第一章预备知识

1、随机过程随机过程 任课教师：杨春德任课教师：杨春德; 电话电话(023) 62460542 ; E-mail: 随机过程是随机数学系列中一门重要的基础随机过程是随机数学系列中一门重要的基础 课程，随机数学是研究自然界中不确定现象之一课程，随机数学是研究自然界中不确定现象之一 随机现象及其统计规律性的数学理论与方法。随机现象及其统计规律性的数学理论与方法。 随机过程是随机数学的主要分支。概率论在数学随机过程是随机数学的主要分支。概率论在数学 上用随机变量来研究随机现象的静态特性，而上用随机变量来研究随机现象的静态特性，而随随 机过程则研究随着时间（或其它参量）演变的随机过程则研究随着时间（或其它

2、参量）演变的随 机现象的统计规律，即研究随机现象的动态特性。机现象的统计规律，即研究随机现象的动态特性。 换言之，前者研究随机变量，而后者研究随机函换言之，前者研究随机变量，而后者研究随机函 数，探讨随机现象的发展与变化的过程。数，探讨随机现象的发展与变化的过程。概率论概率论 是随机过程的基础，随机过程是概率论的深入发是随机过程的基础，随机过程是概率论的深入发 展展。 第一章第一章 预备知识预备知识 随机过程的发展动力除了数学本身需要之外，随机过程的发展动力除了数学本身需要之外，20 世纪初物理、力学、化学、生物、通信、管理、控制世纪初物理、力学、化学、生物、通信、管理、控制 论、规划论、排队

3、论、信息论等学科的需要，推动了论、规划论、排队论、信息论等学科的需要，推动了 随机过程理论的发展，现在，其理论与方法几乎深入随机过程理论的发展，现在，其理论与方法几乎深入 到每个自然与社会分支中。通过本门课程的学习，到每个自然与社会分支中。通过本门课程的学习，要要 求求你们能较深刻地理解不同类型的随机过程的数学表你们能较深刻地理解不同类型的随机过程的数学表 示和它们的性质，能够理论联系实际，解决自己的学示和它们的性质，能够理论联系实际，解决自己的学 科内的随机过程问题；掌握各种随机过程的基本计算科内的随机过程问题；掌握各种随机过程的基本计算 方法。鼓励学有余力的学生继续学习更深的随机过程方法。

4、鼓励学有余力的学生继续学习更深的随机过程 的理论。的理论。 1.1概率空间概率空间 随机试验随机试验是概率论的基本概念，试验的结果事先是概率论的基本概念，试验的结果事先 不能准确地预言，但具有如下的三个特性：不能准确地预言，但具有如下的三个特性： (1)可可以以在在相相同同的的条条件件下下重重复复进进行行； (2)每每次次试试验验的的结结果果不不止止一一个个，但但预预先先知知道道试试验验的的 报报有有可可能能的的结结果果 (3)每每次次试试验验前前不不能能确确定定哪哪个个结结果果会会出出现现。 由定义可得由定义可得 )(1 )|()()|()()( )()|( )( )( )|( , ABPA

5、PBAPBPABP APA BP ABP BAP BA 件概率相同。条件概率的性质与无条 条件概率条件概率 k kk k klk k k kk CBAPCBPCAP BAlkBB kBBAPBPAP )|()|()|( , 1 ,)|()()( ， 全概率公式全概率公式 事件的独立性事件的独立性 独立 独立 BA APBAPBAP BPAPABP BA , )()|()|( )()()( , )()()()( )()()( )()()( )()()( , CPBPAPABCP CPBPBCP CPAPACP BPAPABP CBA等式相互独立，要满足四个三个事件 几个事件的独立性几个事件的独立

6、性 .,;,;,;, ;,;,;,;, 独立独立独立独立 独立独立独立独立 下列命题等价： CBACBACBACBA CBACBACBACBA )().()().( ,.1 ,., 2121 21 21 kk iiiiii k n APAPAPAAAP niii AAA 则设 独立，若 ).()( , 0)|(,05. 0)|(, 6 . 0)( ,98. 0)|(, 8 . 0)|(, 6 . 0)( )31 ( 1 321321 213121 213121 BPAP BBBBAAAA BBBPBBPBP AAAPAAPAP kk BA kk 和求： ，令 。已知次试验成功，甲乙两人第 为，

