专题十一因式分解的常用方法

1、因式分解得常用方法第一部分：方法介绍多项式得因式分解就是代数式恒等变形得基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，就是我们解决许多数学问题得有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅就是掌握因式分解内容所必需得，而且对于培养学生得解题技能，发展学生得思维能力，都有着十分独特得作用.初中数学教材中 主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法与十字相乘法.本讲及下一讲 在中学数学教材基础上，对因式分解得方法、技巧与应用作进一步得介绍.一、提公因式法、：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法、在整式得乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中

2、常 用得公式，例如：2 2-b =(a+b)(a -b); a 2 2ab+b2=(a b)2;3+b=(a+b)(a 2-ab+b2);13-b3=(a -b)(a 2+ab+b2).2 2 (1) (a+b)(a-b) = a -b a(2) (a b)2 = a 2 2ab+b2(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a 3+b3 a(4) (a -b)(a 2+ab+b2) = a 3-b3 a下面再补充两个常用得公式：2 2 2 2(5) a +b +e +2ab+2be+2ea=(a+b+e);333222(6) a +b +e -3abe=(a+b+e)(a +b +e -ab

3、-be-ea);例、已知a, b, e就是 ABC得三边，且a2 b2 e2 ab be ea,则ABC得形状就是()A、直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解:a2 b2e2ab beea2a2 2b2 2e22ab 2be 2ea(ab)2(b e)2(ea)20 a bbx解法二:第一、四项为一组； 第二、三项为一组。原式=(2ax bx) ( 10ay 5by)=x(2a b) 5y(2a b)三、分组分解法、(一)分组后能直接提公因式bmbn例1、分解因式：am an分析:从“整体”瞧，这个多项式得各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但 从“局部”瞧，这个多项式前

4、两项都含有 a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项 分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间得联系。解:原式=(am an) (bm bn)每组之间还有公因式!= a(m n) b(m n)=(m n )(a b)例2、分解因式:2ax 10ay 5by解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。解:原式= (2ax 10ay) (5by bx)=2a(x 5y) b(x 5y)= (2a b)(x 5y)2、xy X y 1=(X 5y)(2a b)练习：分解因式1、a2 ab ac be(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析:若将第一、三项分为一

5、组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后 就能继续分解，所以只能另外分组。解:原式=(x2y2)(axay)=(xy)(xy)a(xy)=(xy)(xya)例4、分解因式：a22abb2c2解:原式=(a22abb2)c2=(ab)22 c=(ab e)(ab c)练习：分解因式3、x2x9y23y4、2x y22 z2yz综合练习：(1) x3 x2y xy：23y2 axbx2bxaxa b2 2 x2 6xy 9y216a28a12 a6ab12b9b2 4a a4 2a3 a292(6) 4ax 4a2yb2xb2y2 2(7) x 2xy xz yz y(8) a22ab2

6、2b2ab 1(9) y(y 2) (m 1)(m 1)(10)(ac)(ac)b(b 2a)(11) a2(b c) b2(ac)2 zc (ab)2abc(12)c3b3c3 3abc四、十字相乘法、(一)二次项系数为1得二次三项式直接利用公式x2(Pq)xpq(xp)(xq)进行分解。特点：(1)二次项系数就是1；(2) 常数项就是两个数得乘积；(3) 一次项系数就是常数项得两因数得与。思考:十字相乘有什么基本规律？例、已知0V a 0而且就是一个完全平方数。于就是 9 8a为完全平方数，a 1例5、分解因式:x2 5x 65。分析:将6分成两个数相乘，且这两个数得与要等于由于6=2 X

7、 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6),从中可以发现只有 2 X 3得分解适2 K131 X 2+1 X 3=5合,即 2+3=5。1解:x2 5x 6 = x2 (2 3)x 2 3=(x 2)( x 3)用此方法进行分解得关键 ：将常数项分解成两个因数得积，且这两个因数得代数与要等于一次项得系数。例6、分解因式：x2解:原式=x2=(x7x 6(1)( 6)x1)(x 6)(1)( 6)练习5、分解因式(1)练习6、分解因式(1)2x2x14x 24x 22(2) a2y(二)二次项系数不为1得二次三项式条件:(1)a15a2yax215bxai a2ai(2)

