风险估测的操作过程

1、第5章 风险评估（二）：风险估测 5.15.1 风险估测概述风险估测概述 5.25.2 损失资料的收集与整理损失资料的收集与整理 5.35.3 损失分布损失分布 5.45.4 损失概率与损失幅度的估测损失概率与损失幅度的估测 5.55.5 回归分析在风险估测中的应用回归分析在风险估测中的应用 5.65.6 风险估测与大数法则风险估测与大数法则 5.1.1 5.1.1 风险估测的概念风险估测的概念 风险估测是在对过去损失资料分析的基础风险估测是在对过去损失资料分析的基础 上，运用概率和数理统计的方法对某一个上，运用概率和数理统计的方法对某一个 （或某几个）特定风险的事故发生概率（或某几个）特定风

2、险的事故发生概率 （或频数）和风险事故发生后可能造成损（或频数）和风险事故发生后可能造成损 失的严重程度作一定量分析失的严重程度作一定量分析 5.1 风险估测概述 5.1.2 5.1.2 风险估测的内容风险估测的内容 一、损失概率一、损失概率 1 1、损失概率的定义：、损失概率的定义： A.A.损失概率的空间性说法损失概率的空间性说法 设有设有n n个独立的相似风险单位，在一定时期内（如个独立的相似风险单位，在一定时期内（如1 1 年）有年）有mm个单位遭受损失，则损失频率为个单位遭受损失，则损失频率为 P = m / nP = m / n B.B.损失概率的时间性说法损失概率的时间性说法 设

3、某风险单位，在设某风险单位，在n n个单位时间内（如个单位时间内（如n n年）有年）有mm次次 遭受损失，则损失频率为遭受损失，则损失频率为 P = m / nP = m / n 5.1 风险估测概述 2 2、损失概率估测的内容、损失概率估测的内容 A.A.风险单位遭受单一风险事故所致单一损失形态的风险单位遭受单一风险事故所致单一损失形态的 损失概率损失概率 B.B.一个风险单位同时遭受多种风险事故所致单一损一个风险单位同时遭受多种风险事故所致单一损 失形态的损失概率失形态的损失概率 C.C.一个风险单位，不同时遭受多种风险事故所致单一个风险单位，不同时遭受多种风险事故所致单 一损失形态的损失

4、概率一损失形态的损失概率 D.D.一个风险单位，遭受单一风险事故所致多种损失一个风险单位，遭受单一风险事故所致多种损失 形态的损失概率形态的损失概率 E.E.多个风险单位，遭受单一风险事故所致单一损失多个风险单位，遭受单一风险事故所致单一损失 形态的损失概率形态的损失概率 【举例】 假设某单位有四栋仓库，互相独立，每栋仓库遭 受火灾的概率均为1/20，遭受水灾的概率均为 1/10，遭受地震的概率均为1/50。计算： （1）某栋仓库同时遭受火灾和地震的概率。 （2）某栋仓库一年内遭受火灾或水灾损失的概率。 （3）至少有一栋仓库发生火灾的概率。 二、损失幅度 1、损失幅度的定义 损失幅度是衡量损失

5、严重程度的一个量，指在一 定时期内某一次事故发生时，可能造成的最大损 失数值。 2、损失幅度估测需考虑的几个问题 A.同一风险事故所致的各种损失形态 不仅要考虑潜在的直接损失，还要考虑潜在的间 接损失 不仅要考虑潜在的财产损失，还要考虑潜在的责 任损失和潜在的人身伤亡损失 B.一个风险事故涉及的风险单位数目 C.考虑损失和总损失的时间效应 3、损失幅度估测的途径 A.一个风险单位在某一风险事故中的最大潜在损 失。 最大可能损失（Maximum Possible Loss）：指某 一风险单位在其整个生存期间，由单一事故引起 的可能的最坏情况下的损失。 最大可信损失( Maximum Probab

