衡水中学高考数学专题复习_椭圆

1、()高考数学专题复习椭圆【考纲要求】1. 掌握椭圆的定义，标准方程，了解椭圆的参数方程； 2. 掌握椭圆的简单几何性质一、考点回顾1. 椭圆的定义1. 第一定义：满足 pf + pf =2 a (2af f1 2 1 2为 2 a 的椭圆2. 第二定义：)的动点 p 的轨迹是以 f , f 为焦点，长轴长1 2y到一个定点 f 与到一定直线 l 的距离之比等于一个小于 1 的正数 e 的点的轨迹叫椭圆f1pf2p1xl其中 f 是椭圆的一个焦点， l 是相应于 f 的准线，定义式：pfpp1=e(0 e b 0a 2 b 2焦点 f (-c,0)，f(c,0)，且满足： a 1 22=b2+c

2、2f1f2（2）焦点 f , f 在 y 轴上：1 2(1()( ) ( ) ( ) ( )( )y 2 x 2+ =1 a b 0 a 2 b 2)焦点 f (0,-c)，f(0,c)，且满足： a 2 =b 2 +c 2 1 2（3）统一形式： ax 2 +by 2 =1 (a0, b 0, a b )【注】 a, b 为椭圆的定型条件，对 a, b, c 三个值中知道任意两个，可求第三个，其中 a b, a cfff23. 椭圆的参数方程焦点在 x轴上，中心在原点的椭圆的参数方程为：x =a cosq y =b sin q（ q为参数）（其中 2a 为椭圆的长轴长， 2b 为椭圆的短轴长

3、）4 椭圆的简单几何性质x 2 y 2以椭圆 + =1 a b 0 为例说明a 2 b 2（1） 范围： -a x a ， -b y b（2） 对称性：椭圆的对称轴: x 轴， y 轴；对称中心：原点 o (0, 0)（3） 顶点：长轴顶点： a -a, 0 ， a a , 0 ，短轴顶点： b 0, -b ， b 0, b1 2 1 2（4）离心率： e =c 椭圆上任一点p到焦点的距离 =a 点p到相应准线的距离。【注】 0 e 1=1x 2 y 2点 p 在椭圆 c 内 0 + 0 0 ，以及 x +x , x x ，还可进一步求出1 1 2 2 1 2 1 2y +y , y y 在涉

4、及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法1 2 1 2点差法 ： 设交点坐标为 ( x , y ), ( x , y ) 代入椭圆方程，并将两式相减，可得1 1 2 2y -y b2 (x+x 1 2 =- 1 2x -x a 2 y +y 1 2 1 2二 典例剖析1 求椭圆的标准方程)，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法【例 1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的一个端点的距离为 10 - 5 ，则椭圆 方程为_（2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线 y =x +1 交椭圆于 p, q 两点，10若 op

5、oq =0 ，且 pq = ，则椭圆方程为_2【解】（1）由已知： ，又a-c=10 - 5a =b +c ，故求得：a=10 b=5。x 2 y 2所以，椭圆方程为： + =110 5（2）设椭圆方程为： ax 2 +by 2 =1 a 0, b 0 ，且设 p ( x , y ) ， q ( x , y ) ，1 1 2 2pq 的中点为1 10m ( x , y ) 。由已知： op oq ，所以 om = pq = ，2 42 24ax 2 +by 2 =1，从而有1 2 1 2或 2 2()即有：10x +y = ，又 y =x +1 ，求得： 0 0 0 0x =- 03y =0

6、414或x =- 01y =0 434。联立 ，消去 y,得： y =x +1( a +b ) x2+2 bx +b -1 =0 ，则有:d=4 b 2 -4( a +b ) (b-1)0，即 ab b 0 的左焦点为 f ，上顶点为 a ，过 a 点作 af 的垂线a 2 b 2分别交椭圆于 p ，交 x8轴于 q ，且 ap = pq5（1） 求椭圆的离心率。（2） 若过 a, f , q 三点的圆恰好与直线 x + 3 y +3 =0 相切，求椭圆的方程。【解】（1）由已知可得：b2f ( -c, 0), a(0, b ), q ( , 0)c由8ap = pb 可得： p ( 58b2

7、 5b , )13c 13c，将 p点坐标代入椭圆方程可得：b2 3 a2 -c 2 3 1= 。 即 = 2e 2 +3e -2 =0 e = ac 2 ac 2 2（2）由（1）得： q (3c, 0)，圆心为 (c, 0)，半径 r =2cx y2 22( )2a2 2 21e22于是有：c +32=2c c =1， 所以 a =2, b = 3。故椭圆方程为：x 2 y 2+ =14 3【例 3】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为 f , f ，斜率为 k 的直线过右焦点 f1 2与椭圆交于 a, b 两点，与 y 轴交于点 m 点，且 mb =2 bf2（1）若 k 2 6 ，求