7、验，记：甲乙两人各做三次试例 62. 0005. 04 . 06 . 0)( 9984. 098. 02 . 04 . 08 . 04 . 06 . 0 )|()( )|()()()( 21321 1211 321211 BP AAAPAAP AAPAPAPAP AAAAAAA（互不相容）解： 比较甲乙两人的结果，从以上结果可以得到什么结论 ？ 机遇偏爱有心人！机遇偏爱有心人！ 功的概率。 ，求至少有一次成，若概率为 次成功次独立重复试验，设每：进行例 400020 2 n n . .9997. 0)98. 0(1)( 400 AP 一次成功的概率只有一次成功的概率只有2，是典型的小概率事件；

8、，是典型的小概率事件； 但重复次数足够多，如但重复次数足够多，如n=400， 至少一次成功就是大概率事件！至少一次成功就是大概率事件！ 只要功夫深，铁杵磨成针！ 1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布 随机变量是概率论的主要研究对象，随机变量的随机变量是概率论的主要研究对象，随机变量的 统计规律用分布函数来描述。统计规律用分布函数来描述。 在应用中，常见的随机变量有两种类型：离散型在应用中，常见的随机变量有两种类型：离散型 随机变量和连续型随机变量。随机变量和连续型随机变量。 常见的离散型随机变量 分布分布分布律分布律期望期望方差方差 0-1分布分布ppq 二项分布二项分布npnpq 泊松分

9、布泊松分布 几何分布几何分布1/pq/p2 负二项分布负二项分布k/pkq/p2 离散均匀分离散均匀分 布布 (a+b)/2 1 , 10 ,)0( ,) 1( qpp qXPpXP nkqpp qpCkXP knkk n , 1 , 0 , 1 , 10 ,)( , 1 ,0 ,0 , ! )( ke k kXP k , 1 ,0 , 1 , 10 ,)( 1 kqpp pqkXP k kjqpp qpCjXP knkk j , 1 , 10 ,)( 1 1 ni nn ab iaXP , , 1 , 0 , 1 1 n abn 12 )(2( 2 常见的连续型随机变量 分布分布概率密度概率

10、密度期望期望方差方差 均匀分布均匀分布(a+b)/2(b-a)2/12 正态分布正态分布a 2 指数分布指数分布1/ 1/ 2 瑞利分布瑞利分布 分布分布 2 2 分布分布N2N 分布分布 其它 , 0 , )(1 )( bxaab xf 22 2)( 2 1 )( ax exf 0 , )()( xuexf x 0 , )( 2 exp)( 2 2 2 xu xx xf 2 2 )22( 0, , )(exp )( )( 1 xu xx xf 0 , )( 2 exp )2/(2 )( 2/ 1)2/( Nxu x N x xf N N 0, , , 0 10 ,)1 ( )()( )( )

11、( 11 其它 xxx xf ) 1()( 2 下面我们讨论下面我们讨论n维随机变量及其概率分布。维随机变量及其概率分布。 12 1122 12 , :, , n nn n n FF xxx P e XexXexXex xxx x x x xR R 为为 12 , n XXXX 的的联联合合分分布布函函数数。 n n维联合分布函数具有下列性质：维联合分布函数具有下列性质： (1 1) )对对于于每每个个变变元元 12 1,2, in xinF x xx 是是非非降降函函数数。 ( (2 2) )对对于于每每个个变变元元 12 1,2, in xinF x xx 是是右右连连续续的的。 ( (3

12、 3) ) 对对 于于Rn 中中 的的 任任 意意 区区 域域 11 ,;, nn a ba b ， 其其 中中 ,1, , ii ab in 1211,1 1 11,11,1 ,1 12 , , 1,0; n niiin i n iiijjjn i j ij n n F b bbF bba bb F bba bba bb F a aa 12 12 12 , lim,0,1,2, , lim,1 i n in x n xxx F xxxxin F xxx （4） 在应用中，常见的在应用中，常见的n维随机变量也有两种类型：维随机变量也有两种类型： 离散型和连续型。离散型和连续型。 若若 随随 机

13、机 向向 量量 12 , n XXXX 的的 每每 个个 分分 量量 ,1,2, i X in ，都都是是离离散散型型随随机机变变量量，则则称称 X 是是离离散散型型 随随机机向向量量。 对对于于离离散散型型随随机机向向量量 12 , n XXXX ，其其联联合合分分 布布列列为为 1, ,11, , n xxnn pP XxXx 其其中中 , iii xII 是是离离散散集集， 1,2,in 。 X 的的联联合合分分布布 函函数数 1 12,12 1, , n ii n nxxn xy in F yyypyyy R R 则则称称 X 是是连连续续型型随随机机向向量量， 12 , n fxxx

