第2章 测量误差分布0

1、误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 1 第2章 测量误差分布 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 2 通过本章内容的学习，可以让读者熟悉 误差分布的基本概念、常见误差分布特征 与处理方法。为学好本课程内容打下重要 理论基础。 教学目标 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 3 v直方图的绘制 v概率密度分布图 v误差分布的特征值 v常见的误差分布 v常用的统计量分布 v误差分布的统计检验 教学重点和难点 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 4 第一节 测量误差的统计特性测量误差的统计特性 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 5 一、一、某钢球工件

2、直径重复测量150次的测量点列图测量点列图 单峰性：数据集中在7.335 附近，如不存在系统误差， 其约定真值即为7.335 有界性：数据分布在7.085 至7.585之间，即可确定误 差分布的大致范围 对称性：正负误差的数目大致相同； 抵偿性：误差的总和大致趋于零，它是判定随机 误差最本质的一个统计特征。 7.085 7.335 7.585 i i x 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 6 （1）分组数=11，组 距=0.05mm； （2）依次定各组的频 数、频率和频率密度； （3）以数据为横坐标， 频率密度为纵坐标， 在横坐标上划出等分 的子区间，划出各子 区间的直方柱，即为

3、所求统计直方图。 77.17.27.37.47.57.6 0 5 10 15 20 25 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 7 绘制统计直方图注意事项绘制统计直方图注意事项 （1）样本大小： 确定误差的分布范围时，取 n=50200 确定误差分布规律时，最好取n=2001000 ()子区间个数、间距： 当n=50100时， 个数=610 当n=100200时，个数=912 当n=200500时，个数=1217 当n = 500以上时，个数=20 2 5 2mn 2 5 1.871mn maxmin 1 3.3log xx x n 可用下列两个公式之一来计算分组数 或间距 或 mx

4、误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 8 把各直方柱顶部中点 用直线连接起来，便得 到一条由许多折线连接 起来的曲线。当测量样 本数n无限增加，分组 间隔趋于零，图中直方 图折线变成一条光滑的 曲线，即测量总体的概 率（分布）密度曲线， 记为。这就是用 实验方法由样本得到的 概率密度分布曲线。 ( )f x ( )f x 77.17.27.37.47.57.6 0 5 10 15 20 25 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 9 概率密度曲线完好的描述了随机误差的统 计规律。 ( )f x 1f x dx 1 b a P axbf x dx 概率密度函数的几何意义 概率密度

5、的性质 有两个性质 f x ( ) p=1_ a b x 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 10 误差分布的统计方法小结误差分布的统计方法小结 测量样本 点列图 ,1,2, i xin 测量样本 统计直方图 测量总体 概率密度函数图 ,1,2, i xin ( )f x 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 11 四、统计分布特征值四、统计分布特征值 尽管误差分布反映了该误差的全貌， 但在实际使用中更关心代表该误差分 布的若干数字特征量。 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 12 数学期望数学期望 ()( )E Xxfx dx 定义 一阶原点矩，它表示随 机变量分

6、布的位置特征。 它与真值之差即为系统 误差，如果系统误差可 以忽略，则 就是被测 量的真值 1 2 3 三条测量值分布曲线的精密度 相同，但正确度不同。 数学期望代表了测量 的最佳估计值，或相对 真值的系统误差大小 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 13 标准偏差 二阶中心矩，称为X的标准 （偏）差， ，的大小表 征了随机误差的分散程度，即 大部分分布在 范围内，可 作为随机误差的评定尺度 定义 22 ()()( )D Xxf x dx ()D X 123 1 2 3 三条误差分布曲线的正确 度相同，但精密度不同 标准差代表了该测量 条件下的测量结果分散 性的大小，或是该测量 分布

7、的随机误差大小 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 14 偏态系数 120 x f x ( ) 3 0 3 0 定义 3 3 ()( )xf x dx 3 3 3 三阶中心矩， 将 无量纲化，称为偏态 系数， 描述了测量 总体及其误差分布的 非对称程度 3 3 曲线具有正(右)偏态，曲 线具有负(左)偏态 3 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 15 峰态系数 f x ( ) 0 x 4 4 4 3 4 4 ()( )xf x dx 定义 表征了测量 总体及其误差分布的峰 凸程度。 是将 无量 纲化，也称峰度，而 是按标准正态分布归零， 即对于正态分布超越系 数 视为零 4

