空间向量的加减法和数乘向量

1、 复习回顾： 平面向量 1、定义： 既有大小又有方向的量。 几何表示法:用有向线段表示 字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量 A B C D 平面向量的加减法与数乘运算平面向量的加减法与数乘运算 向量的加法： a b a+b 平行四边形法则 a b a+b 三角形法则 向量的减法向量的减法 a b a-b 三角形法则 向量的数乘向量的数乘 a ka （k0） ka （k0)k a (k0)k a (k0)k 空间向量的数乘 空间向量的加减法 a b a b OA B b 因此凡是涉及空间任意因此凡是涉及空间任意两个向

2、量的问题，平面向量中有向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。 思考：空间任意两个向量经过平移一定共面？思考：空间任意两个向量经过平移一定共面？ 平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 定义 表示法 相等向量 减法:三角形法则 加法:三角形法则或 平行四边形法则 空间向量及其加减与数乘运算 空间向量 具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零 bkakbak )( )()(cbacba abba加法交换律 加法结合律 数乘分配律 abba加法交换律 bkakbak )( 数乘分配律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 数乘:ka,

3、k为正数,负数,零 加法结合律 成立吗？ a b c O A B C ab+ a b c O A B C bc+ ( (空间向量空间向量) ) ab+ c + ( ) ab+ c +( ) ( ( a + + b )+ )+ c = = a +( +( b + + c ) ) 向量加法结合律：向量加法结合律： 空间中空间中 推广: （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； nnn AAAAAAAAAA 11433221 （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 0 1433221 AAAAAAAA n 也叫封口向量 平面向量 概念

4、 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 定义 表示法 相等向量 减法:三角形法则 加法:三角形法则或 平行四边形法则 空间向量 具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零 bkakbak )( )()(cbacba abba加法交换律 加法结合律 数乘分配律 小结 abba加法交换律 bkakbak )( 数乘分配律 )()(cbacba 加法结合律 类比思想 数形结合思想 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘空间向量的运算法则数乘空间向量的运算法则 例如例如: : a 3 a 3a 定义定义: 我们知道平面向量还有数乘运算我们知道平面向量还有数乘运算. . 类似地类似地, ,同样可以定

5、义空间向量的数乘运算同样可以定义空间向量的数乘运算, , 其运算律是否也与平面向量完全相同呢其运算律是否也与平面向量完全相同呢? ? 显然显然,空间向量的数乘运算满足分配律空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律及结合律 () () () a bab aaa aa 即： （） 其中 、 是实数。 例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图) AB CD A1B1 C1D1 1 1 1 2 1 )4( )( 3 1 )3( )2( )1 ( CCADAB AAADAB AAADAB BCAB AB CD

6、 AB CD A1B1 C1D1 AB C D a 平行六面体：平行四边形ABCDABCD平移向量 到A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的轨迹所形成的几何体. a 记做ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图) AB CD A1B1 C1D1 G 1 1 1 2 1 )4( )( 3 1 )3( )2( )1 ( CCADAB AAADAB AAADAB BCAB ;)1 (ACBCAB解： 1111 )2(ACCC

7、ACAAACAAADAB M 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量 F1 F2 F1=10N F2=15N F3=15N F3 例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1， 求满足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 111 111 )3( 2 )2( ACxADABAC ACxBDAD ACxCCDAAB 1111 ) 1 ( 例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1， 求满足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1

8、CCDAAB 1111 ) 1 (解 . 1 1111 x AC CCCBAB 111 111 )3( 2 )2( ACxADABAC ACxBDAD ACxCCDAAB 1111 ) 1 ( 例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1， 求满足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 11 2 )2(BDAD 111 BDADAD )( 111 BDBCAD 111 CDAD 1 AC 111 2 )2(ACxBDAD . 1x 111 )3(ACxADABAC 例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D

9、 D1 1， 求满足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 11 ) 3 (ADABAC )()()( 11 ADAAABAAABAD )( 2 1 AAABAD 1 2AC 111 )3(ACxADABAC . 2x A B M C G D )( 2 1 )2( )( 2 1 ) 1 ( ACABAG BDBCAB 练习1在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中, ,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点, ,化简化简 A B M C G D )( 2 1 )2( )( 2 1 ) 1 ( ACABAG BDBCAB AGMGBMAB原式) 1 (