6、le Loss)：指某一 风险单位，在一定时期内（不是企业的生命生存 期），由单一事故所引起的可能遭受的最大损失。 年度预期损失 (Annual Expected Loss)：指在客观 条件不变的情况下，经过长期观察而计算的年平 均损失。等于年平均事故发生次数乘以每次事故 所造成的平均损失。 B.一个风险单位遭受单一风险事故所致实 质性损失 Alan Friedlander 认为，在其他条件相同而防护设施 不同的情况下，一次事故所造成的最大损失是不同 的。以火灾为例，根据建筑物防护设施情况，损失 幅度可分为四种： 正常损失预期值(Normal Loss Expectancy)：指建筑 物在最佳

7、防护系统下，一次火灾发生的最大损失。 最佳防护系统是指当火灾发生时，建筑物自身和外 部的消防系统和消防设施都能正常操作，且都能发 挥预期功能。 可能最大损失( Probable Maximum Loss)：指建筑物 自身和外部环境虽然都有良好的消防系统和消防设 施，但当发生火灾时，建筑物自身或外部的防护设 备有部分因供水不足，或其他原因所致，而无法发 挥其预期功能。这种情况下所造成的最大损失为可 能最大损失。 最大可预期损失( Maximum Foreseeable Loss)：指 当火灾发生时，建筑物自身的消防设施无法发挥其 预期功能，致使火灾蔓延，直烧至防火墙才隔绝了 火势；或将所有可燃物

8、燃尽；或者直至公共消防队 至现场进行灭火，把火熄灭为止。其所造成的最大 损失，称为最大可预期损失。 最大可能潜在损失 ( Maximum Possible Loss)：指 建筑物自身和外部的消防设施和防护系统，在火灾 发生时，均无法正常操作，从而失去了其预期功能 的情况下的最大损失。 四种损失发生的概率一次递减，而损失金额却一次 递增。 C.一年内，一个或多个风险单位遭受一种 或多种风险事故所致总损失额 年度最大可能总损失(Maximum Probable Yearly Aggregate Loss) 指在一特定年度中，单一或多个 风险单位可能遭受一种或多种风险事故，其所造 成的最大总损失。

9、5.1.3 5.1.3 风险估测的意义风险估测的意义 通过估测，计算较为准确的损失概率和损失严重程 度，减少损失发生的不确定性，也就是降低了企业 的风险。 对损失幅度较精确的预测，使风险管理者有可能分 辨出哪些风险事故一旦发生，就会给企业带来灾难 性后果，从而提醒风险管理者集中主要精力应对这 些风险。 损失概率分布的建立，为风险管理者进行决策提供 了依据。 损失概率和损失期望值的预测值，为风险定量评价 提供了依据，也最终为风险决策提供了依据。 5.1 风险估测概述 5.2.1 损失资料的收集 5.2.2 损失资料的整理 5.2.3 损失资料统计图 5.2.4 损失资料的计量 5.2 5.2 损

10、失资料的收集与整理损失资料的收集与整理 5.2.1 5.2.1 损失资料的收集损失资料的收集 一、完整性 即收集到的数据尽可能充分、完整，这种完整不仅要求有足 够的损失数据，而且要求收集与这些数据有关的外部信息。 二、统一性 损失数据必须至少从两个方面保持一致： 第一，所有记录在案的损失数据必须在统一的基础上收集。 在衡量未来损失时，损失数据中包含着有用的模型，如果从 不同的来源以不同的技术收集，可能会影响预测结果的准确 性和有效性。 第二，必须对价格水平差异进行调整，所有损失价值必须用 同种货币来表示。调整的方法是确定某一时期为标准时期， 以此时期的数据按标准时期的价格水平来调整。如果某一时

11、 期的价格水平较标准时期低，则损失数据应相应调高，反之 则应调低。 三、相关性 过去损失金额的确定必须以与风险管理相关性最 大为基础。对于财产损失而言，应以修复或重置 财产的费用而不是财产的原始账面价值作为损失 值。对责任损失来说，损失不仅包括各种责任赔 偿，还包括在努力恢复营业至正常状态下的许多 额外费用。 四、系统性 收集到的各种数据，还不能直接使用，必须根据 风险管理的目标与要求，按一定的方法进行整理， 使之系统化，以提供有用的信息，成为预测损失 的一个重要基础。 5.2.2 5.2.2 损失资料的整理损失资料的整理 损失资料的整理指根据研究任务的需要，按自己设计的整 理方案之要求，将收

