中南大学机械振动全套课件单自由度振动系统

1、中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 单自由度振动系统单自由度振动系统 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 单自由度系统阻尼振动单自由度系统阻尼振动 单自由度系统强迫振动单自由度系统强迫振动 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 单自由度定义 只有一个自由度的振动系统，称为单自由 度振动系统，简称单自由度系统。 自由度：指完整描述一个振动系统时间特 性所需的最少的独立坐标数，在理论力学 中用广义坐标数。 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 几种单自由度系统的示例 S O J O S O 隔离体受 力分析 kx ( )x t m k 中南大学机械振动全套课件单自由 度振

2、动系统 无阻尼自由振动 自由振动：系统在初始激励下，或外加激 励消失后的一种振动形态。 系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽 象，是一种理想条件，实际的系统都有阻 尼。如果现实世界没有阻止运动能力的话， 整个世界将处于无休止的振动中。 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 O 隔 离 体 受 力 分 析 kx ( )x t m k 以系统的静平衡位置为坐标原点，以水平 向右为轴正向，建立如图所示的坐标系 设在某一瞬时t, 质量沿坐标方向有一位移x， 画出质量此时的隔离体受力图。 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 自由振动是系统在初始激励下或外加激励消失后的一种振动形态。自由 振

3、动时系统不受外界激励的影响，其振动规律完全取决于系统本身的性质。 00 2 )0( ,)0( 0 xxxx xx n 0 0 )0(,)0( 0 xxxx kxmx 通解为：通解为： 自由振自由振 动的运动的运 动微分动微分 方程：方程： n n n x x arctgxxA xAxA 0 0 2 0 2 0 0201 )/( /, mk n / )cos(sincos 21 tAtAtAx nnn 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 三角公式推导 根据三角函数公式 令： 22 12 1212 2222 1212 cossin(cossin) nnnn AA xAtAtAAtt AAA

4、A 1 22 12 cos A AA 2 22 12 sin A AA 22 12 1212 2222 1212 cossin(cossin) nnnn AA xAtAtAAtt AAAA 2222 1212 (coscossinsin)cos() nnn xAAttAAt 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 幅值和相角的确定 由前面推导 2 222 0 120 n x AAAx 0 0 arctan n x x 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 结论1 单自由度无阻尼自由振动为简谐振动 位移可以表示为时间的简谐函数（正弦或 余弦） )cos(sincos 21 tAtAtA

5、x nnn 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 结论2 响应满足叠加原理 系统在初始位移 单独作用下的自由振动， 此时 ， 系统在初始速度 单独作用下的自由振动， 此时 ， 0 x 0 0 x 10 cos n xxt 0 x 0 0 x 0 2 sin n n x xt 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 系统总响应 振动系统总的响应=上述两部分响应之和 叠加性是线性系统的重要特征 0 120 cossin nn n x xxxxtt 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 数字特征 振幅，振动物体离开静平衡位置的最 大位移 圆频率 振动周期，旋转矢量转动一周 （ ），振

6、动物体的位移值也就重复一次， 振动周期：振动重复一次所需要的时间间隔 振动频率，单位时间内完成的振动的 次数 A n T 2 f 1 f T 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 固有特性 可见，上述三个量都由振动系统的参数确定，而 与初始条件无关，是系统的固有特性，因而又称 作：固有圆频率、固有周期和固有频率 系统的初始条件只决定振动的振幅和初相位 n k m 2 2 n m T k 11 22 n k f Tm 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 系统参数对振动特性的影响 振系的质量越大，弹簧越软，则固有频率 越低，周期越长；质量越小，弹簧越硬， 则固有频率越高，周期越短，这

7、个结论对 复杂的振动系统也同样的适用 , , mkfT mkfT 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 分析弹簧悬挂物体的垂直振动 以振子的平衡位置为坐标原点，建立如图 所示的坐标系， 弹簧的自有长度为 ，当物体从平衡位置 离开时，弹簧的伸长为 ，则物体的 隔离体受力如图所示： 0 l s x 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 简图 ss Fx k s mgk O 0 l s x x m k 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 微分方程和求解 可以写出系统的微分方程 由于 所以，上式得化简结果仍然是 ： () s mxmgkx s mgk 0mxkx 中南大学机械振动全

8、套课件单自由 度振动系统 结果 因此，系统的固有频率仍然是： 由 代入上式： 得到： 1 2 k f m s s mg mgkk 1 2 s g f 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 结论 由弹簧的静变形可以计算出系统的固有频 率 在写微分方程的时候，可以以物体的静平 衡位置为坐标原点，而不必考虑物体重力 造成的弹簧静变形 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 能量法原理 在阻尼可以略去不计的条件下，振动系统 自由振动时的机械能（动能+势能）保持常 值。 对上式两端求导，可得 TUconst 0 d TU dt 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 0kxmx 振无阻尼自