10、)( 2 1 ACABMGBMAB (2)原式 )( 2 1 ACABMGBM MG MBMGBM 练习1在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中, ,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点, ,化简化简 A B C D D CB A ) ( ) 1 ( CCBCABxAC ADyABxAAAE ) 2 ( 练习2在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心 的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y. E A B C D D CB A ) ( ) 1 ( CCBCABxAC ADyABxAAAE ) 2 ( 练习2 E

11、在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心 的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y. A B C D D CB A ADyABxAAAE ) 2 ( 练习2 E 在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心 的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y. 例例3、给出以下命题：给出以下命题： （1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； （2）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 ； （3）在正方体）在正方体 中，必有中，必有 ； （4）若空间向量）若空

12、间向量 满足满足 ，则，则 ； （5）空间中任意两个单位向量必相等。）空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是（其中不正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 a b 、 ab | |ab 1111 ABCDABC D 11 ACAC m n p 、 、,mn np mp C 化简结果的向量：列向量表达式，并标出 ，化简下已知平行六面体DCBAABCD ；BCAB ；AAADAB AB C D A B C D 练习练习 (4)ACD BDC (3)ABCB AA ABCDA B C D例2、 已知平行六面体，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量： ；BCAB

13、解： AB C D A B C D BCAB AC ；AAADAB AAADAB AAAC CCAC AC (4)ACD BDC (3)ABCB AA DB AB 练习练习 ABCDA B C D例2、 已知平行六面体，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量： ；BCAB 解： AB C D A B C D BCAB AC ；AAADAB AAADAB AAAC CCAC AC 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量 (4)ACD BD

14、C (3)ABCB AA DB AB 练习练习 AB C D A B C D ,ABCDA B C D 变式：变式： 已知平行六面体已知平行六面体 则下列四式中：则下列四式中： 其中正确的是其中正确的是 。 (1); (2); (3); (4). ABCBAC ACABB CCC AACC ABBBBCC CAC (1)(2)(3) 例例4、在正方体在正方体 中，下列各式中中，下列各式中 运算的结果为向量运算的结果为向量 的共有（的共有（ ） 1111 ABCDABC D 111111 11111111 (1)();(2)(); (3)();(4)(). ABBCCCAAA DD C ABBB

15、B CAAA BB C A.1 B.2 C.3 D.4 1 AC 变式：变式： ()() (2) ABCDACBD ABCBADAD 化简：(1) D 0 AC a c b 向量共线定理向量共线定理 由此可判断由此可判断空间中两直线平行或三点共线空间中两直线平行或三点共线问题问题 中点公式：中点公式： 若若P为为AB中点中点, , 则则 1 2 OPOAOB O A B P A、B、P三点共线的充要条件三点共线的充要条件 A、B、P三点共线三点共线 APt AB A(1)OP xOyOB x y 共面向量定义共面向量定义 平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做叫做共面向量共面向量.

16、 . 注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量任意三个向量 既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面 d b a c 由平面向量基本定理知，如果由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的是平面内的两个不共线两个不共线的向量，那么的向量，那么 对于这一平面内的任意向量对于这一平面内的任意向量 ，有且有且 只有一对实数只有一对实数 ， 使使 如果空间向量如果空间向量 与两不共线向量与两不共线向量 ， 共共 面，那么可将三个向量平移到同一平面面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则，则 有有 byxp a p b 那么什么情况下空间三个向量共

17、面呢？那么什么情况下空间三个向量共面呢？ 2211 eea 1 e 2 e 1 2 a a 1 e 2 e 反过来，对空间任意两个不共线的向量反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如，如 果果 ，那么向量，那么向量 与向量与向量 , 有什么位有什么位 置关系？置关系？ a b byxpa b ,xa ybab 分别与 ， 共线， ,xa ybab 都在 ， 确定的平面内 ab 并且此平行四边形在 ， 确定的平面内， ,pxaybabpab 在 ， 确定的平面内即 与 ， 共面 a b AB P p C p 共面向量定理共面向量定理：如果两个向量：如果两个向量 ， 不共线不共线， pxayb a b p a b 则向量则向量 与向量与向量 ， 共面的充要共面的充要条件是条件是 存在唯一的实数对存在唯一的实数对x,y使使 a b A B P p C O Aa b B C P p C 空间四点空间四点P、A、B、C共面共面 存存在在唯唯一一实数对 实数对 , （） 使得xyAPxAByAC (1) 其中，OPxOAyOBzOCxyz .,CDc , b, a cAD b a BDAC BCA