14、 称称为为 X 的的联联合合 概概率率密密度度。 定定义义 1.6 设设 , t XtT 是是一一族族随随机机变变量量，若若对对于于任任意意 2n 和和12 , n t ttT ，12 , n xxxR ，有有 12 12 1 , (1.1) ni n tttnti i P XxXxXxP Xx 则则称称 , t X tT 是是独独立立的的。 如如果果 , t X tT 是是一一族族独独立立的的离离散散型型随随机机变变量量， （1.1） 式式等等价价于于 12 12 1 , ni n tttnti i P XxXxXxP Xx ， 其其中中i x 是是 i t X 的的任任意意可可能能值值，

15、1,2, .in . 0 0 )2( ;)1(: . 4 , 3 , 2 , 1, 4 . 01, 6 . 00 , 2413 2211 43 21 4321 只有零解的概率只有零解的概率方程组方程组 的概率分布的概率分布行列式行列式求求 且且独立同分布独立同分布设设 xx xx iPP ii 例例 .0, , , 的概率的概率列式列式而第二问就是求系数行而第二问就是求系数行出来出来 些值的概率计算些值的概率计算然后利用独立性将取这然后利用独立性将取这能值找到能值找到 的所有可的所有可先要将先要将的分布律的分布律要求行列式要求行列式 思路思路 .)3( );()2( ;)1( .,e)( 2

16、的概率密度的概率密度求求 的分布函数的分布函数求求 求系数求系数 的概率密度为的概率密度为已知随机变量已知随机变量 XY xFX A xAxf X x 例例 .0,),( .3, 1 ,3, 0 ., 2 ,0, 1 , 0, 0 , ,1, 0),( ),( 22 UVPVU YX YX V YX YX X U VU yxyyxD YX 并计算并计算的联合概率分布的联合概率分布求求 如下如下随机变量随机变量 定义定义上的均匀分布上的均匀分布 服从服从设随机变量设随机变量 . ,),( 概率概率布的特征计算其取值的布的特征计算其取值的 并利用均匀分并利用均匀分的所有可能取值的所有可能取值写出写

17、出VU 例例 思路思路 勒贝格积分勒贝格积分 , iiinii xxbxxxxxxa 11210 作积分和式作积分和式 )()()()()( 1 11 ii n i ii n i i xFxFgxFg )()(lim),( i n i i xFgbaJ 1 0 存在，则记存在，则记 b a xdFxgbaJ)()(),( 11 00 i iii i ii pxgxFxFxgxdFxg)()()()()()( 注：注： 在定义了勒贝格积分之后，我们可以将所有随机变量的数在定义了勒贝格积分之后，我们可以将所有随机变量的数 学期望形式进行统一。学期望形式进行统一。 )()(xxdFxXxdPXE 1

18、.3随机变量的数字特征随机变量的数字特征 1 () kk k E Xx p 若若 X 是是连连续续型型随随机机变变量量，概概率率密密度度为为 fx , ,则则 (),E Xxfx dx 定 义定 义 1.8 设设 X 是 随机 变 量， 若是 随机 变 量， 若 2 (),E X 则 称则 称 2 ()D XE XEX 为为 X 的的方差方差。 定义定义 1.9 设设 X， Y 是随机变量，是随机变量， 22 (),(),E XE Y 则称则称 XY BEXEXYEY 为为 X、Y 的协方差，而的协方差，而 XY XY B DXDY 为为 X，Y 的相关系数。的相关系数。 若 0, XY 则称

19、 X，Y 不相关。 随机变量的数学期望和方差具有如下性质：随机变量的数学期望和方差具有如下性质： (1)(1)若若 n 维随机变量维随机变量 12 , n XXX 的联合分布函数为的联合分布函数为 12 , n F xxx ， 12 , n g xxx 是是 n 维的连维的连续函数，则续函数，则 121212 , nnn Eg XXXg xxxdF xxx (2) ,E aXbYaEXbEY 其中其中，a,b 是常数是常数； (3) 若若X，Y相互独立，则相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)； ； (4) 若若 X， Y 相互相互独立， 则独立， 则 22 ,D aXbYa DXb DY

