第四章参数估计

1、第四章参数估计 第四章参数估计 参数估计概述参数估计概述 参数估计(parameter estimation) 用样本统计量去估计总体的参数。 例如用样本均值去估计总体均值。 估计量 用来估计总体参数的统计量的名称 估计值 用来估计总体参数时计算出来的估计量的 具体数值 第四章参数估计 例如：要估计全校学生微积分考试的平 均成绩，从中抽取一个随机样本，全校 的平均分是未知的，称为参数 ，用 表 示，根据样本计算的平均分数 就是一 个估计量，用 表示，假定计算出来 的样本平均分数为80分，这个80分就是 估计量的具体取值，称为估计值。即总 体参数的估计值为80。 x 第四章参数估计 参数估计之

2、点估计 点估计 用样本估计量 的值直接作为总体参数 的估计值。 矩法估计是点估计中常用的方法。 例:设一总体的均值和方差2均未知，从 中抽取一个容量为n的简单随机样本，求和 2 的矩法估计量。 s 2 =s2= x 第四章参数估计 参数估计之区间估计 区间估计-给结论留有余地 n虽然平均而言， 能正确的代表，但每 一次观察到的 不会刚好等于，而是随 着抽到的样本不同有高有低： n因此除了点估计外，我们还想进一步知道 从样本中得到的估计值有多可靠，由于样 本的估计值本身也是一个随机变量，不一 定会刚好等于总体参数，因此我们问：估 计值与总体参数有多接近？ x x 第四章参数估计 区间估计 区间估

3、计 n在点估计的基础上，给出总体参数估计的 一个区间范围，该区间由样本统计量加减 抽样误差而得到 n根据样本统计量的抽样分布能够对样本统 计量与总体参数的接近程度给出一个概率 度量 l比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是 95% 第四章参数估计 区间估计 X s X s X s X 95% 的样本的样本 -1.96 +1.96 99% 的样本的样本 - 2.58 + 2.58 90%的样本的样本 -1.65 +1.65 X s X s X s 第四章参数估计 区间估计 置信水平 n将构造置信区间的步骤重复很多次，置信 区间包含总体参数真值的次数所占的比率 称为置信水平 n表示为 (1

4、 - n 为是总体参数未在区间内的比例 n常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% n相应的相应的 为0.01，0.05，0.10 第四章参数估计 估计量的优劣标准 n对于同一个未知参数,不同的方法得到的估 计量可能不同,于是提出问题 l应该选用哪一种估计量? l用何标准来评价一个估计量的好坏? 常用常用 标准标准 (1) 无偏性 (3) 一致性 (2) 有效性 第四章参数估计 估计量的优劣标准 无偏性(unbiasedness) n估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数 P( ) BA 无偏有偏 第四章参数估计 估计量的优劣标准 有效性(efficiency) n对同一总体参数的

5、两个无偏点估计量 ，有更小标准差的估计量更有 效 A B 的抽样分布 的抽样分布 1 2 P( ) 第四章参数估计 估计量的优劣标准 一致性(consistency) n随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数 A B 较小的样本容量 较大的样本容量 P( ) 第四章参数估计 总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计量 均值 比例 方差 第四章参数估计 单个总体均值的区间估计 正态总体正态总体非正态总体非正态总体 大样本大样本小样本小样本 已知 已知 未知 未知 第四章参数估计 单个总体均值的区间估计 正态总体、 s已知，或非正态总体、大样本 n假定 Assumpti

6、ons l已知总体标准差 l总体服从正态分布 如果不是正态, 可用正态分布 近近似 (n =30) n置信区间 n ZX n ZX s s 2/2/ 第四章参数估计 单个总体均值的区间估计 例解 n从一个正态总体中抽取 n = 25 的随机样本， 样本的均值为 50，标准差为 10 , 求出 总体 均值 95% 的置信区间 92.5308.46 25 10 96.150 25 10 96.150 22 s s n ZX n ZX 第四章参数估计 单个总体均值的区间估计 n一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保 人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间。