8、C(3) b分解结果:axCiC2a2a1 C2 a2C12 bx例7、分解因式:3x2分析：解：3x2 11x练习7、分解因式:(1)5xC=(a1X C1)(a2X 11x 10 1 3 X5 (-6)+(-5)= -11 10 = (x 2)(3x2 7x 610x17x3(三)二次项系数为1得齐次多项式 例&分解因式:a2 8ab 128b2分析:将b瞧成常数，把原多项式瞧成关于 解。1 -11 x1 -6 (-1)+(-6)= -7236 x2 4x 52 x 10x 24bae?azGC2)5)o 3x 7x 2o(4) 6ya得二次三项式1 A8b8b+(-16b)= -8b2

9、2 2解:a 8ab 128b =a 8b( 16b)a=(a 8b)(a16b)练习 &分解因式(1) X2 3xy 2y2(2) m2 6mn (四)二次项系数不为1得齐次多项式例 9、2x 7xy 6y1-2y2(-3y)+(-4y)= -7y解:原式=(x 2y)(2x3y)练习9、分解因式:(1)15x2 综合练习10、(1)8x6 7x32(X y) 3(x y) 10(5) x y 5x y 6x7xy18b8n211y 10,利用十字相乘法进行分(16b)2 2 a ab 6b2 210、x y 3xy 2把xy瞧作一个整体1-11 -2(-1)+(-2)= -3解:原式= (

10、xy 1)(xy2)2 2(2) a x 6ax 822(2)12x 11xy 15y2(4) (a b) 4a 4b 322 m 4mn 4n 3m 6n 24y22 2(7) X 4xy 4y 2x 4y2 2(9)4x 4xy 6x 3y y 思考：分解因式：abex2 (a2b2 五、换元法。例13、分解因式(1)2005x2(X 1)(x3(8)5(a b)223(a2 b2)10(a b)22 2 210(10)12(x y) 11(x y )2(x2c )x abcy)2(200521)x 20052)(x3)( X 6) X2解:设 2005= a ,则原式=ax2 (a21)

11、x a=(ax 1)(x a)= (2005x 1)(x2005)型如abed e得多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式= (x27x6)(x2-5x 6) X2设 X2 5x6A,则X2 7x 6 A2x原式=(A2x)Ax2 =A2 Ax X=(AX)2：= (x226x 6)练习13、分解因式(1)(x2xyy2)2 4xy(x2y2)(2!)(x23x22)(4x 8x 3)90(3：)(a21)2(a25)24(a23)2例14、分解因式(1)2x4观察：此多项式得特点一一 数成“轴对称”方法:提中间项得字母与它得次数X3 6x2 X 2就是关于X得降幕排列，每一项得次

12、数依次少。这种多项式属于“等距离多项式”。1,并且系解:原式= x2(2x2t,则原式=X2)=X22t 5 tC2=X 2x X=(x 1)2(2x X4 4x3 X2 4x 1，保留系数，然后再用换元法。1 1、 2 2 )=x 2( XX1X6 = X=X21)(Xt222 2t222x2)10=2x2解:原式= x2(x2 4x 11 2 设X 一 y ,则XX2 2原式=x (y 4y4X丄2X2)= xXy2 23) = x (y 1)(y5x(X1-)6X2 -X 2x=x2(x -1)(xx练习 14、 6x4 7x336x2432(2)x 2x x 1六、添项、拆项、配方法。

13、例15、分解因式(1)x3 3x2 解法1原式=x3=(x=(x=(x=(x9x9 x-拆项。1 3x21)( x21)(x221)(x 4x21)(x 2)6 x3 39解:原式=(x= (x3 = (x3=(x练习15、分解因式9x 87x21y4 (x :3(1)xX4x4x7x2(x1)14)1)2 . 2 -.xx 1 x3x 13(x3x1)(x3)(1)(x1)(x61)(x2y)46x2)1)解法2 -原式=x3=(x=(x-添项。3x2 4x 4x 42=x(x3x4)(4x4)=x(x1)(x4)4(x1)21)(x 4x 4)21)(x 2)1)3 x3 x(x31)11

14、)(x33xx 1)(x612x31)(x31)3)31) (x 1)(X 1)4X - 2a2b(x22ax2a21)21c2(x 1)42a222b ca4 b4c4x xy2为(x3ym)(x2yn)解:设x2xy 6y2x13y 6 = (x3ym)(x2yn)/ (x3ym)(x2yn) = x2xy6y2(m ri)x(3n 2m) y mn. 2 xxy6y2x 1；3y 6 =2 xxy 6y2 (mn)x (3n 2m)y mnmn 1mo对比左右两边相冋项,得系数可得3n2m13,解得2n3mn6原式=(x3y2)( x2y 3)3y)(x2y)，则原多项式必定可分6能分解