20、其其 中中 a,b 是常数；是常数； (5) (5) （Schwarz不等式）若不等式）若 22 ,EXEY 则则 2 22 .EXYEX EY (6)(6)（单调收敛定理）若（单调收敛定理）若0n XX ，则，则 lim n n EXEX (7)(7)（Fatou 引理）若引理）若 0 n X ，则，则 limlimlimlim nnnn nnn n EXE XEXEX n n n n nn n n n n nn n AA AA AA AA nA lim , lim , 1, 1 1 1 1 称之为单调不增序列。若 称之为单调不减序列。若 事事件件序序列列 . ),( , 0 , 20, 1

21、0), 2 1 ( 7 6 ),( ),( 2 数数的协方差矩阵及相关系的协方差矩阵及相关系求求 其他其他 函数为函数为 的联合密度的联合密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 YX yxxyx yxf YX 例例 随机变量函数的数学期望 1、离散型随机变量函数的数学期望为、离散型随机变量函数的数学期望为 ), 2, 1(, )( kpxXPXgY kk 且且若若 则有则有 .)()( 1 k kk pxgXgE .d )()()(xxfxgXgE ),( , xfX它的分布密度为它的分布密度为是连续型的是连续型的若若 则有则有 2、连续型随机变量函数的数学期望为、连续型随机变量函数的数

22、学期望为 , ),( , , . 1是二元函数是二元函数为离散型随机变量为离散型随机变量若若yxgYX ,),(),( i ij j ji pyxgYXgE . ),( ij pYX的联合概率分布为的联合概率分布为当当 ,dd),(),(),(yxyxfyxgYXgE 则则 则则 , ),( , , . 2是是二二元元函函数数为为连连续续型型随随机机变变量量若若yxgYX . ),( ),( yxfYX的的联联合合分分布布密密度度为为当当 多维随机变量函数的数学期望多维随机变量函数的数学期望 1.4 特征函数、母函数和拉氏变换特征函数、母函数和拉氏变换 特征函数是研究随机变量分布率的一个特征函

23、数是研究随机变量分布率的一个 重要工具，由于分布率和特征函数之间重要工具，由于分布率和特征函数之间 存在一一对应关系，因此在得知随机变存在一一对应关系，因此在得知随机变 量的特征函数之后，就可以知道它的分量的特征函数之后，就可以知道它的分 布率，用特征函数求分布率比直接求分布率，用特征函数求分布率比直接求分 布率容易得多，而且特征函数具有良好布率容易得多，而且特征函数具有良好 的分析性质。在此，我们主要介绍特征的分析性质。在此，我们主要介绍特征 函数。函数。 特特征征函函数数 ( )g t 是是实实变变量量 t 的的复复值值函函数数，由由于于| e itx | = 1 , 故故随随机机变变量量

24、的的特特征征函函数数必必然然存存在在。 当当X是连续型随机变量，概率密度是连续型随机变量，概率密度f(x)为为, 则则 当当X是离散型随机变量，分布列是离散型随机变量，分布列 ,1,2, kk pP Xxk 则则 1 ( ) k itx k k g tep ( ). itx g tefx dx 随机变量的特征函数具有下列性质：随机变量的特征函数具有下列性质： （1） (0)1,( )1, ()( )gg tgtg t 。 ( 2 ) ( )g t 在在 , 上上一一致致连连续续。 （3）若随机变量）若随机变量 X 的的 n 阶矩阶矩 () n E X 存在，则存在，则X的特征的特征 函数函数

25、( )g t 可微分可微分 n 次次,且当且当k n 时时,有有 ( ) (0)() kkk gi E X 。 （5）若）若12 , n XXX 是相互独立的随机变量，则是相互独立的随机变量，则 12n XXXX 的特征函数的特征函数 12 ( )( )( )( ), n g tg t g tgt 其中其中 gi( t ) 是随机变量是随机变量 Xi的特征函数，的特征函数， 1,2,in 。 （6）随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定。）随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定。 下面我们只对下面我们只对 （4），（），（5）进行证明。）进行证明。 证（）证（） () ,111 () kl n

26、nn i ttX klklkl k lkl g tt z zE ez z 11 kl nn jt Xit X kl kl Eez ez 2 1 0 k n it X k k Eez 所以所以 g (t )是非负定函数。是非负定函数。 证（证（5） 1212 12 () 12 ( ) ( )( )( ) nn n it XXXitXitXitXitX itXitXitX n g tE eE eE eee E eE eE eg t g tg t 证证(6) 1 ( )( ),( )( ) 2 itxitx g tef x dx f xeg t dt 定义定义 1 . 11 设设 12 , n XX