12、集来的所有资料进行加工、综合，使 之条理化、系统化，成为能够反映事物总体特征的综合资 料的过程。 一、按损失金额递增或递减的顺序整理 二、分组频数分布 把数据按不同规模档次分组，每组中所观测到的数据个数叫做频数。 这种分布叫分组频数分布，频数与总个数之比，即为频率。 在分组频数分布中，用变量变动的一定范围代表一个组，每个组的最 大值为组的上限，最小值为组的下限。每组上、下限之间的间距叫组 距。 组距=上限-下限 组中值=（上限+下限）/2 绝对频数、相对频数分布与累积频数分布 表一：某公司19701989年间的火灾损失（元） 990 1700 750 1995 4000 1020 2700 2

13、980 3900 150 3300 750 4950 2300 1300 210 970 100 2600 1200 5200 350 125 200 1050 2000 3800 1100 555 2900 2000 500 1100 2500 3965 表二：某公司19701989年间的火灾损失按递增 顺序排列（元） 100 125 150 200 210 350 500 555 750 750 970 990 1020 1050 1100 1100 1200 1300 1700 1995 2000 2000 2300 2500 2600 2700 2900 2980 3300 3800

14、3900 3965 4000 4950 5200 表三：某公司19701989年间的火灾损失分组频 数分布 序号 分组 频数 频率 1 1001100 16 45.7% 2 110121006 17.1% 3 210131006 17.1% 4 310141005 14.3% 5 410152002 5.8% 合计 35 100% 5.2.3 5.2.3 损失资料统计图损失资料统计图 一、条形图（柱状图） 二、圆形图 三、直方图：直方图是一个在条形之间没有间隔 的条形图。直方图的一个重要特征是每个长方形 的面积与相应组的频数成比例。 四、频数多边形：频数多边形是在直方图的每个 长方形的顶端的中

15、点（即组中值）放一个小圆点， 然后联结这些小圆点而成，形成频数分布线。 5.2.4 5.2.4 损失资料的计量损失资料的计量 一、位置计量 1平均数 算术平均数和几何平均数 算术平均数=观察值的总和/观察值的项数（个数） 2中位数 处于顺序数列中最中间的那个数。 假设数据资料已经按递增顺序排列，而观察值的个数是奇数 时，则中位数是位于正中间的观察值。如果观察值的项数是 偶数，则中位数应当是两个中间观察值之间的中点数值。 3众数 一个样本中的众数是指样本中出现次数最多的观察值。 二、衡量数据的离散性 1、全距 对于一个样本，全距等于最大观察值与最小观察值之差 2、标准差和变异系数 A.标准差描述

16、随机损失中期望损失的差异程度。标准差越 大，表明随机损失对期望损失的偏离程度越大，风险也就 越大。反之，风险越小。 B.变异系数。标准差的大小反映了随机损失对期望损失的 偏离程度。以标准差的大小作为风险大小衡量的标准，其 缺陷是在风险衡量中没有反应风险所致期望损失的大小。 基于标准差在衡量风险大小时没有考虑期望损失值的大小， 统计学提出用变异系数衡量风险的大小。 变异系数是由标准差除以期望值得到的 三、偏态 如果曲线的尾部朝向较大的值时，称为正偏态或 右偏态； 如果曲线的尾部朝向较小的值时，称为负偏态或 左偏态。 5.3.1常用的损失分布及性质 5.3.2获得损失分布的一般过程 5.3 5.3

17、 损失分布损失分布 5.3.1 常用的损失分布及性质 一、二项分布 二项分布是一种常用的离散型概率分布，其模型为：假设在n次 独立的重复试验中，每次试验只可能有两种结果（1或0），设 在每一次试验中1出现的概率都是p。令X为n次试验中1出现的 次数，则随机变量X的概率分布为 因为它正好是 按二项式展开中的一项，所以称为二项分 布，记为B（n，p）。 二项式的均值和方差： ,0,1. ;1 kknk n PXkCp qkn qp ()npq ()E Xnp ()Var Xnpq 二、几何分布 考虑只有两个结果的独立重复随机试验序列，指定结 果发生的概率为P，则首次出现指定结果所需的试验 次数X的