15、因式，并分解此多项式。mx5y1与x 2,求 a b得值。y),故此多项式分解得形式必为七、待定系数法。 例16、分解因式 分析:原式得前3项x6y2 x 13y6xy 6y可以分为(x例17、(1)当 m为何值时，多项式x2 y232如果x ax bx 8有两个因式为x(1)分析：前两项可以分解为(x y)(x(x y a)(x y b)解:设 x2 y2 mx 5y 6= (x y a)(x y b)32 2 2 2贝U xy mx 5 y 6 = x ya b m比较对应得系数可得：b a 5，解得：ab 61时，原多项式可以分解；1 时，原式=(x y 2)(x1 时，原式=(x y

16、2)(xax2 bx 8就是一个三次式(a b)x23或(ba)y ab2当当当3)；3)m分析:x3个因式必为形如 x c得一次二项式。解:设 x3 ax2 bx 8 = (x 1)(x2)( x c)323贝y x ax bx 8= xyy，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三(3 c)x2(2 3c)x 2c7解得2c 814,4- a b =21练习17、(1)分解因式x2 3xy2分解因式x 3xy2(3) 已知：x 2xy 3y10y22y 5x29y7y6x 14y6p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。2(4) k为何值时，x 2xy积，并分解此多项式。第二部分：

17、习题大全 经典一-:I , /、.一、填空题ky2 3x5y 2能分解成两个一次因式得乘1、把一个多项式化成几个整式得.得形式，叫做把这个多项式分解因式。2分解因式：m 3-4m=3、分解因式2負 2-4y = _4、分解因式x2 4x 4 =n_225、将x -y n分解因式得结果为(X +y )(x+y)(x-y),则n得值为6、若 x y 5,xy 6,则2 2x y xy =2x22y2=二、选择题7、多项式 15m3 n2 5m2n20m2n3得公因式就是1A、5mn B 、5m2n2 c、5m2n D、5mn28、下列各式从左到右得变形中,就是因式分解得就是C、a2 4a 5 a

18、a 42m 2m10、下列多项式能分解因式得就是(A)x 2-y (B)x2+1(C)x2+y+y211. 把(x y) (y x)分解因式为()(D)x 2-4x+4A.(x y)(x y 1)B.(y x)(xC.(y x)(y x 1)D.(y x)(y12. 下列各个分解因式中正确得就是(2 2 2A. 10ab c + 6ac + 2ac = 2ac(5b + 3c)B. (a b)2 (b a)2= (a b) 2(a b + 1)C. x(b + c a) y(a b c) a + b c= (b + c a)(x + y 1)2D. (a 2b)(3a + b) 5(2b a)

19、 = (a 2b)(11b 2a)13、若k-12xy+9x 2就是一个完全平方式D-y -1)-X + 1)A、2 B 、4 C三、把下列各式分解因式、2y2,那么k应为()、4y214、nxny15、4m2 9n216、17a322a bab218、X216x219、9(mn)2216(m n).五、解答题A、a2 b2m第*120、如图,在一块边长a =6、67cm得正方形纸片中，挖去一个边长b=3、33cm得正 方形。求纸片剩余部分得面积。21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它得规格就是内径 d径D 75cm，长I 3m。利用分解因式计算浇制一节这样得管道需要多少立方米得混凝

20、土？( 取3、14,结果保留2位有效数字k22、观察下列等式得规律,并根据这种规律写出第=通常采用一“提” 、二“公” 、三“分”、四“变”得步骤。即首先瞧有无公因式可提 , 其次瞧能否直接利用乘法公式 ; 如前两个步骤都不能实施 , 可用分组 分解法 , 分组得目得就是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解D(1) x* 2(2) x4x1x1x2 1 xx1(3) x842x 1 x16(4) xx8 1 x4x2 1 x 1 x 1(5) 经典二 :二L/、* 因式分解小结知识总结归纳因式分解就是把一个多项式分解成几个整式乘积得形式, 它与整式乘法互为逆运算 ,在初中代数中占有重要