8、 444 , 4 4 4 4 4 4 3 4 3 4 1.2 较尖峭的分布有 ，较平 坦的分布有 4 0 4 0 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 16 协方差 定义 ( , )()() ( , ) xy Cov x yxyf x y dxdy ( , ) x xf x y dxdy ( , ) y yf x y dxdy 式中 协方差 表示了两变量间的相 关程度 ( , )Cov x y 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 17 相关系数 =10.5= 0.5= _ =0 ( , ) xy Cov x y 定义 表示了两个变量间线性相 关的程度 越小，X，Y之间线性相

9、关程度越小， 取值越大， X，Y之间线性相关程度越大 | | 11 当 ，X与Y正相关， 当 ，X与Y负相关 01 10 线性 相关 正相关 负相关线性不 相关 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 18 数学期望 名称定义 方差 几何意义误差意义 偏态系数 峰态系数 协方差 ()( )E Xxfx dx 位置特征 实际值 正确度 22 ()()( )D Xxf x dx 弥散 分散性， 精密度 3 3 ()( )xf x dx 3 3 3 不对称 误差分布 不对称性 4 4 4 3 4 4 ()( )xf x dx 尖峭 误差分布 尖峭程度 ( , )()() ( , ) xy Co

10、v x yxyf x y dxdy 两误差关 联程度 统计分布常用的特征值统计分布常用的特征值 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 19 第二节第二节 常见测量误差分布常见测量误差分布 本节介绍几种常见的误差分布，包括正态 分布、均匀分布、三角分布、瑞利分布、反 正弦分布、投影分布、分布。 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 20 一、正态分布一、正态分布 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 21 服从正态分布的条件服从正态分布的条件 误差因素多而小，无一个占优，彼此 相互独立（中心极限定理）。 一般认为，当影响测量的因素在15个 以上，且相互独立，其影响程度相当

11、， 可以认为测量值服从正态分布；若要求 不高，影响因素则应在5个（至少3个） 以上，也可视为正态分布。 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 22 概率密度函数概率密度函数 2 2 1 exp 22 x fx 正态分布的密度函数 为测量总体的数学期望，如不计系统误 差，则 即为随机误差 x 为测量总体的标准差，也是 随机 误差的标准差 x 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 23 （1）单峰性：小误差出现的 概率比大误差出现的概率大。 （2）对称性：正误差出现的 概率与负误差出现的概率相等。 （3）抵偿性：随测量次数增 加，算术平均值趋于零。 分布的误差特性分布的误差特性 正

12、态分布的这三个 特点与误差大样本 下的统计特性相符。 但在理论上，正态 分布无界，这也是 正态分布与实际误 差有界性不相符之 处。 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 24 正态分布的置信概率 误差在分布区间 的置信 概率 ,kk 2 2 1 exp( ) 22 k k pdk 2 2 0 2 ( ) 2 z k kedz 式中 3 68.26% 95.45% 99.73% 3 2 2 ( )f x 置信概率 正态积分函数， 已制成正态积分表 ( )k 置信因子 k 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 25 正态分布的某些k值的置信概率 3.3 3.02.582.01.96

13、 1.6451.0 0.6745 0.999 0.99730.99 0.954 0.95 0.90 0.683 0.5 k 0.001 0.0027 0.01 0.046 0.050.100.3170.5 p 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 26 (1) 经典误差理论都是建立在正态分布的基础上。 凡是有3、5个以上的、差不多微小的、独立影响 的合成分布都趋近正态分布。这是被前人早已证 明了的中心极限定理告诉我们的一个事实。 正态分布在误差理论和实践中的地位正态分布在误差理论和实践中的地位 (2) 许多非正态分布可以用正态分布来表示。 (3) 正态分布的概率密度函数具有简单的数学形

14、 式和优良的性质。 (4) 也有不少的误差分布并不能简单地用正态分 布来描述。因而，现代误差理论及其实践需要进 一步研究非正态分布的问题。 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 27 二、均匀分布 若误差在某一范围中出现的概率相等，称其服从 均匀分布，也称为等概率分布。 概率密度函数概率密度函数 1 2( ) 0 a af a 数学期望数学期望 0 方差方差 2 2 3 a 标准方差标准方差 3 a 置信因子置信因子 3 a k o -a a ()f x x 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 28 服从均匀分布的可能情形服从均匀分布的可能情形 (1) 数据切尾引起的舍入误差

