初三数学圆知识点总结

1、初三数学 圆知识点总结 、本章知识框架 基本元素：恋匕 弧I弦I圆心、半径 对祢性：旋转对称、轴对称、中心对椒 圆的认识 垂径定理 圆心角、弧、弦、弦尤距关系 号圆有黄的算 圆心常 圆周杯 弦切角 直与圆 *狡 与圆有关的位置关专直线与砸切一切线及切绘长 相离 園与圆的位置关系种) 圆中的有关计 弧长和扇形、弓形的面枳 舁t圆锥与圆锥的侧面展开图 二、本章重点 1. 圆的定义： (1) 线段0A绕着它的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线, 叫做圆. (2) 圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2. 判定一个点P是否在。0上. 设。0的半径为R, 0吐d,则有 dr 点P在O 0

2、夕卜； d = 点 P在O 0 上; dvr 点P在O 0内. 3. 与圆有关的角 (1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相 等. 90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. (3) 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切

3、角. 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角. 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半. 4. 圆的性质： 旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合； 圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的 任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论： (1) 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. (2) 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (3) 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. (4)

4、平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. (5) 平行弦夹的弧相等. 5. 三角形的内心、外心、重心、垂心 (1) 三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心， 在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. (2) 三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐 角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心 在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用0表示. 三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是 到对边中点距离的2倍，通常用G表示. (4) 垂心：是三角形三

5、边高线的交点. 6. 切线的判定、性质： (1)切线的判定： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. 切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径. 经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. 经过切点作切线的垂线经过圆心. 切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线 长. (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆 心的连线平分两条切线的夹角. 7. 圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角 等于内对角. 各边都和圆相切的四边形叫圆外切

6、四边形，圆外切四边形对边之和相等. 8. 直线和圆的位置关系： 设。0半径为R,点0到直线I的距离为d. (1) 直线和圆没有公共点直线和圆相离=dR (2) 直线和。0有唯一公共点=直线I和。0相切=d= R. (3) 直线I和。0有两个公共点二直线I和。0相交二dr)，圆心距-一 J . 第10页共8页 (1) J没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部= -1 -夕卜离=dR+ r. (2) 丄卞一没有公共点，且二l亠的每一个点都在-外部-1 - -一内 含二 dR r (3) 丄-i卞一有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部 = 1 -1 -一外切=d= R+

7、r. 1 一有唯一公共点，除这个点外，.二的每个点都在：内部= 1 一内切=d= R- r. -有两个公共点 二 亠相交=R- rdpi=pa =p点为-中点. 小结：此题运用垂径定理进行推断. 例2下列命题正确的是（） A. 相等的圆周角对的弧相等 B. 等弧所对的弦相等 C三点确定一个圆 D.平分弦的直径垂直于弦. 解： A. 在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确. B. 等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此 B正确. C三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆. D.平分弦（不是直径）的直径垂直于此弦. 故选B. 例 3 四边形 ABCD内 接于。0,/ A：Z B：Z

8、 C= 1 : 2 : 3,求/ D. 分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等. 解： 设/ A= x，/ B= 2x，/ C= 3x，则/ D=/ A+Z CZ B= 2x. x + 2x + 3x+ 2x= 360， x = 45. Z D= 90. 小结：此题可变形为：四边形 ABCE外切于。0,周长为20,且AB： BC： CD= 1 :2 : 3, 求 AD的长. 例4为了测量一个圆柱形铁环的半径， 某同学采用如下方法：将铁环平放在水 平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度 尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以 求得铁环半径.若测得 P心5cm则铁

9、环的半径是 cm 分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切 线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP! PA再用三角板画一个顶点为 A、一边为AP 大小为60的角，这个角的另一边与 0P的交点即为圆心0,再用三角函数知识 求解. 解： tanZPAO = =0P= PA tan60&= 5 x PA 小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模 型. 例5已知-一一相交于A、B两点，-一的半径是10,-的半径是17, 公共弦A吐16,求两圆的圆心距. 解：分两种情况讨论： 若一亠位于AB的两侧（如图23-8） 连结-二，则一-垂直平