21、得地位与作用 , 在其它学科中也有广泛应用 ,学习本章知识时 , 应注意以下几点。1、因式分解得对象就是多项式2、因式分解得结果一定就是整式乘积得形式3、4、5、结果如有相同因式 , 应写成幂得形式 ;6、题目中没有指定数得范围般指在有理数范围内分解7、因式分解得一般步骤就是分解因式 , 必须进行到每一个因式都不能再分解为止公式中得字母可以表示单项式 , 也可以表示多项式 ;(1)x5 x4 x、 在证明题中得应用例:求证 :多项式 (x2 4)(x2 10x 21) 100得值一定就是非负数分析:现阶段我们学习了两个非负数 , 它们就是完全平方数、绝对值。本题要 证明这个多项式就是非负数 ,

22、 需要变形成完全平方数。和 x2 x 1分别瞧成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解 ; 也可把 x5 x4， x32x,x1分别瞧成一组 , 此时得六项式变成三(x2解一 :原式 (x5 x4 x3)项式 , 提取公因式后再进行分解。x3(x2x1)(x2x1)(x31)(x2x1)(x1)(x2x1)(x2x1)5x4)(3 xx2)(x1)x4(x 1)x2(x 1)(x1)(x1)(x4x1)(x41)(x42x2 1)2 x(x1)(x2x1)(x2x1)1)x解二:原式 =(x2 、 通过变形达到分解得目得例 1、 分解因式 x3 3x2 4解一 : 将 3x2

23、拆成 2x2原式 x3 2x2x2 ,则有(x24)x2 (x 2)(x 2)(x2(x2)(x 2)2)(x 1)(x2)2解二 :将常数 4 拆成1 3, 则有原式 x3(x(x(x1 (3x21)(x2 x1)(x2 4x 4)1)(x2) 23)1) (x 1)(3x3)证明：(x4)(x210x21)100(x2)(x2)(x3)(x7)100(x2)(x7)(x2)(x3)100(x25x214)(x25x6)100设yx25x , 则原式(y14)(y6)1002 y8y016 (y 4)2无论y取何值都有(y 4)2(x24)(x 210x21) 100的值一定是非负数4 、

24、因式分解中得转化思想例： 分解因式 ： (a 2b c)a216b 2 c2 6ab 10bc 0 (a b)3 (b c)3分析：本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+b,b+c与a+2b+c得关系, 努力寻找一种代换得方法。解: 设 a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B原式 (A B)3 A 3 B3A 3 3A 2B 3AB 2 B3 A 3 B3223A 2B 3AB 23AB (A B)3(a b)(b c)(a 2b c)说明:在分解因式时 , 灵活运用公式 ,对原式进行“代换”就是很重要得。中考点拨例 1、在ABC 中, 三边 a,b,c 满足 a2 16b2 c2

25、 6ab 10bc 0求证 : ac 2b证明:a2 6ab 9 b2c2 10bc25b20即(a 3b)2(c5b)20(a 8b c)(a2bc)0a b ca 8b c，即a8bc 0于是有a 2bc0即 a c 2b说明:此题就是代数、几何得综合题，难度不大例2、 已知：X12,则3 X1X3 X解: X3 丄X3(X-)(x2X1丄)X(X1-)(x X丄)X2 21212说明:利用X21X-(X丄)2X2等式化繁为易题型展示1、若X为任意整数,求证:(7x)(3x)(4X2)解：(7x)(3:x)(4X2)100(X 7)(X2)(x3)(x2)100(X25x14)(x2-5x

26、6)100(X25x)8(x25x)16(X25x4)20,学生应掌握这类题不能丢分。O得值不大于100。(7x)(3x)(4 X2)100说明：代数证明问题在初二就是较为困难得问题。一个多项式得值不大于 100,即要求它们得差小于零,把它们得差用因式分解等方法恒等变形成完全平方就是一种常用得方法。2、将 a2 (a 1)2(a2a)2分解因式，并用分解结果计算6272 ，匕2422。解：a2 (a 1)2但2 a)2a2a2 2a 1 (a2 a)22(a2 a) 1 (a2 a)2(a2a 1)26272422(3661)24321849说明：利用因式分解简化有理数得计算。实战模拟1、分解

27、因式:(1)3x54 C 3 C 210x 8x 3x10x82、3、（2）（4）已知:(a2x23a 3)(a222xy 3y7x 6x y 6, xy3a 1)3x 5y1,求：x3 y3得值。矩形得周长就是28cm,两边x,y使x3 x2y xy2 y30,求矩形得面积。求证：n3 5n就是6得倍数。（其中n为整数）1 1a b)3,求 a+b+c 得值。c 就是非零实数a2b2c21,a(1丄)b(1丄)c(一一)b c c a已知:a、b、c为三角形得三边，比较a2 b2 c2和4a2b2得大小。经典三：因式分解练习题精选 一、填空:（30分）1、若x22（m3）x16就是完全平方式