15、; (2) 数字显示末位的截断误差 (3) 瞄准误差; (4) 数字仪器的量化误差; (5) 齿轮回程所产生的误差以及基线尺滑轮摩擦 引起的误差； (6) 多中心值不同的正态误差总和服从均匀分布。 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 29 三、三角分布 概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望0 标准方差标准方差 6 a 2 2 0 ( ) 0 ax ax a f x axxa a 当两个分布范围相等的均匀分布，其合成误差 就是三角分布。 f (x) _ _ aax_ 0 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 30 四、反正弦分布 概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望

16、0E 标准方差标准方差 2 a ()f x x 22 1 ( ) 0 axa f x ax 其他 a -a o 服从反正弦分布的可能情形服从反正弦分布的可能情形 度盘偏心引起的测角误差； 正弦（或余弦）振动引起的位移误差； 无线电中失配引起的误差。 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 31 五、瑞利分布 概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望 标准方差标准方差 服从瑞利分布的可能情形服从瑞利分布的可能情形 偏心值 在非负值的单向误差中，由于偏 心因素所引起的轴的径向跳动 刻度盘、圆光栅盘的最大分度误差 2 2 2 2 ( ),0 x a x f xex a 2 a 4 2 a (

17、)f x x 齿轮和分度盘的最大齿距累积误差 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 32 六、贝塔分布 概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望 标准方差标准方差 11 1 ( )1 () ( , ) gh xaxa f x ba B g hbaba bgah gh () ()1 bagh ghgh 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 33 ()f x x (4,4) (0.5,0.5) (2.5,2.5) 在给定分布界限下通 过参数取不同值，贝塔 分布可呈对称分布、非对称 分布、单峰分布、递增或递 减分布等，可逼近常见的正 态、三角、均匀、反正弦、 瑞利等各种典型分布。贝

18、塔 分布具有可逼近各种实际误 差分布的多态性。 , a b ,g h 贝塔分布在理论上就是有界的。 不像正态、瑞利等呈拖尾型分 布，完全符合误差的基本特性 即有界性。 贝塔分布的性质与密度函数图 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 34 常见分布的数字特征量 名称 正态分布 区间半宽度标准差期望等价( , )g h 均匀分布 三角分布 反正弦分布 瑞利分布 3 (0.9973)p 9 (4,4) (1,1) (2.5,2.5) (0.5,0.5) (4,4) a a a 3a 6a 2a 0 0 0 42 2 2 /2A 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 35 第三节常见

19、的统计量分布 本节介绍常用的统计量分布，包括t分布 F分布，分布。 2 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 36 一、分布 定义定义 若为独立服从同分布 的随机误差， 则 (0,1)N 称服从为自由度为的分布。 概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望 标准方差标准方差 2 12 , 2222 12 2 2 ( ) 1 22 2 1 ( )0 22 x f xxex 1 2(1) ( )f x x 20 10 1 4 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 37 二、t分布 定义定义 若随机误差，随机误差，且和 相互独立，则 (0,1)N 2 ( ) t 服从的分布称为自由度

20、为的t分布。 概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望 标准方差标准方差 1 2 2 1 2 ( )1 2 x f x 0 (2) 2 o 5 2 1 ( )f x x 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 38 当自由度足够大时，t分布趋近于正态分布。 t t 分布在误差理论和实践中的应用分布在误差理论和实践中的应用 t分布在研究正态小子样（测量次数较少时），是一 个严密而有效的理论分布。 正态样本的算术平均值构成的如下统计量 服从自由度为的t分布。 / x t sn 1n 其测量算术平均值满足 /2 ( )/)1P xtsnp t分布的临界值 ， 满足 /2( ) 1Pttp 误

21、差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 39 三、F分布 定义定义 若，则 称服从为自由度为的F分布。 12 , 概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望 标准方差标准方差 2 1 11 () 2 222 () 1 2 F 12 ( ,)F 11 12 1 22 12 1 2 122 1 2 2 ( ) 22 1 x f x x 2 2 2 2 2 2 212 2 2 122 2(2) 4 (2) (4) ( )f x x 12 10, 12 10,10 12 10,4 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 40 第四节误差分布的分析与检验 本节介绍确定误差分布规律的几种方法，

