等体积法求点到平面距离教学总结_第1页
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文档简介

1、dab d 等体积法求点到平面距离用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段 置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平 面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方 法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式1v = sh 求出点到平面的距离 h 。在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用 3到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。特别是遇到 四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。下面用等体积法求解例 子.例：所示的正方体 abcd -abcd

2、棱长为 a ，求点 a到平面 abd的距离解法(等体积法):如图所示，作 ah垂直于平面 abd于点h ，则 ah长度为所求。对于四面体 aabd，易见底面 abd的高为 ah，底面 abd的高为 aa。对四面体 aabd的体积而言有：va -abd=va-abd1 1即有: aas = ahs3 3dab d，也即: ah =aasdas dab db d由 ab =bd=da=2a ，从而 dabd为正三角形， abd=600，进而可求得sdab d=1 1 3 abadsinab d=( 2 a ) 2 sin 60 0 = a2 2 22321111又易计算得到 rt dabd的面积为

3、 sdabd1= a22所以 ah =aasdas dab dbd1a a 2= = a3 3a 22从上面的解答过程知道，我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与 平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也 就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为 几何体高的意义而存在的。练习：1、如图所示，棱长均为 a 的正三棱柱中，d 为 ab 中点，连结a d，dc，a c. (1) 求 bc 到面 a dc 的距离2、如图所示，在三棱锥 pabc 中，acbc2， acb90，apbp ab，pc ac.求点 c 到平面 apb 的距离3、如图，在长方体abcd -a b c d ，中， ad =aa =1, ab =2 ， e 为 ab 的中点，求1 1 1 1 11 1 1 1d1a1 b1c1点e到面acd1的距离。da e bca4、如图已知三棱锥 o-abc 的侧棱 oa,ob,oc 两两垂直，且 oa=1，ob=oc=2, e 是 oc 的中点，求 c 到面 abe 的距离.oecb5、已知正方体 abcd- a b c d 是棱长为a的正方体，m、n 分别是b c1

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