18、概率分布为 这是一个几何数列，故称为几何分布，记为 Geo(P),0P1，其均值和方差为： (1) ,1,2.1 k P Xkppkqp ； () q E X p 2 ( ) q Var x p 三、泊松分布 如果随机变量X的取值为0，1，2，则概率分布 称为泊松分布，记为 泊松分布的均值和方差 四、负二项分布 只有两个结果的独立重复随机试验序列，指定结果发生的概 率为P，则指定结果第k次恰好出现在第x+k次试验的概率为负 二项分布： ,0,1,2. ! k P Xkek k ( )p ()E X( )Var x 1 1 ,1,.1 rrkr k PXkCp qkr rp ；q () kq E

19、 X p 2 ( ) kq Var x p 五、正态分布 正态分布是一种常用的连续型分布，风险事故造成的损失金额 较好地服从正态分布。 若 为两个实数，则由下列密度函数 确定的随机变量X的分布称为正态分布，记为 正态分布 的均值 ，方差 。特别地， 当 称为标准正态分布，相应的密度函数和分布函 数采用专门记号分别为 ,0 2 1 () 2 1 ( ), 2 x f xex 2 ( ,)N 2 ( ,)N ()E X 2 ( )Var x 0,1 ( )x ( ) x 一、经典统计方法一、经典统计方法 基于总体信息和样本信息进行的统计推断被称为经典统计方法经典统计方法。其 基本思想是把数据（样本

20、）看做是来自具有一定概率分布的总体， 所研究的对象是这个总体，而并不局限于数据本身。过程如下： 1 1、获得损失分布的大体轮廓、获得损失分布的大体轮廓 从小到大排列，分组后做成频率直方图。将每个直方柱的上端中点 连接起来，做成概率折线。 频率直方图和概率折线都是密度函数的近似，通过光滑过程可以得 到概率密度函数曲线。 2 2、选择分布类型、选择分布类型 概率密度函数曲线非常直观，判断属于的分布族。 3 3、估计参数，确定概率分布、估计参数，确定概率分布 参数估计可以用矩法或极大似然法。 5.3.2 获得损失分布的一般过程获得损失分布的一般过程 4 4、对分布及参数进行检验、对分布及参数进行检验

21、 卡方检验。先把观测数据排序，然后分组，组数记为 n。计算每一组的数据个数 ，再用所选择的概率分 布计算每一组的“理论个数” ，则 近似服从自由度为n-r-1的卡方分布，其中r为所选择的 概率分布中参数的个数。 i O i E 2 2 1 () n ii i i OE E 二、贝叶斯方法 经典统计方法建立在具有独立性和代表性的样本信息的基础 上，但在风险管理实践中，很难达到。此时，对损失分布的 估计就需要加入评估人的主观判断，并利用新获得的证据来 修正原来的估计，这就是贝叶斯方法贝叶斯方法。 利用贝叶斯方法来估计参数，先设损失变量X的分布类型 为 ，连续情形下相应的密度函数族为 和经典统计方法

22、不同的是，贝叶斯方法把 看做是一个随机 变量。具体估计步骤如下： ( , )F x( , )f x 1 1、选择先验分布、选择先验分布 设 的分布函数和密度函数分别为 和 称为先验分布和先验密度。 2 2、确定似然函数、确定似然函数 假设获得的新信息的观察值为 则在 的条件下，可构造似然函数 3 3、确定参数、确定参数 的后验分布的后验分布 由贝叶斯公式 可以得到 的后验分布： ( )F( )f 12n xxx， . . . 12 1 ( | )()(| ),1,2. n i i f xL xxf xin ， . ( | ) ( ) ( | ) ( | ) ( ) f xf fx f xfd

23、4 4、选择损失函数并估计参数、选择损失函数并估计参数 最好的估计应该使得损失函数的值最小，所以根据所选择 的损失函数和参数的后验分布，求损失函数期望值的最小值， 即得到参数的贝叶斯估计。 min ( , )min( , ) (x)dE losslossf 一、一、损失频率的估测 损失频率是指一定时期内某种风险事故发生的次数， 在很多情况下，可以应用理论分布估算某种损失的 概率。可以用来估算损失频率的理论分布包括二项 分布、泊松分布、负二项分布等。 （一）运用二项分布进行估算 当每个风险单位在一定时期内最多发生一次风险事 故，且独立的风险单位数不大时，可以运用二项分 布来估算损失频率。具体例子