8、椭圆离心率的取值范围100（2）若 k =2 6 ，且弦 ab 的中点到右准线的距离为 ，求椭圆的方程33【解】（1）设椭圆方程为： + =1 (ab0 )，f (c,0 )a 2 b 2则直线 ab 的方程为： y =k ( x -c ) m 0, -kc2由mb =2 bf ，可求得： b 22c kc, -3 3代入椭圆方程，并整理得：k 2 =bc22 c 9 -4 而e =ca且 b =a -c，故有：k2= -1 (9-4e2) 由已知：0 k224得： 10 -1e(9-4e2) 24考虑到 0 e 1，故求得：12e 0 k 2 32sopq=1 3 -6k 12 oa y -

9、y = - =2 2 k +3 k +33 6 k 2 - k 2 +332令k2-32=t(t0 )，则3 6s = opq 9t +2 t3当且仅当t =3 32 ，即 k = 6时，取“ =”所以 dopq 的最大面积为3【例 5】已知椭圆 c 的中心在原点，焦点在 x 轴上,椭圆 c 上的点到焦点的距离的最大 值为 3 ，最小值为1（1） 求椭圆 c 的标准方程（2） 若直线 l : y =kx +m 与椭圆交于 a, b 两点（ a, b 不是左，右顶点）且以ab 为直径的圆过椭圆 c 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定 点的坐标（2）设()()则2121 2()()1 2

10、12( )()()而即( )22 2( )，显然直线 l过定点77, 07x y2 212【解】（1）由已知 a +c =3 且 a -c =1 a =2 c =1从而 b = 3x 2 y 2所以椭圆 c 的方程为： + =14 3( ) ( )a x , y , b x , y1 1 2 2y =kx +m联立 x2 y 2 ， 消去 y 得： 3 +4 k 2 x 2 +8mkx +4 m 2 -3 =0 + =14 3( )( )d=64 m 2 k 2 -16 3 +4 k 2 m 2 -3 0 3 +4 k 2 m 2-8mk 4 (m-3)又有 x +x = x x =3 +4

11、k 2 3 +4 k 23 (m2-4k 2 )从而有 y y = kx +m kx +m =3 +4 k 2因为以 ab 为直径的圆过右顶点 d 2, 0 ， 所以 da db =0( ) ( )da = x -2, y db = x -2, y ，所以 x -2 x -2 +y y =0 1 1 2 2 1 2 1 2x x -2 x +x +y y =01 2 1 2 1 24 (m-3) 16 mk 3 (m-4k )所以 + +4 + =03 +4 k 2 3 +4 k 2 3 +4 k 22得： 7 m 2 +16 mk +4 k 2 =0 m =-2k 或 m =- k7）当 m

12、 =-2k时，直线 l过右顶点 2, 0 不合题意2 ）当 m =- k7时，直线 l 2 2 为 y =k x - , 0 故直线 l 过定点，且定点坐标为2 2 椭圆的性质【例 6】已知椭圆 + =1 (ab0 )的两个焦点分别为 f (-c,0)，f(c,0)，在椭a 2 b222a 22x 2 y 2( )( ) ( )1 2 1 2(0000圆上存在一点 p ，使得 pf pf =01 2（1）求椭圆离心率 e的取值范围（2）当离心率 e 取最小值时， pf f 的面积为16 ，设 a, b 是椭圆上两动点，1 2若线段 ab 的垂直平分线恒过定点 q (0, - 3) 。求椭圆的方

13、程；求直 线 ab 的斜率 k 的取值范围。【解】（1）设椭圆短轴的端点为 b,由已知及椭圆的性质得：f bf fpf =900 1 2 1 2所以obf 4502c，从而 tanobf 1，即 1 cb2b2，又b2=a2-c2，所以 c 2 a 2 -c 2c 1 2 ，得： ，所以 e , 12。（2）当e取得最小值22时， p在短轴顶点，所以sdpf f1 2c 2=bc =16 ， 又 =a 2, a2=b2+c2，故求得： a =4 2, b =4, c =4 。 所以椭圆方程为： + =132 16【法一：点差法】设 a x , y , b x , y ，设 ab 的中点为 m

14、x , y ，1 1 2 2 0 0则x 2 y 2 1 + 1 =132 16x 2 y 2 2 + 2 =132 16(x+x )(x-x)(y+y )(y-y 1 2 1 2 +32 16)=0y -y x +x 1 2 =- 1 2x -x 2 y +y 1 2 12)即xk =- 02 y0由已知 ab的垂直平分线方程为：1y =- x - 3 k易知点( ) 1m x , y 在该直线上，所以 y =- x - 3kx=-23k(-2 3k 3( ) ( )()即 22 222由，可求得： 0y0=3即m -2 3k ,3)由已知：点 m 在椭圆内部，( )2 ( )278 78所