27、XX 是是 n 维随机变量，维随机变量， 12 , n n tt ttR 则称则称 12 1 ( )( ,)()exp n itX nkk k g tg t ttE eEit X , 为为 X 的特征函数。的特征函数。 n维随机变量的特征函数具有类似于一维随机变量维随机变量的特征函数具有类似于一维随机变量 的特征函数的性质。的特征函数的性质。 解解 X的分布列为的分布列为 例例 1.1 设设 X 服服从从 B(n , p), 求求 X 的的特特征征函函数数 g (t )及及 EX、EX2、DX。 ,1,0,1, kn k k p Xkp qqp kn n 00 ( )()() nn itkkk

28、n kkitn kitn nn kk g te C p qCpeqpeq 由性质知由性质知 0 ()(0)() |, itn t d E Xgipeqnp dt 2 22222 02 ()()(0)()() | itn t d E Xigipeqnpqn p dt 故故 2 2 ()()().D XE XE Xnpq 解解 2 2 1 ( ). 2 x itx g tedx 22 22 22 22 1 ( )() 22 =| 22 =( ), xx itx itx xx itx itx i g tixedxede it eedx tg t 于是得微分方程于是得微分方程 ( )( )0.g tt

29、g t 这是可分离变量方程，有这是可分离变量方程，有 ( ) . ( ) dg t tdt g t 两边积分得两边积分得 2 1 ln ( ), 2 g ttc 故得方程的通解为故得方程的通解为 2 1 2 ( ), tc g te 2 2 ( ) t g te 证证 () () () ( ) () it aXb Y i at Xibt ibti at X ibt X gtE e E ee eE e egat 解解 2 22 2 t 22 ( )() t iat iatiat YX gtegte ee 注：注：常见随机变量的数学期望、方差和特征函数见常见随机变量的数学期望、方差和特征函数见 书

30、的表书的表1.1。 定义定义 1.12 设设 X 是非负整数值随机变量，分布列是非负整数值随机变量，分布列 ,1,2, kk pP Xxk 则称则称 0 ( )() def Xk k k P sE sP s 为为 X 的的母函数母函数。 1.5 n维正态分布维正态分布 定义定义 1.13 若若 n 维随机变量维随机变量12 (,) n XXXX 的联合的联合 概率密度为概率密度为 1 12/2 /2 11 ( )(,)exp()() 2 (2 ) T nn n f xf xxxxa Bxa B 式中，式中，12 (,) n aa aa 是常向量，是常向量， () ijn n Bb 是正定矩阵，

31、是正定矩阵， 则称则称 X 为为 n 维正态随机变量或服从维正态随机变量或服从 n 维正态分布，记作维正态分布，记作 ( ,)XN a B 。 可可以以证证明明，若若 ( ,)XN a B ，则则 X 的的特特征征函函数数为为 12 1 ( )( ,)exp 2 n g tg t ttiatiBt 性性质质 1 若若 ( ,)XN a B 则则 (),1,2, kl kkX Xkl E XaBbln 。 性质性质 2 设设 ( ,)XN a B ，Y=XA，若，若A BA 正定，则正定，则 (,)YN aA A BA 即正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量。即正态随机变量的线性变换仍为正态随

32、机变量。 性质性质 3 设设1234 (,)XXXXX 是四维正态随机变量，是四维正态随机变量， ()0,1,2,3,4 k E Xk ，则，则 123412341324 1423 ()() ()() () () () E X X X XE X XE X XE X XE X X E X XE X X 4、 n 维维正正态态随随机机变变量量的的每每一一个个分分量量都都是是正正态态随随机机变变量量； 反反之之，若若n XXX, 21 都都是是正正态态随随机机变变量量，且且相相互互独独 立立，则则 n XXX, 21 是是 n 维维正正态态随随机机变变量量。 5、 n 维维随随机机变变量量 n XX