22、包括物理来源法，函数关系法以及图形判 断法。最后介绍有关分布检验的知识，包 括正态分布统计检验（夏皮罗-威尔克检验、 偏态系数和峰态系数检验）和一般分布检 验（皮尔逊检验）。 2 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 41 一、误差分布的分析与判断误差分布的分析与判断 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 42 物理来源判断法物理来源判断法 根据测量误差产生的来源，可以判断 其属于何种类型 如其测量受到至少有三个以上独立的、微 小而大小相近的因素的影响，则可认为它 服从或接近正态分布。 测量值在某范围内各处出现的机会相等， 则可认为它服从均匀分布。 误差理论与数据处理 第二章测

23、量误差分布 2- 43 函数关系法函数关系法 利用随机变量的函数关系，来判断误 差属于何种分布。 ()/2 若与都在-a，a内服从均匀分布， 则服从三角分布 (0,)N 22 若与都服从正态分布 ，则 服从偏心分布(瑞利分布) 0 sin()m若服从均匀分布，则 服从 反正弦分布 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 44 图形判断法图形判断法 对重复测量获得的样本数据绘 出频率密度直方图，并与各种常 见的概率密度分布曲线相比较， 判断它与何种分布相接近。 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 45 二、误差分布的统计检验误差分布的统计检验 误差理论与数据处理 第二章测量误差分

24、布 2- 46 什么是统计检验？什么是统计检验？ 1、概念 事先对分布形式作出某种假设 然后利用样本信息来判断原假设是否成立 2、类型 正态分布统计检验 一般分布检验 v夏皮罗-威尔克检验 v偏态系数检验 v峰态系数检验 v皮尔逊检验 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 47 皮尔逊 检验( ) 2 1、提出原假设 00 :( )( )HF xF x 总体 的分布函数 未知 X( )F x 某个已知的分布函数 0( ) F x 2、计算统计量 2 2 1 () m ii i i fnp np 总体中抽取出一个容量为 的 样本 1 2 ,. n x xx n 把整个数轴分成 个区间 m

25、 1121 (,(,(,) m aa aa 频数，样本的观察值落 在第 个区间的个数 i f i 由 计算出总体 在各 区间内取值的概率 X 101 001 01 () ( )() 1() iii mm pF a pF aF a pF a 2,3,4,1im 0( ) F x 50n 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 48 检验(续) 2 3、在给定显著性水平 下，由分布表查得临界 值 。 4、作出决策。 2 (1)m 若 ，拒绝，则认为 。 反之， 0 H 22 (1)m 0 ( )( )F xF x 0 ( )( )F xF x 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 4

26、9 皮尔逊检验(分布中含有参数) 1、提出原假设 0012 :( )( ,) k HF xF x 总体 的分布函数 未知 X( )F x 某个已知形式的分布函数， 未知参数 012 ( ,) k F x 12 , k 2、计算统计量 2 2 1 () m ii i i fnp np 总体中抽取出一个容量为 的样本 12 ,. n x xxn 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 50 在 下利用样本给出 的极大似然估计 0 H i (1) j jk 把整个数轴分成 个区间 m 1121 (,(,(,) m aa aa 频数，样本的观察值落在第 个区间的个数 i f i 由 计算出总体

27、在各区间内取值的概率 X 10112 0120112 0112 ( ,) ( ,)(,) 1(,) k iikik mmk pF a pF aF a pF a 2,3,4,1im 3、在给定显著性水平 下，由分布表查得临界值 4、作出决策。 2 (1)mk 若 ，拒绝 0 H 22 (1)mk 012 ( ,) k F x 皮尔逊检验(续) 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 51 【例【例2-12-1】 用阿贝比较仪测量某轴承直径 100次，依次测 得 ， 的数据见下所列， 的单位 0.1 。检验 是否服从正态分布。 l 299950 ii ll i l i l ml 0 -5 1