15、以 + 1 - k 0 b 16 1 +2 k 2又有:x +x =1 2-4kb 1 +2 k 2从而2by +y =1 2 1 +2 k 2所以 ab的中点为 -2kb b m ,1+2k 1 +2 k。又 m 在 ab的垂直平分线上，所以b 1 -2kb=- 1 +2 k k 1+2k- 3， 即( ) b = 3 1 +2 k 2将代人求得：-786 k 0 ；（4）椭圆内部的点(x , y00) x 2 y 2满足 0 + 0 b 0122，2交于 a, b 两点， oa +ob 与向量 a =(3,-1)共线。 （1）求椭圆的离心率 e（2）设 m 为椭圆上任一点，若om =loa

16、 +mob (l,mr )，求证：l2+m2为定值【解】（1）设椭圆方程为 x ya 2 b 2)，设a( x1, y )1， b ( x , y ) 2 2，由已知：直线 ab 的方程为： y =x -c，代入椭圆方程，得：( a2 +b 2 ) x -2 a 2 cx +a 2 c 2 -a 2 b2 =0，2a2c由韦达定理得： x +x = ，易知：a2 +b2oa +ob =( x +x , y +y )1 2 1 2因为 oa +ob 与向量a = (3, -1)共线，所以3( y +y ) +( x +x ) =0 1 2 1 2，而y +y =x +x -2c 1 2 1 2，

17、所以 3( x +x -2c) +( x +x ) =0 1 2 1 2，即x + x =1 23 c2，于是有： 2 a c 3 c= a a 2 +b 2 22= 3 b2又b2 =a 2 -c 2c 2 2，所以 = ，故有：a 2 3c 6e = =a 3。（2）由（1）得：a2 =3b 2， c = 2bx 2 y 2，所以椭圆方程为： + =13b2 b2，即x2+3 y2=3b2，直线 ab 的方程为： y =x - 2b，于是有：x + x =1 23 2 b2x x =1 23 b42，从而y + y = - 1 22 b ，y y = - 1 2b 。4() ( )2 2(

18、)1 212 2设( ) ( )( )(yx +c0)于是x x +3 y y =0 1 2 1 2。设 m ( x , y ) 0 0，由已知：x =lx +mx 0 1 2y =ly +my 0 1 2，将 m 的坐标代入椭圆方程得： lx +mx1 2+3 ly +my =3b1 22，即 l2(x 2 +3 y 2 1 1) (+m2 x22+3 y22)+2( x x 1 2+3 y y ) =3b 1 22，于是有： l23b2+m23b2=3b2。 故l2+m2=1为定值。x 2 y 2【例 8】已知 a 为椭圆 + =1 a b 0 上一动点，弦 ab, ac 分别过焦点 f

19、, f ，a 2 b 2当 ac x 轴时，恰有 af =3 af .1 2（1）椭圆的离心率（2）设 af =l 1f b ， af =l 1 1 22f c ，判断 l 2 1+l 是否为定值？ 2【解】（1）当 ac x 轴时，af =2b2 3b从而 af =a ， a2依定义有af + af =2 a 1 24b2，所以 =2 a aa2=3b2而 b 2 =a 2 -c 2c 2 2，所以 a =2c = 即 e =a 2 ， 2 。x 2 y 2（2）由（1）可知椭圆方程为： + =12c 2 c 2( ) ( ) ( ) a x , y , b x , y , c x , y0

20、 0 1 1 2 2， f -c, 0 , f c , 01 2若 ab, ac 的斜率都存在，则直线 ab 的方程为代入椭圆方程，并整理得： 2cx +3c 2 y 2 -2cy0c 2 y 2 cy 2由韦达定理有y y =-0 =- 02cx +3c 2 2 x +3c 0 10 00y =x0( )x +c0+c y -c 2 y 20=0()00abpbpb由已知：l1=af1f b1y 3c +2 x =- 0 =y c10；同理可得： l2=3c -2 x 0c所以 l +l=61 2若 ab, ac 有一个斜率不存在，不妨设 ac x 轴则 l =1,2l =13c +2c c

21、=5所以l +l=6 1 2综上所述 l +l=6 为定值。1 2x 2 y 2【例 9】设 p( x , y ) 是椭圆 + =1 a b 0 上的定点，过 p 点作两条直线 pa, pba 2 b 2与椭圆分别交于 a, b 两点（异于 p 点）且满足直线 pa 与 pb 的倾斜角互补，求 证：直线 ab 的斜率为定值【证明】【法一：点差法】设p ( x , y ) ， a( x , y ) , b ( x , y ) 0 0 1 1 2 2。则有：x 2 y 20 + 0a 2 b2=1x 2 y 2 (1)， 1 + 1a 2 b2=1(2)x 2 y 2， 2 + 2a 2 b 2=