28、，则m得值等于2 22、 x x m (x n)贝U m =n = 3、2x3y2与12x6y得公因式就是,t. m n,2、，2、，24、.,n=4、右 x y =(x y )(x y )(x y )，则 m=2355、在多项式3y ?5y15y中，可以用平方差公式分解因式得, 其结果就是6、2若 x 2(m 3)x16 就是完全平方式 ,则 m=7、)x(x 2)(x8、2已知 1 x x2200420052006x x 0, 则 x9、2若 16(a b)225 就是完全平方式 M=10、2x 6x22(x 3) , x9 (x 3)2211、若 9x22y 2就是完全平方式 ,则 k=

29、12、若 x24x4得值为0,则3x212x5得值就是213、若 xax15 (X 1)(x 15)则a =14、若 x22y 4,x 2y26 则 xy15、方程 x22 4x 0,得解就是二、选择题:(10 分)1、多项式A 、 a、B、a(a x)(x b) C、 a(a x)D、 a(x a)a(a x)(x b) ab(a x)(b x)得公因式就是()2、若 mx22kx 9(2x3)2,则 m,k 得值分别就是 ()A、m=2,k=6,B、m=2,k=12,C、m=4,k=12、D m=4,k=12 、23、下列名式：X22244,(x) ( y) ,x y中能用平方差式分解因式

30、得有（A、1 个,B、2 个,C、3个,D、4个4、计算(1A）得值就是（）10丄,C丄,D.20 10 20三、分解因式:（30分）x4 2x335x23x6 3x24、25( x2y)24(2yx)24xy1 4y26、x37、2 axbx2bx ax b8、x418x2819x436y210、(x 1)(x 2)(x 3)(x4)24四、代数式求值（15分）1、已知 2x y 1,xy 2,求 2x4y33x3y4得值。2、若X、y互为相反数，且（X 2）2 （y1）24,求X、y得值3、b2）得值2 2 2 2已知 a b 2,求(a b )8(a五、计算：（15）(1)0、75 3.

31、663 2.664200120002562256 222 44六、试说明：（8分） 1、对于任意自然数 n,（n 7）2 （n 5）2都能被动24整除。2、两个连续奇数得积加上其中较大得数，所得得数就就是夹在这两个连续奇数之间得偶数与较大奇数得积。七、利用分解因式计算（8分） 1、一种光盘得外 D=11、9厘米,内径得d=3、7厘米，求光盘得面积。（结果保留两 位有效数字） 2、正方形1得周长比正方形2得周长长96厘米,其面积相差960平方厘米求这两 个正方形得边长。八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述 甲:这就是一个三次四项式 乙:三次项系数为1,常数项为

32、1。丙:这个多项式前三项有公因式 丁:这个多项式分解因式时要用到公式法,并将它分解若这四个同学描述都正确请您构造一个同时满足这个描述得多项式 因式。（4分）经典四：因式分解一、选择题1、代数式 a3b2 -a2b3,2A、a3b2B、a2b2-a3b4 + a4b3,a4b2 a2b4得公因式就是()2C、a2b3D、a3b32、 用提提公因式法分解因式5a(x y) 10b (x y),提出得公因式应当为()A、5a 10b B、5a+ 10bC、5(x y) D、y x3、把一8m + 12m + 4m分解因式，结果就是()2A、一 4m(2m 3n)2C、一 4m(2m 3m 1)4、把

33、多项式2x4 4x2分解因式，其结果就是(A、2( x4 2x2)B、 2(x4+ 2x2)+ 2)(2) 1998 + ( 2) 1999 等于()一 21998B 219985、A、6、A、C、7、A、B、一 4m(2m2 + 3 m- 1)2D、一 2m(4m 6nr+ 2)C x2(2x2 + 4) D、 2x2(x2C、1999一 2)、(4 + x2)( 4 X2)3、(2 + X) (2 X)D 21999把16 X分解因式,其结果就是(2 X)4B2(4 + x)(2 + x)(2 X)D把a4 2a2b2+ b4分解因式,结果就是()a2(a2 2b2) + b4 B、(a2 b2)2 C 、(a b)4b)2把多项式2x2 2x+ 1分解因式,其结果就是()(2x丄)2B、2(x 丄)