单调递增,334从而 f ( ) f (4)342241，即(3a)(4 a) 1，进而(3a

14、)(4 a) 1，解得a 1或a从而，存在x4亍4，使得对任意的t R,有不等式(x1)2t2(st)x即 t2xt x22 2(s 2)x 3 0恒成立，由x 4x(s2)x30，得 4(s 2)x243x 12，由 x ,4，可得 4( s 2)3x123xp12又y 3x4在x 一,4单调递增，故当x 4时，3x129，x3xmax从而4(s 2)1 19，解得s ，故实数s的最大值为-6分7分9分13分4都成立,15分18分44(2018浦东二模4)已知f Tx)是函数f (x)Iog2(x 1)的反函数，贝U f 1(2)答案：3(2018浦东二模11)已知f(X)是定义在R上的偶函

15、数，且f (x)在0,上是增函数,如果对于任意x 1,2, f (ax 1) f(x 3)恒成立，则实数a的取值范围是 .答案1,025(2018浦东二模12)已知函数f(x) x 5x 7 .若对于任意的正整数 n，在区间1,n n上存在m 1个实数a,a1,a2丄，a m使得f (a。) f(aj f2)Lf (am)成立，则m的最大值为.答案：6(2018浦东二模20)(本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第 小 题满分6分，第(3)小题满分6分)已知函数y f (x)定义域为R，对于任意x R恒有f(2x)2f(x)；(1) 若 f(1)3，求 f(16)的值;(2

16、) 若x (1,2时，f(x) x2 2x 2，求函数y f(x),x (1,8的解析式及值域；(3) 若x (1,2时，f(x) x 3，求y f(x)在区间(1,2n, n N*上的最大值2与最小值.解：1) Q f (1)3且 f (2x) 2f (x)f(2)3 ( 2) 1 分2 2f(2 )3 ( 2) 1分f(23)3 ( 2)3 1分44f(16)f(2 )3 ( 2)48 1分2) Q f(2x) 2f (x) f(x)2fx (1,2时，f(x) x2 2x 2(x 1)2 1 ,f(x) (1,2x (2,4时，f(x) 2f2(| 1)2 11 2；(x 2)2 2,f

17、(x) 4, 2)x (4,8时，f(x) 2f21(f 2)21 22 4(x 4)2 4，f(x) (4,8(x 1)2 1,x (121 2得：f(x) 2(x 2)2 2,x (2,4,12(x 4)2 4,x (4,84值域为4, 2)U(1,2U(4,8 1分3) Qf(2x)2f(x)f(x)上x2)当x(1,2时,f(x)3x 2得:2当 x (2,2 时，f(x)2f(f)x 31分当xn 1 _n(2 ,2x时，2n1(1,2,xf(x) 2f(2)2 x(2) f (尹)(2)n1x3“，、n亠 亠n 22* 12(1)x 3 2(2n1,2n,n为奇数时,f(x)x 3

18、 2n 2壬,04(2n1,2n,n为偶数时,f(x)x 3 2n 20,壬4综上:n 1时,f (x)在(1,2上最大值为0,最小值为-2n 2， n为偶数时,f(x)在(1,2n上最大值为2，最小值为48n 3，n为奇数时,f(x)在(1,2打上最大值为，最小值为82n4(2018普陀二模2)若函数f (x)1x 2m 1是奇函数，则实数(2018普陀二模 3)若函数f (x).2x 3的反函数为 g(x)，则函数g(x)的零点为答案：x .3(2018普陀二模20)(本题满分16分)本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分, 第3小题6分.定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x，

19、存在非零常数t，都有f(x t) tf (x)成立(1)若函数f(x) kx 3，求实数k和t的值;(2)当 t 2 时，若 x 0,2 , f(x)x(2 x),求函数f(x)在闭区间2,6上的值域;(3)设函数f (x)的值域为a,a，证明：函数f(x)为周期函数t(kx 3)对x R恒成立,解：(1 )由 f(x t) tf(x)得，k(x t) 3k(t 1)0即(k kt)x (k 3)t 30 对 x R 恒成立，则 (k 3)t30，t 0分即k 0 . 4分t 1(2)当 x 0, 2时，f (x)x(2 x) 1 (x 1)20,1, 当 x 2,0时，即 x 20,2,由

20、f(x 2) 2f (x)得 f(x)1 1f 2)，则f(x)訐，当 x 2,4时，即 x 20,2,由 f(x 2) 2f (x)得 f (x)2f (x 2)，则 f(x) 2,0,当 x 4,6时，即 x 22,4,由 f (x) 2f (x 2)得 f (x) 0,4,综上得函数f (x)在闭区间0,6上的值域为2,4 (3)(证法一)由函数 f(x)的值域为a, a得，f(x t)的取值集合也为a, a,ta a当 t 0 时，f (x t) tf (x) ta,ta，则，即 t 1 2分ta a由 f(x 1) f (x)得 f (x 2) f (x 1) f (x),则函数f(

21、x)是以2为周期的函数. 3分ta a当 t 0 时，f (x t) tf (x) ta, ta，则，即 t 1 5分ta a即f(x 1) f (x)，则函数f(x)是以1为周期的函数故满足条件的函数 f (x)为周期函数(证法二)由函数f (x)的值域为a, a得，必存在x0 R，使得f (xo)a ,当 t1 时，对 t 1，有 f(xo t)tf(xo) taa ,对 t 1，有 f(xo t)tf (xo)ta a，则 t1 不可能;11当 0t 1 时，即-1 , f (xo)一f(Xot),tt由f (x)的值域为a,a得，必存在xo R，使得f (xo t) a ,仿上证法同样

22、得0 t 1也不可能，则必有 t 1，以下同证法一.(2。18徐汇二模3)函数f(x) lg(3x 2x)的定义域为 答案：(。，)(2018徐汇二模11)若函数f(x) 2(X 12竺 的最大值和最小值分别为M、m，则x2 1函数 g(x) M m x sin M m x 1 图像的一个对称中心是答案：1,14(2018徐汇二模19)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知函数f(x) x2 3tx 1，其定义域为0, 3U12, 15,(1)当t 2时，求函数y f(x)的反函数; 如果函数y f(x)在其定义域内有反函数，求实数 t的取值范围.【解】(1) y3. r_

23、8, x 8, 13 x 8, x 73, 1366分3t(2)10若 0,即t 0，贝U y f x在定义域上单调递增，所以具有反函数；-8分220若这15，即t 10，则y2x在定义域上单调递减，所以具有反函数;-10 分30312，即3t2 t 8时，由于区间3关于对称轴3的对称区间是3t 12 3t 3 153t 3,3t ,于是当3t 或3t，即t 2,4或t 6,8时,3122 2函数y f x在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数.综上，t (, 0U2, 4)U(6, 8U10,).14分（2018长宁、嘉定二模10）已知函数f(x) =:+ 1 + ax)的定义域为R，则实数a的取值范围是答案：1,1（2018长宁、嘉定二模15）点P在边长为1的正方形 ABCD的边上运动，M是CD 的中点，则当P沿A- B- C- M运动时，点P经过的路程x