24、见P170 例11.3。 （二）运用泊松分布进行估算 当风险单位数n很大，且事故发生概率p又较小时， 可以采用泊松分布来估算损失频率。具体例子见 P171-172 例11.4。 5.4 5.4 损失概率与损失幅度的估测损失概率与损失幅度的估测 二、损失幅度的估算二、损失幅度的估算 （一）每次风险事故所致损失估测 风险事故发生的次数是离散型随机变量，全部可能 发生的次数与其对应的概率可以一一列举出来。具 体计算时，可以确定任意次数（如：5次）事故发生 的概率。 而对损失金额来说，正常情况下只能确定其在某一 区间内的概率，因为连续型随机变量每次风险事故 所致的损失金额是连续型随机变量，取某一特定值

25、 的概率为零。只能在某一区间内取值。 经常应用正态分布作为每次事故所致损失金额的概 率分布。 （二）一定时期总损失估测 一定时期总损失一定时期总损失是指在已知该时期内损失次数概 率分布和每次损失金额概率分布的基础上所求的损 失总额。 1估测一年内单一风险事故所致众多风险单位损失 的总和 2估测一个风险单位遭受多种风险事故所致损失的 总和 【举例】 设某建筑物价值270万元。根据历年的统计资料， 该类建筑物在一年之内遭受火灾、水灾和热带风 暴的概率分别为：0.1、0.2、0.7。 为了讨论问题的方便，假设发生灾害事故时，建 筑物只发生全损、分损100万和50万三种情况。 同样，根据统计资料，知道

26、各灾害事故发生不同 损失金额的概率如表所示。 根据上述资料，风险管理者可以计算出一年之内三种灾 害所致损失的概率分布。 发生全损270万元的概率 =0.05+0.04+0.07=0.16 发生分损100万元的概率=0.03+0.06+0.21=0.30 发生分损50万元的概率=0.02+0.10+0.42=0.54 期望损失值 =2700.16+1000.30+500.54=100.2（万 元） 标准差 =100.2（万元） 2 1 270 100.2100 100.250 100.2 3 22 （） （） （） 三、均值和标准差的估算 （一）点估测 例一：设汽车每月的碰撞次数服从泊松分布，

27、观察五个月后，得到每月碰撞次数分别为：3、 2、0、4、2。试用最大似然法求参数 。 泊松分布的概率密度函数形式为： 其似然函数： ( , ) ! x f xe x 11 ( , )( , ) ! xnn i ii L xf xe x 11 /! nn n ii ii xex 两边取对数： 上式对 求导并令其等于零 求解该方程得 11 ( , )(/!) nn n ii ii lnL xlnxex 11 (!) nn ii ii xlnnlnx 1 ( , )1 0 n i i dlnL x xn d 1 1 n i i xx n 将观察值代入 ， 得 于是， 的最大似然估计值为2.2。 1

28、(32042)2.2 5 例二：已知货物运输过程中，货物的损失金额服 从分布函数： 。今随机抽取250 次货损资料，得到数据如表所示： ( , )(0,0) x f xex 样本 的似然函数为： 12 (,) n x xx 11 ( , ) i nn xnn i ii L xeex 1 ( , ) 0 n i i dlnL xn x d 1 1 1 1 / n i i n i i x n nx x 得 根据以上数据可计算出： 最后得到 的估计值 用同样方法，可以计算出X服从正态分布 ， 且样本观察值为 时的 和 。 50 39 150 58 250 47 350 33 450 25 550 2

29、2 650 11 750 6 850 7 950 2x 39584733252211672307（） 11 0.00326 307x 2 ( ,)N 12 , n x xx 2 在此，似然函数 上式对求 一阶偏导数，且令其等于零 22 ()/ 2 2 1 1 2 i n x i Le 2 2 1 1 () 2 2 2 11 () () 2 n i i n x n e 22 2 1 11 () 222 n i i n InLnInInx 2 1 1 ()0 n i i InL x 得 对 求一阶偏导，且令其等于零 2 2 222 1 1 ()0 22 n i i InLn x 1 1 n i i