9、由动系统为一保守系统，总机械能在运动中保持不变。振无阻尼自由动系统为一保守系统，总机械能在运动中保持不变。 两边乘以两边乘以 dtdxx/ 0 dt dx kx dt dx mx0)( 2 1 22 kxmxd 22 2 1 , 2 1 kxUmxEt 令令 0)(UEd t )sin(tAx nn )(cos 2 1 )(sin 2 1 22 222 tkAU tAmE n nnt )/( 2 1 2 1 2 0 2 0 2 nt xxkkAUE 证明证明1 证明证明2 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 EkAUEt 2 maxmax 2 1 2 max 2 2 1 2 1 xmm

10、AT 定义动能系数定义动能系数 则有则有 / max 2 TUmk n 振动得以维持的原因是系统有储存动能的惯性元件和储存 势能的弹性元件。由于不考虑能量耗散，无阻尼自由振动时机 械能守恒，机械能的大小取决于初始条件和系统参数。振动时 动能、势能不断相互转换，因此势能有一个最小值。使势能取 最小值的位置正是系统的静平衡位置。系统有稳定的平衡位置， 其动能和势能可以相互转化，在外界激励的作用下，才能产生 振动。因而，振动总是在平衡位置附近进行。 利用能量守恒原理是求解微分方程的重要手段利用能量守恒原理是求解微分方程的重要手段 称为Rayleigh商 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 例

11、题：例题： 如图所示系统，绳索一端接一质量，另一端绕过一转动惯量为如图所示系统，绳索一端接一质量，另一端绕过一转动惯量为I的滑轮的滑轮 与弹簧相接，弹簧的另一端固定。设绳索无伸长，绳索与滑轮之间无滑动。此与弹簧相接，弹簧的另一端固定。设绳索无伸长，绳索与滑轮之间无滑动。此 时系统可视为单自由度系统，求系统的固有频率。时系统可视为单自由度系统，求系统的固有频率。 系统的势能为系统的势能为 o x 222 2 1 2 1 )( 2 1 kkxmgxxkU 解： 原点取在静平衡位置，弹簧的相对伸长为x ，滑轮 沿顺时针方向转过一个角度 x/r 系统的动能包括滑轮的转动动能和质量的平动动能系统的动能包

12、括滑轮的转动动能和质量的平动动能 2 2 2 2 )( 2 1 2 1 )( 2 1 xm r I mx r x IEt 0)(UEd t 由由0)/( 2 kxxmrI 2 2 2 mrI kr n 与书上的结果比较：注意势能的计与书上的结果比较：注意势能的计 算，可以不计重力势能算，可以不计重力势能 ，只相差一，只相差一 个常数，不影响计算结果个常数，不影响计算结果 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 自由振动系统性质 对一个振动系统，如在动能最大时，取势 能为零，则在动能为零时，势能取最大值。 mm TU 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 常见物体的动能计算 质点或平动

13、刚体 定轴转动的刚体 平面运动的刚体 2 1 2 Tmv 2 1 2 TJ 22 11 22 cc TmvJ 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 常见物体的势能计算 拉伸弹簧 扭转弹簧 刚体的重力势能 2 0 1 2 x Ukxdxkx 2 0 1 2 x UK dK c Umgz K 为抗扭弹簧系数 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 势能参考点的选取 势能是一个参考值，和其具体值的大小和 参考点选取有关 在使用 时，要注意，势 能基准值的选取，应使振动系统在动能最大 时，势能为零。 0 d TU dt 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 例一 如图的系统，使其 偏转

14、 角后放手，求 系统的微分方程和 固有频率 K J 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 例一解 选取圆盘的扭转角 为广义坐标，箭头方 向为正向，平衡位置为转角零点，建立如 图所示的广义坐标 系统的动能 系统的势能 2 1 2 TJ 2 1 2 UK 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 由系统机械能守恒 得： 由于 是方程的平凡解，两边除 ， 并令： 方程化简为： 22 11 00 22 d JKJK dt 0J J n K J 2 0 n 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 例二 系统如图，杆和弹簧的 质量不计，在静平衡时 水平，求其系统的微分 方程和固有频率 （提示：

15、取静平衡位置 为坐标原点，可不考虑 重力势能，当偏角很小 时，弹簧的伸长，圆球 的位移和速度可以表示 为： ） ,all m a k 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 能量法的优点 从上面的分析可以看出，用机械能守恒求 解比较方便，而且比较规范，对照大家以 前的学过的Lagrange方程，大家可以看出， 实际就是无约束系统Lagrange方程在保守 力场下的形式。 0 d TU dt 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 等值质量 在前面的讨论中，都假定了弹性元件的质 量远远小于振动系统的集中质量，因而可 以简化为一个集中质量。上文所讨论的例 子的弹簧也都是有一个螺旋或扭转弹簧