10、分AB, 又 A吐16 二 AC= 8. 在RtAOA中 0Q 八-直巴=6 在 RLE 小 中 03C=- AC3 =15 故 若位于AB的同侧（如图23-9）, 与AB交于C,连结. 垂直平分AB, AC=-AB 又 A吐 16, AC= 8 . 在或20 |CA 中_ -A.C =盲 在中 03C= 7o2A3 - AC3 =15 故 i亠| 一 -注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆 上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解 问题. 三、相关定理： 1. 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。(经过圆内

11、一点引两 条线，各弦被这点所分成的两段的积相等) 说明：几何语言： 若弦AB CD交于点P,贝U PA- PB=PC PD (相交弦定理) 例1.已知P为。O内一点，二二二士吃，。0半径为士叱，过 P任作一弦AB设二S，:，则F关于工的函数关系式 为。 沪卽27 y y = 解：由相交弦定理得-，即 ，其中- - 2. 切割线定理 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的 比例中项 说明：几何语言：若 AB是直径，CD垂直AB于点P,则PCA2=PA- PB 例2.已知PT切。0于T，PBA为割线，交0C于D, CT为直径，若0C=BD=4cm 心二6，帀=2 (舍)

12、 由勾股定 AD=3cm 求 PB长。 解：设TD-，BP*，由相交弦定理得: 即- -,.v 由切割线定理，二 理， ADDB = CDTD 四、辅助线总结 1圆中常见的辅助线 1) .作半径，利用同圆或等圆的半径相等. 2) .作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心 距”间的关系进行证明. 3) .作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行 计算. 4) .作弦构造同弧或等弧所对的圆周角. 5) .作弦、直径等构造直径所对的圆周角一一直角. 6) .遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角. 7) .遇到切线，作过切点的半径，构造直角. 8) .欲

13、证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常 连结公共点和圆心证明直线垂直； 不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向 直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径. 9）遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点. 10）遇到三角形的内心，常作：（1）内心到三边的垂线； 连结内心和三角形 的顶点. 11）遇相交两圆，常作：（1）公共弦；（2）连心线. 12）遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线. 13）求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形 的一条直角边. 2、圆中较特殊的辅助线 1）过圆外一点或圆上一点作圆的切线. 2）将割线、相交弦补充完整. 3）作辅

14、助圆. 例1如图23-10, AB是的直径，弦CDLAB,垂足为E， 如果AB= 10，CD= 8,那么AE的长为（） A. 2B. 3 C. 4D. 5 分析：连结OC由AB是。0的直径，弦CDL AB知CD- DE设 AE= x，则在 Rt CEO, L 一 一 一亠丨一一，即 ： I I，则 T -，：-（舍去）. 答案：A. 例2如图23-11，CA为O 0的切线，切点为 A,点B在。0 上，如果/ CAB= 55，那么/ AOB等于（） A. 35B. 90 C. 110D. 120 分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道/ A0 2/ BAG2X 55= 110.答案：C

15、. 图财11 例3如果圆柱的底面半径为4cm,母线长为5cm那么侧面积等于（） A.b .4Dhot? c . 20cm2 D . 40 cm3 分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的 母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以 圆柱的高，即：；11 71：1 .答案:B. 例4如图23-12，在半径为4的O0中，AB CD是两条 直径，M为0B的中点，延长CM交O 0于E,且EMM,连 结 OE DE,=. 23-12 求：EM的长. 简析： 由DC是O O的直径，知DEL EC,于是.设Eg x, 则 AM- MB= x(7 x)，即 i-! - L .所以-1-.而 EMM,即 EM =4. 例5如图23-13 , AB是O O的直径，PB切O O于点B, PA交O 0于点C, PF分 别交AB BC于E、D,交O 0于F、G,且BE BD恰好是关于x的方程 “和:(其中m为实数)的两根. (1) 求证：BE= BD (2) 若-匸-亠，求/ A的度数. 简析：(1)由BE BD是关于x的方程 X -血斗(m2