30、 xx n 222 11 11 ()() nn ii ii xxx nn （二）区间估测 1 1、样本容量较大时，已知样本均值和抽样误差，估计总体、样本容量较大时，已知样本均值和抽样误差，估计总体 均值。均值。 当样本容量较大时，样本均值是一个服从正态分布的 随机变量，则 为服从标准正态分布的随机变量。由此可以得到总体均值 的区间估计： Z X X PzzXXXX（）=1- 例一：某保险公司承保汽车1500辆，随机抽取100辆来 调查过去由于意外事故造成的损失金额，经整理，得到数 据如下表： 根据该数据分别求出 1 ii xx f n (12 3 16720 182423282132 1836

31、6 404) 10026 2 /6.44 iii Sf xfx 6.44 0.64 100 x S n 据此，保险公司可估计汽车的平均损失金额，但 在不同区间，其估计的可靠性不同。 在 即（2600-64.4，2600+64.4）之间， 可靠性为68.3%； 在 即（2600-264.4，2600+264.4） 之间，可靠性为95.5%； 在 即（2600-364.4，2600+364.4） 之间，可靠性为99.7%。 () x x (2) x x (3) x x 从上例可以看出，当样本容量n为一定时， 为了提高区间的可靠性，应当取较大的置 信区间概率，但这时求出的置信区间较大， 从而降低了估

32、计的精确性；为了提高精确 性，就要缩小置信区间，然而，与之对应 的置信概率却随之减小，可靠性程度降低。 因此，风险管理者要根据具体情况来确定 置信概率和置信区间。 2 2、样本容量较小，总体为正态分布而标准差未、样本容量较小，总体为正态分布而标准差未 知时，估计总体均值。知时，估计总体均值。 样本容量较小，总体为正态分布时，统计量 服从自由度为n-1的t分布，则 t /1 X sn ( tt )1P 例二：某企业有30栋相似的建筑物，风险管理 者仅掌握了一栋建筑物在二十年由于暴风雨而 受损的记录，共15次，且算得这15次损失的平 均值 =800元，标准差S=80元。试估测这些 建筑因暴风雨所致

33、损失的情况。 在本例中，n=15，相对而言，样本容量较小， 只能运用t分布来进行估测。已知 =800元， S=80元 x x 以95%的可靠性估计所有建筑物的平均损失金额， 则： 由 和 查表可得 ，由此得到总 体平均损失额的置信区间为 即（754.15元，845.64元） 10.950.0515 1 14k 0.05 14k 2.145 a t 8080 (8002.145,8002.145) 15 115 1 若以90%的可靠性估计所有建筑物的平均损失金 额，则 查表得 ，则总体损失额的置信区间 为： 即（762.35元，837.65元） 10.900.115 1 14k 1.761 a

34、t 8080 (800 1.761,800 1.761) 15 115 1 由计算结果可知，风险管理者有95%的 把握确信这些建筑物由暴风雨所致，平均 每次损失金额在（754.15元，845.64元） 区间内；而只有90%的把握认为平均损 失金额在（762.35元，837.65元）区间 内。 3 3、样本容量较小，总体为正态分布时，估计、样本容量较小，总体为正态分布时，估计 总体方差总体方差 样本容量较小，总体为正态分布时，统计量 服从自由度为n-1的卡方分布，则 2 2 2 s n 222 1/2/2 22222 1/2/2 () () 1 P P nsns 例三：某企业为了估计下一年度因产

35、品责任而可能 遭受损失的索赔情况，从去年的索赔资料中得到索 赔金额数分别为： 第一季度：42元，65元，75元，78元，87元； 第二季度：45元，68元，72元，90元； 第三季度：24元，65元，80元，80元，81元，85 第四季度：36元，58元，77元。 有上述资料可计算出 =67.11元 = 290.26（元） =17.04 x 2 S S 据此，估测所有索赔的平均金额，要求可靠程度 达到95%，由于样本容量n=18，属于小样本，故 由 ， ，查t分布表得 =2.11 ，从而得到平均损失额在置信区间概率 为95%时的置信区间 即（53.89元，75.83元） ()1 11 aa SS P xtxt nn 1 0.95 a t 17.0417.04 (67.11 2.11,67.11 2.11) 1717 117