7、 3636个投保人年龄的数据个投保人年龄的数据 232335353939272736364444 363642424646434331313333 424253534545545447472424 343428283939363644444040 393949493838343448485050 343439394545484845453232 第四章参数估计 单个总体均值的区间估计 n解：解：已知 n=36, 1- = 90%，z/2 =1.645。 根据样本数据计算得： ， 总体均值在1-置信水平下的置信区间为 63.41,37.37 13.25 .39 36 77.7 645.15 .3

8、9 2 = = = n s zx 5.39=x 77.7=s 投保人平均年龄的置信区间为37.37岁41.63岁 第四章参数估计 单个总体均值的区间估计 正态总体、s未知、小样本 n假定条件 l总体服从正态分布,且方差(s) 未知 l小样本 (n 30) n使用 t 分布统计量 n总体均值 在1-置信水平下的置信区间为 ) 1( =nt ns X t n s tX 2 第四章参数估计 单总体比率的区间估计 n假定条件 l总体服从二项分布 l可以由正态分布来近似 n使用正态分布统计量 n总体比例在1-置信水平下的置信区间为 Z= p p(1P) n N(0,1) )( )- 1 ()1 ( 22

9、 未知时或 n pp zp n zp 第四章参数估计 单总体比率的区间估计（续） n例解 l随机抽取400位大学应届毕业 同学，得到共有32人同学考上 了研究生 l试求读研同学所占百分比的 95%置信区间 第四章参数估计 单总体比率的区间估计（续） 107.p053. 400 )08.1 (08. 96. 108.p 400 )08.1 (08. 96. 108. n ) p 1 ( p Z p p n ) p 1 ( p Z p 2/2/ 第四章参数估计 单总体的方差估计 方差估计 n假设总体服从正态分布 n总体方差 s2 的点估计量为s2,且 n总体方差在1-置信水平下的置信区间为 1 1

10、 2 2 2 n Sn s n1 S 2 2 2 n1 s 2 n1 S 2 1 2 2 n1 第四章参数估计 单总体的方差估计（续） 2 21222 总体方差 1的置信区间 自由度为n-1的2 第四章参数估计 总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计量 均值之差 比例之差 方差比 第四章参数估计 两个总体均值之差的估计 大样本 n假定条件 l两个总体都服从正态分布，s1、 s2已知 l若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130 和n230) l两个样本是独立的随机样本 n用正态分布统计量Z ) 1 , 0( )()( 2 2 2 1 2 1 2121 N nn XX Z ss

11、 = 第四章参数估计 两个总体均值之差的估计（续） ns1、 s2已知时，两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的 置信区间为 ns1、 s2未知时，两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的 置信区间为 2 2 2 1 2 1 221 )( nn zXX ss 2 2 2 1 2 1 221 )( n s n s zXX 第四章参数估计 两个总体均值之差的估计（续） 独立小样本（s12=s22 ） n假定条件 l两个总体都服从正态分布 l两个总体方差未知但相等：s1=s2 l两个独立的小样本(n130和n230) 总体方差的合并估计量 估计量X1-X2的抽样标准差 2 ) 1() 1( 2

12、1 2 22 2 11 2 = nn snsn s p 212 2 1 2 11 nn s n s n s p pp = 第四章参数估计 两个总体均值之差的估计（续） n两个样本均值之差的标准化 n两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为 )2( 11 )()( 21 21 2121 =nnt nn s XX t p 21 2 21221 11 2 nn snntXX p 第四章参数估计 两个总体均值之差的估计（续） 独立小样本（ s12s22 ） n假定条件 l两个总体都服从正态分布 l两个总体方差未知且不相等：s1s2 l两个独立的小样本(n130和n230) 使用统计量 )(