33、X, 21 服服从从 n 维维正正态态分分布布的的充充 要要条条件件是是n XXX, 21 的的任任意意线线性性组组合合： kk XlXlXl 2211 服服从从一一维维正正态态分分布布（k lll, 21 不不全全为为零零） 。 1.6 条件期望条件期望 设设 X、 Y 是离散型随机变量， 对一切使是离散型随机变量， 对一切使 0p Yy 的的 y，定义给定，定义给定 Y=y 时，时，X 的条件概率为的条件概率为 , | P Xx Yy P Xx Yy P Yy , 给定给定 Y=y 时，时，X 的条件分布函数为的条件分布函数为 ()F x yP Xx Yy ， 而给定而给定 Y=y 时，时

34、，X 的条件期望为的条件期望为 (|)(|) x E X YyxdF x yxP Xx Yy , E(X|Y=y)是是 y 的函数，的函数， y 是是 Y 的一个可能值。的一个可能值。 若在若在 已知已知 Y 的条件下，全面地考虑的条件下，全面地考虑 X 的均值，需要以的均值，需要以 Y 代代 替替 y，E(X|Y)是随机变量是随机变量 Y 的函数，也是随机变量，的函数，也是随机变量， 称为称为 X 在在 Y 下的条件期望。下的条件期望。 性质性质 若随机变量若随机变量 X 与与 Y 的期望存在，则的期望存在，则 ()(|)(|)( ) Y E XE E X YE X Yy dFy -(1)

35、如果如果 Y 是离散型随机变量，则上式为是离散型随机变量，则上式为 ()(|) y E XE X Yy P Yy 如果如果 Y 是连续型，具有概率密度是连续型，具有概率密度 f(x)，则（，则（1）式为）式为 ()(|) ( )E XE X Yy f y dy 证明证明 我们仅对 X 与 Y 都是离散型随机变量证明 （1） 式。 ()(|) |) , , () y yx yx xy x E XE X Yy P Yy xP Xx Yy P Yy xP Xx Yy xP Xx Yy xP XxE X 先对一个适当的随机变量取条件，不仅使我们能先对一个适当的随机变量取条件，不仅使我们能 求得期望，也

36、可以用这种方法计算事件的概率。求得期望，也可以用这种方法计算事件的概率。 设设A为一个任意事件，为一个任意事件，A的示性函数的示性函数 1, ( ) 0, A eA Ie eA 是一个二值随机变量。显然是一个二值随机变量。显然 ， ( )|)(|) ( )( ) A A E IeYyP A Yy E IeP A 对任意的随机变量对任意的随机变量Y，所以由（，所以由（1）式我们有）式我们有 ()(|)( ) Y P AP A Yy dFy 例例 1.6 设设 X 与与 Y 是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量， 其其分分布布函函数数 分分别别为为 ( ) X Fx 和和 ( ) Y Fy ，

37、记记(X+Y)的的分分布布函函数数为为XY FF ， 则则 ( ) =|( ) =( ) =()( ) XY Y Y XY FFaP XYa P XYa Yy dFy P Xya dFy Fay dFy 解解 0 ()( ) 1 2 Y Xx x E Y Xxyfy dy x ydy x 5 0 ( )()( ) 15 2 54 X E YE Y Xx fx dx x dx 例、设迷宫中某处有三个出口。若选择路口例、设迷宫中某处有三个出口。若选择路口1 1，则，则2 2 小时可走出迷宫；若选择路口小时可走出迷宫；若选择路口2 2，则，则4 4小时后又回到小时后又回到 原处；若选择路口原处；若选

38、择路口3 3，则，则6 6小时后又回到原处；并设小时后又回到原处；并设 每次选择个路口的概率是等可能的。求走出迷宫所每次选择个路口的概率是等可能的。求走出迷宫所 需时间的期望值。需时间的期望值。 设设X, ,Y为随机变量，证明公式为随机变量，证明公式 证证 )()()(YXEDYXDEXD 22 22 22 22 ()()() ()()() ()() ()() DXYEXYEXY EDXYEEXYEXY EEXYEEXY EXEEXY 22 22 22 22 ()() () ()() () () () () () D X YE XYE X Y E D X YE E XYE X Y E E XYEE X Y E XEE X Y 2 2 2 2 2 2 () () () ()() () ()()() () D E X YEE X YE E X Y EE X YE X E D X YD E X YE XE X D X 证证 记所求概率为记所求概率为,n m P 。以得到最后那张选票的候选人以得到最后那张选票的候选人 为条件，我们有为条件，我们有 ,n m P =PA 始终领先始终领先|A 得到最后一票得到最后一票PA 得到最后一得到最后一 票票+PA 始终领先始终