16、的 例子。下面看几个稍微复杂的例子，并说 明等值质量的意义。 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 例三 如右图，弹簧 在静平衡位置 长度为 ，单 位长度的质量 为 ，求系统 的固有频率。 l 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 基本假设 假设系统的变形是线性的，即当弹簧下段 的位移为 的时候，在距离弹簧上端 的截 面振幅为 ，假定系统的速度分布也满足 线性要求（在端点处显然成立） 设质量块的位移为 ，速度为 ， 0 xu 0 u x l x x 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 弹簧的动能 则在距离上端点距离为 ，长度为 的长 度微元的动能为： 则整个弹簧的动能： u

17、du 2 1 2 s u dEdux l 2 2 0 11 1 22 3 l s u Txdulx l 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 总动能 质量块的动能： 总动能： 2 1 2 m Tmx 222 1 1111 2 3223 sm TTTlxmxml x 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 系统微分方程 系统的势能： 由： 微分方程： 固有频率： 2 1 2 Ukx 0 d TU dt 1 0 3 ml xkx 3 n k l m 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 等值质量 称为本系统弹性元件的等值质量 3 l 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 例四

18、 如图所示，悬臂梁的线密度为 ，端点处 有集中质量 ，求系统的固有频率 静平衡位置 m 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 杆刚度的确定 由材料力学可知，在静载荷 作用下，悬 臂梁的挠度为： P 3 3 3 3 PlEI k EIl 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 假设 截面处的挠度为 ， 假定在自由振动中，各点的位移和速度仍 然按照此比例。 23 3 3 2 lxx l 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 系统的动能 梁的动能： 质量块的动能： 系统总动能： 2 23 2 3 0 131 33 222140 l b lxx Tydxly l 2 1 2 m Tmy

19、 2 133 2 140 bm TTTlm y 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 系统的方程 系统的势能： 根据： 系统微分方程： 固有频率： 22 3 11 3 22 EI Ukyy l 0 d TU dt 3 333 0 140 EI lm yy l 3 3 33 140 n EI lm l 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 结论 可见，悬臂梁的质量对振动系统的固有频 率的影响相当于在自由端加上梁的等值质 量 ，此值稍小于全梁质量的 思考：梁自重造成梁端部的位移，会不会影 响本题的精度。 33 140 l 1 4 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 等值刚度 弹

20、簧的并联 若使刚度为 ， 的两根 弹簧的下端都伸长 ，所 需要的力 所以，并联弹簧的等值刚 度为 1 k 2 k s 1212 Pk sk skks 12 kk 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 推论 个弹簧并联后的等值刚度 ，可用 数学归纳法证明。 n 1 n i i kk 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 弹簧的串联 如图所示，两个弹簧 串联，在端点处作用 力 ，两个弹簧分别 伸长 和 ， 则下端点的位移： P 1 1 P s k 2 2 P s k 12 12 11 sssP kk 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 串联弹簧的等值刚度 1 2 12 12 1

21、 11 Pk k k skk kk n推论，对于 个串联弹簧的等值刚度 1 1 1 n i i k k 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 思考题 判断下面的弹簧的串并联情况 a bc d J J 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 2.3 阻尼自由振动 0 0 )0(,)0( 0 xxxx kxcxmx st Aex 0)( 2 st ekcsmsA (2.22) (2.21) （常系数（常系数-线性）线性） 解的形式解的形式 特征方程 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 0 222 0 2 2 m k s m cs kcsms (2.23) m k m c m c

22、s 2 2, 1 22 (2.24) n mmkc22 0 0 22c c mk c m c n (2.25) (2.26) nn s1 2 2, 1 02 2 xxx nn (2.27) (2.28) 特征方程简化特征方程简化 特征方程的解特征方程的解 参数变换后的特征参数变换后的特征 方程的解方程的解 参数的变换参数的变换 意义：意义： 临界阻尼、阻尼比临界阻尼、阻尼比 参数变换后的参数变换后的 微分方程式微分方程式 中南大学机械振动全套课件单自由 度振动系统 1，即，即(c/2m)2k/m，s是实数，是实数，此时为强阻尼此时为强阻尼(又称为过阻尼又称为过阻尼)情况。特征方程的根情况。特征方程的根 为为 )( 1 2 1 1 22 ttt nnn eAeAex (2.30) ) 1 ( 2 1 2 00 02,1 n n xx xA (2.31)