13、 )()( 2 2 2 1 2 1 2121 vt n s n s XX t = 第四章参数估计 两个总体均值之差的估计（续） n两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为 2 2 2 1 2 1 221 )( n S n S vtXX 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 = n nS n nS n S n S v 自由度 第四章参数估计 两个总体均值之差的估计（续） 两个总体均值之差的估计(匹配大样本) n假定条件 l两个匹配的大样本(n1 30和n2 30) n两个总体均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信区间为使用 统计量 n zd

14、d s 2 对应差值的均值对应差值的标准差 第四章参数估计 两个总体均值之差的估计（续） 两个总体均值之差的估计(匹配小样本) n假定条件 l两个匹配的小样本(n1 30和n2 30) l两个总体各观察值的配对差服从正态分布 两个总体均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信区间为 n s ntd d )1( 2 第四章参数估计 两个总体比率之差的估计 比率之差 n假定条件 l两个总体服从二项分布 l可以用正态分布来近似 l两个样本是独立的 两个总体比例之差1- 2在1-置信水平下的置信区间为 2 22 1 11 221 )1 ()1 ( n pp n pp zpp 第四章参数估计 两个总体比

15、率之差的估计（续） 两个总体方差比的区间估计 n比较两个总体的方差比 n用两个样本的方差比来判断 l如果s s12/ / s s2 22 2接近于1,1,说明两个总体方差很接近 l如果s s1 12 2/ / s s2 22 2远离1,1,说明两个总体方差之间存在差异 总体方差比在1-置信水平下的置信区间为 21 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 s s F ss F ss ),( 1 ),( 122 2121 nnF nnF = 第四章参数估计 第四章参数估计 样本容量的确定（续） n影响区间宽度的因素 l总体数据的离散程度，用s 来测度 l样本容量 l置信水平 (1 -

16、)，影响 z 的大小 l 第四章参数估计 样本容量的确定（续） | 三种误差 n实际误差 n抽样标准误差Standard Error n误差范围Margin of Error n Z 2 s 第四章参数估计 样本容量的确定（续） 估计误差 样本统计量总体参数 抽样误差 样 本 量 推 论 方 法 抽 样 方 法 资 料 整 理 时 的 疏 失 非抽样误差 总体特征 抽样形式 第四章参数估计 样本容量的确定（续） 估计均值时 n估计总体均值时样本容量n为 n样本容量n与总体方差s2、边际误差E、可靠性系数Z或t之间的关系 为 l与总体方差成正比 l与边际误差成反比 l与可靠性系数成正比 2 22

17、 2 )( E z n s = n zE s 2 = 第四章参数估计 样本容量的确定（续） n例解： n拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元， 假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽 取多大的样本容量？ 第四章参数估计 样本容量的确定（续） 解解: 已知s =500，E=200, 1-=95%， z/2=1.96 s12 /s22置信度为90%的置信区间为 即应抽取97人作为样本 9704.96 400 2000)96.1 ( )( 2 22 2 22 2 = = E z n s 第四章参数估计 样本容量的确定（续） 估计比率时 n根据比例区间估

18、计公式可得样本容量n为 nE的取值一般小于0.1 n 未知时，可取最大值0.5 其中： 2 2 2 )1 ()( E z n = n zE )1 ( 2 = 第四章参数估计 样本容量的确定（续） n例解： n根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求边际误 差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？ 第四章参数估计 样本容量的确定（续） n解解:已知=90%，=0.05， Z/2=1.96，E=5% n应抽取的样本容量为 n应抽取139个产品作为样本 1393.138 05.0 )9.01(9.0)96.1( )1()( 2 2 2 2 2 = = = E z n 第四章参数估计 样本容量的确定（续） 思考： 估计方差时样本容量的确定 两总体估计时样本容量的确定 不同抽样方式时样本容量的确定 第四章参数估计 样本容量的确定（续） 抽样方法不重复抽样时的调整 n估计均值 n估计比率 22 2 2 x 22 2 ZNE NZ n s