28、1 -10 17 -3 -13 6 4 7 1 -5 -6 -3 13 -1 -1 5 9 7 -3 9 -8 3 -2 -24 -30 -2 1 -2 4 2 -5 -13 1 -7 -1 0 -4 -7 0 7 17 5 10 0 -2 6 3 8 6 -3 -3 -10 0 5 2 -8 0 4 2 2 6 -11 5 2 7 -1 12 0 -19 10 -1 7 9 2 -5 14 -6 -5 8 3 8 -9 4 -5 -8 8 -8 4 -13 -9 -10 -10 2 13 2 -4 6 -7 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 52 计算步骤 【解】【解】 检验 2

29、 0 : ( ,)HlN 由于 中含有未知参数，故需先进行参数估计。在 正态分布下， 和 的极大似然估计为 0 H 2 299950 100 i l l 222 1 ()8.06 1 i ll n 将 取值分成8组，然后计算概率 l ip 1 10299950 (10299950) pP l 1 1 ()2,7 ii iii xx pP xlxi 8 10299950 (10299950)1 pPl 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 53 计算结果 10l 510l 25l 02l 20l 52l 105l 10l 频数 i fipinp ii fnp 2 () ii i fnp

30、np i l 70.10710.75-3.751.31 150.16016.01-1.010.06 130.13313.37-0.370.08 90.0989.87-0.870.08 100.0989.870.130 160.13313.372.630.52 210.16016.014.991.56 90.10710.75-1.750.28 1003.82 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 54 结论 给定显著性水平 ，自由度8-2-1=5,由 分布表查得临界值 0.05 2 0.05(5) 11.1 2 因为 2 0.05(5) 11.13.82 所以，接受 ，故可认为这些测量服

31、从正态分布 0 H 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 55 夏皮罗威尔克检验 夏皮罗-威尔克检验又称W检验 时检验效果最佳，并且计 算简便。 350n 只能用于正态性检验 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 56 W检验的实施步骤 从总体中抽取出一个容量为 的样本 1 2 ,. n x xxn (1) 将样本的观测值按由小到大排列成为其次 序统计量 (1)(2)( )n xxx (2) 计算检验统计量 2 2 (1)( ) 1 2 1 () n inn ii i n i i xx W xx (3) 查表。由夏皮罗-威尔克值表查出 ， 为 给定的显著性水平； ( ,)W n

32、 (4) 判断。若 ，则拒绝正态性假设( ,)WW n 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 57 【例【例2-22-2】 用夏皮罗-威尔克法检验该组数据是否来自正态分布。 将某量独立测得结果按从小到大排列成（n=10） 108，109，110，110，110，112，112，116， 119，124 【解】【解】查夏皮罗-威尔克系数 表得出 in 1,10 0.5739 2,10 0.3291 3,10 0.2141 4,10 0.1224 5,10 0.0399 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 58 计算结果 计算 5 (1)( ) 1 (10)(1)(9)(2)(8

33、)(3) (7)(4)(6)(5) () 0.5379()0.3291()0.2141() 0.1224()0.0399() 14.0826 inn ii i xx xxxxxx xxxx 10 2 1 ()236 i i xx 2 14.0826 0.840 236 W 给定显著性水平 ，查表得0.05(10,0.05)0.842W 因为， ，故拒绝正态性假设 0.840(10,0.05)WW 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 59 偏态系数检验 (1) 给出备择假设 （正偏）或 （负偏） 1 :0 s H 1 :0 s H (2) 计算检验统计量 3 3 2 s m b m 2

34、 2 1 1 () n i i mxx n 3 3 1 1 () n i i mxx n (3) 查表。 根据显著性水平 和样本容量 ，由 偏态统计量的分位数表查出 (4) 判断。当备择假设为 时，若 ， 则拒绝正态性假设；当备择假设为 时， 若 ，则拒绝正态性假设 n 1 Z 1 :0 s H 1s bZ 1 :0 s H 1s bZ 误差理论与数据处理 第二章测量误差分布 2- 60 【例【例2-32-3】 有下列一组测量数据，确定这批数据是否来自正态 分布 -0.40 -1.80 -2.14 0.40 -1.40 0.67 -1.40 -1.51 1.40 -1.40 -1.38 -1.40 1.20 -2.14 -0.60 -2.33 1.24 -0.40 -0.32 -0.22 -1.60 -1.40 -0.51 -0.20 -1.40 -1.72 -1.60 -1.20 -1.80 1.20 -1.40 -0.80 -1.72 -0.71 -1.40 -1.20 -1.91 -0.69 -1.60 -