22、1(3)（2） -（3）得：(x1+x2)(a 2x1-x2) (y+y )(y-y) + 1 2 1 2 =0b 2，即y -y b2 x +x 1 2 =- 1 2x -x a 2 y +y 1 2 1 2。 所以b 2 x +x k =- 1 2a 2 y +y 1 2。同理可得：kpab2 x +x =- 0 1a2 y +y 0 1b2 x +x, k =- 0 2a 2 y +y 0 2。由已知：kpa+kpb=0x +x x +x，即 0 1 + 0 2 =0y +y y +y0 1 0 2 x y +x y +x ( y +y ) +y ( x +x ) +2 x y =01

23、2 2 1 0 1 2 0 1 2 0 0（4）另一方面，kpay -y= 0 1x -x0 1，y -yk = 0 2x -x0 2，所以y -y y -y0 1 + 0 2 =0 x -x x -x0 1 0 2 x y +x y -x ( y +y ) -y ( x +x ) +2 x y =01 2 2 1 0 1 2 0 1 2 0 0（5）y +y y20=- -0= 1 2由（4）（5）可得：x +x xx ( y +y ) +y ( x +x ) =0 1 2 =- 0 0 1 2 0 1 21 2 0。所以kab b2 x b x a 2 y a2 y0 0为定值。即直线 a

24、b 的斜率为定值【法二：联立方程法】设p ( x , y ) 0 0， a( x , y ) , b ( x , y ) 1 1 2 2。设直线 pa：y -y =k ( x -x ) 0 1 0，直线 pb： y -y =k ( x -x )0 2 0。联立y -y =k ( x -x ) 0 1 0x2 y 2+ =1a2 b 2，消去 y，得：(b2+a 2 k 2 ) x -2 a 12k ( k x -y ) x +a 1 1 0 02( k x -y ) 1 0 02-a2b2=0，由韦达定理可得：x x =0 1a 2 ( k x -y ) 2 -a 2 b2 1 0 0b 2

25、+a 2 k 21同理可得：x x =0 2a2( k x -y ) 2 2 0 0b 2 +a 2 k2-a22b2。由已知：k +k =0 1 2，即 k =-k ，于是 x x = 2 1 0 2a 2 ( -k x -y ) 2 -a 2 b 2 1 0 0b 2 +a 2 k 21 -得：x ( x -x ) = 0 1 2-4a 2 k x y -4a 2 k y 1 0 0 ， 即 x -x = 1 0b 2 +a 2 k 2 b 2 +a 2 k 2 1 1。 +得：x ( x +x ) = 0 1 22( a 2 k 2 x 2 +a 2 y 2 -a 2 b 2 ) 2(

26、a 2 k 2 x 2 -b 2 x 2 ) 1 0 0 = 1 0 0b 2 +a 2 k 2 b2 +a 2 k 2 1 1，所以x +x =1 22( a2 k 2 x -b 2 1 0b 2 +a 2 k 2 1x )0。于是y -y =k ( x -x ) +k ( x -x ) =k ( x +x -2 x ) 1 2 1 1 0 1 2 0 1 1 2 0=2 k (a2 k 2 x -b 2 x ) -x (b 2 +a 2 k 2 ) -4k b2 x 1 1 0 0 0 1 = 1 0b 2 +a 2 k 2 b2 +a 2 k 2 1 1。所以kaby -y -4k b

27、2 x b 2 x = 1 2 = 1 0 = 0x -x -4a 2 k y a 2 y 1 2 1 0 0为定值。3. 最值问题123 12( )max()( ) ()min1 2x1212pf + pf- f f121 212121212-12 =x2 ( ) ( )x 2【例 10】已知 f , f 是椭圆 +y42=1 的左，右焦点以及两定点m , , n (0,2 ) 2 2（1）设 p 为椭圆上一个动点求 pf + pm 的最大值与最小值；求 pf pf 的最大值与最小值。 1 1 2（2）过 n 点作直线 l 与椭圆交于 a, b 两点，若aob 为锐角（o 为原点），求 直线

28、 l 的斜率的取值范围【解】（1）由已知：点 m 23 , 12 在椭圆x4+y 2 =1 内部。易知 a =2 , b =1 , c = 3 所以 f (-3, 0 ),f (3 , 0 )，f m =11 2 2。依定义有： pf =4 -pf ， 所以 pf + pm =4 -( pf -pm ) ，1 2 1 2由三角不等式可得： -f m pf -pm f m ，2 2 2即 -1 pf -pm 1。当且仅当 p、f 、 m 三点依次共线以及 p、m 、 f 2 2 2三点依次共线时，左右等号分别成立。所以 pf + pm =4 +1 =5 ；（此时 p、f 、 m 三点依次共线） 1 2pf + pm =4 -1 =3 。（此时 p、 m 、 f 三点