利用导数研究不等式恒成立求参数范围专题理

1、利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题是高考考查的重点利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题是高考考查的重点, ,常以压轴常以压轴 题的形式出现题的形式出现, ,难度较大难度较大. .解决此类问题常利用分离参数法或构造函数法解决此类问题常利用分离参数法或构造函数法 将问题转化为函数最值问题求解将问题转化为函数最值问题求解. . 专题概述专题概述 方法一方法一 分离参数法求参数范围分离参数法求参数范围 反思归纳反思归纳 已知不等式已知不等式f(x,)0(f(x,)0(为实参数为实参数) )对任意的对任意的xDxD恒恒 成立成立, ,求参数求参数的取值范围的取值范围. .利用导数解决此类问题可以运

2、用分离参利用导数解决此类问题可以运用分离参 数法数法, ,其一般步骤如下其一般步骤如下: : 第一步第一步, ,将原不等式将原不等式f(x,)0(xD,f(x,)0(xD,为实参数为实参数) )分离分离, ,使不等式的使不等式的 一边是参数一边是参数, ,另一边不含参数另一边不含参数, , 即化为即化为f f1 1()f()f2 2(x)(x)或或f f1 1()f()f2 2(x)(x)的形式的形式; ; 第二步第二步, ,利用导数求出函数利用导数求出函数f f2 2(x)(xD)(x)(xD)的最大的最大( (小小) )值值; ; 第三步第三步, ,解不等式解不等式f f1 1()f()f

3、2 2(x)(x)max max或 或f f1 1()f()f2 2(x)(x)min min, ,从而求出参数 从而求出参数 的取值范围的取值范围. . 【即时训练即时训练】 (2016 (2016洛阳统考洛阳统考) )已知函数已知函数f(x)=ef(x)=ex x+ax+ax2 2-e-e2 2x.x. (1)(1)若曲线若曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(2,f(2)(2,f(2)处的切线平行于处的切线平行于x x轴轴, ,求函数求函数f(x)f(x)的单调的单调 区间区间; ; 解解: : (1) (1)由由f(x)=ef(x)=ex x+2ax-e+2ax-e2 2得得: : y

4、=f(x)y=f(x)在点在点(2,f(2)(2,f(2)处的切线斜率处的切线斜率k=4a=0,k=4a=0,则则a=0.a=0. 此时此时f(x)=ef(x)=ex x-e-e2 2x,f(x)=ex,f(x)=ex x-e-e2 2. . 由由f(x)=0,f(x)=0,得得x=2.x=2. 当当x(-,2)x(-,2)时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)单调递增单调递增. . 所以函数所以函数f(x)f(x)的单调增区间是的单调增区间是(2,+),(2,+), 单调减区间是单调减区间是(-,2).(-,2). (2)(2)若若x0 x0时时, ,总有总有

5、f(x)-ef(x)-e2 2x,x,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . 方法二方法二 分类讨论法求参数范围分类讨论法求参数范围 (2)(2)讨论函数讨论函数f(x)f(x)的单调性的单调性; ; (3)(3)如果对任意如果对任意x x1 1,x,x2 2(0,+),|f(x(0,+),|f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)|4|x)|4|x1 1-x-x2 2| |恒成立恒成立, ,求实数求实数a a 的取值范围的取值范围. . 反思归纳反思归纳 如果无法分离参数如果无法分离参数, ,可以考虑对参数或自变量进行分可以考虑对参数或自变量进行分 类讨论求解类讨论求解, ,如果是二次

6、不等式恒成立的问题如果是二次不等式恒成立的问题, ,可以考虑二次项系数可以考虑二次项系数 或判别式的方法求解或判别式的方法求解. . (2)(2)若当若当x0 x0时时,f(x)ax,f(x)ax2 2恒成立恒成立, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . 利用转化与化归思想求解存在性不等式成立问题利用转化与化归思想求解存在性不等式成立问题方法三方法三 当当1ae1ae时时, , x1,ax1,a时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)为减函数为减函数; ; xa,exa,e时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)为增函数为增函数. . 所以所以f(x)f(x)min

7、min=f(a)=a-(a+1)ln a-1. =f(a)=a-(a+1)ln a-1. (2)(2)当当a1a1时时, ,若存在若存在x x1 1e,ee,e2 2,使得对任意的使得对任意的x x2 2-2,0,f(x-2,0,f(x1 1)g(x)g(x)(1)f(x)g(x)对一切对一切xIxI恒成立恒成立I I是是f(x)g(x)f(x)g(x)的解集的子集的解集的子集 f(x)-g(x)f(x)-g(x)min min0(xI). 0(xI). (2)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)对对xIxI能成立能成立I I与与f(x)g(x)f(x)g(x)的解集的交集不是空集的解集的交

8、集不是空集 f(x)-g(x)f(x)-g(x)max max0(xI). 0(xI). (3)(3)对对x x1 1,x,x2 2DD使得使得f(xf(x1 1)g(x)g(x2 2) )f(x)f(x)max maxg(x) g(x)min min. . (4)(4)对对x x1 1DD1 1, ,x x2 2DD2 2使得使得f(xf(x1 1)g(x)g(x2 2) )f(x)f(x)min ming(x) g(x)min min,f(x) ,f(x)定义定义 域为域为D D1 1,g(x),g(x)定义域为定义域为D D2 2. . 数学数学 利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题是

9、高考考查的重点利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题是高考考查的重点, ,常以压轴常以压轴 题的形式出现题的形式出现, ,难度较大难度较大. .解决此类问题常利用分离参数法或构造函数法解决此类问题常利用分离参数法或构造函数法 将问题转化为函数最值问题求解将问题转化为函数最值问题求解. . 专题概述专题概述 数学数学 利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题是高考考查的重点利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题是高考考查的重点, ,常以压轴常以压轴 题的形式出现题的形式出现, ,难度较大难度较大. .解决此类问题常利用分离参数法或构造函数法解决此类问题常利用分离参数法或构造函数法 将问题转化为函数最值问题求解将问题转化为函数最值问题求解. . 专题概述专题概述 数学数学 数学数学 利用转化与化归思想求解存在性不等式成立问题利用转化与化归思想求解存在性不等式成立问题方法三方法三 当当1ae1ae时时, , x1,ax1,a时时