高数微积分方向导数梯度

1、2021/3/10讲解：XX1 引例：引例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比在温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？到达较凉快的地点？ 问题的问题的实质实质：应沿：应沿由热变冷变化最骤烈由热变冷变化最骤烈的方向的方向 （即梯度方向）爬行（即梯度

2、方向）爬行 第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度 一、问题的提出一、问题的提出 2021/3/10讲解：XX2 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方向沿某一方向 的变化率问题的变化率问题 ),(yxfz 二、方向导数的定义二、方向导数的定义 引射线内有定义，自点 的某一邻域 在点设函数 lP PUyxP yxfz )(),( ),( 00 ).P( ),(, 00 UPl yyxxP lx 上的另一点且为 并设为 的转角轴正向到射线设 o y x l P x y p 2021/3/10讲解：XX3 | |PP线段长 ,)()( 22 yx ),(),( 00 yxfyyxxfz函数增

3、量 当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时， P Pl ),(),( lim 00 0 yxfyyxxf 研究 ,称为平均变化率其比值 z 是否存在？是否存在？ o y x l P x y p 2021/3/10讲解：XX4 . ),(),( lim 0000 0 P yxfyyxxf l f 的方向导数沿方向则称这极限为函数在点 在，时，如果此比的极限存趋于沿着当 之比值，两点间的距离 与函数的增量定义： lP PlP yxPP yxfyyxxf 22 0000 )()( ),(),( 记为记为 在偏导数存在的前提下在偏导数存在的前提下 2021/3/10讲解：XX5 证明证明: 由于函数可微，则

4、增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为 )(),(),( oy y f x x f yxfyyxxf 两边同除以两边同除以 ,得到得到 coscos 是方向余弦是方向余弦 2021/3/10讲解：XX6 sin cos 故有方向导数故有方向导数 ),(),( lim 0 yxfyyxxf coscos . ff xy l f )(),(),(oy y fx x fyxfyyxxf coscos亦等于亦等于 .sincos y f x f 2021/3/10讲解：XX7 x z y 0 l y x z z l f l z PP 0 lim 00 P P0 z = f (x,y) x y )()

5、( lim y,xfyy,xxf Q )()( lim 0 0 PfPf M 是曲面在是曲面在 点点P0 处沿处沿方向方向l 的变化率，的变化率， 即半切线即半切线 0 P l z MN 方向导数方向导数 方向导数的几何意义方向导数的几何意义 的斜率的斜率. N （ 看成是割线，看成是割线， 切线是割线的极限位切线是割线的极限位 置）置） QM 2021/3/10讲解：XX8 例例 1 1 求求函函数数 y xez 2 在在点点)0 , 1(P处处沿沿从从点点)0 , 1(P 到到点点)1, 2( Q的的方方向向的的方方向向导导数数. 解：解： ; 1 )0, 1( 2 )0, 1( y e

6、x z , 22 )0, 1( 2 )0, 1( y xe y z ) 2 1 (2 2 1 0, 1 l z . 2 2 所求方向导数所求方向导数 2 1 cos, 2 1 cos 2021/3/10讲解：XX9 解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1( )1 , 1( yx ff l f 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知 ,sin)2(cos)2( )1 , 1()1 , 1( xyyx sincos ), 4 sin(2 2021/3/10讲解：XX10 ), 4 sin(2 故故 （1）当当 4 时时， 方方向向导导数数达达到到最最大大值值2; （2）当当 4 5 时

7、时， 方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ; （3）当当 4 3 和和 4 7 时时，方向导数等于方向导数等于 0. 2021/3/10讲解：XX11 , ),(),( lim 0 zyxfzzyyxxf l f 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义 （ 其其中中 222 )()()(zyx ） 2021/3/10讲解：XX12 .coscoscos z f y f x f l f ,cos x,cos y,cos z 2021/3/10讲解：XX13 解解令令, 632),( 222 zyxzyxF , 44 PP x xF, 66 P P y yF, 22 PP

8、 z zF 故故),( zyx FFFn )2 , 6 , 4( ,142264 222 n 方向余弦为方向余弦为 2021/3/10讲解：XX14 , 14 2 cos , 14 3 cos . 14 1 cos P P yxz x x u 22 86 6 ; 14 6 P P yxz y y u 22 86 8 ; 14 8 P P z yx z u 2 22 86 .14 P P z u y u x u n u )coscoscos( . 7 11 故故 2021/3/10讲解：XX15 三、梯度的概念三、梯度的概念 ?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问

9、题问题P 2021/3/10讲解：XX16 coscos y f x f l f )cos,(cos),( y f x f eyxgradf ),( ,cos| ),(| eyxgradf 其其中中),( ,e yxgradf l f 有最大值有最大值. 由由方方向向导导数数公公式式知知 ,cos| ),(| yxgradf 2021/3/10讲解：XX17 结论：结论：沿梯度方向的方向导数取得最大值，沿梯度方向的方向导数取得最大值， 即即函数沿梯度方向增长最快，函数沿梯度方向增长最快， 这个最大值等于这点处梯度的模。这个最大值等于这点处梯度的模。 22 )()(| ),(| yx ffyxg

10、radf 2021/3/10讲解：XX18 三三元元函函数数),(zyxfu 在在空空间间区区域域 G 内内具具有有 一一阶阶连连续续偏偏导导数数，则则对对于于每每一一点点GzyxP ),(， 都都可可定定义义一一个个向向量量(梯梯度度) ).,(),( z f y f x f k z f j y f i x f zyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向 与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的 最大值最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数 2021/3

11、/10讲解：XX19 面上的投面上的投在在曲线曲线xoy Cz yxfz ),( CyxfL ),(: * 影影称为函数称为函数 f f 的的等值线等值线 . . ,不同时为零不同时为零设设 yx ff则则L L* *上点上点P P 处的法向量为处的法向量为 Pyx ff),( P fgrad o y x 1 cf 2 cf 3 cf )( 321 ccc设 P 同样同样, , 对应函数对应函数, ),(zyxfu 有有等值面等值面( (等量面等量面) ),),(Czyxf 当各偏导数不同时为零时当各偏导数不同时为零时, , 其上其上 点点P P处的法向量为处的法向量为 .grad P f ,

12、 ),(yxfz 对函数对函数 2021/3/10讲解：XX20 函数在一点的函数在一点的梯度垂直于该点等值面梯度垂直于该点等值面( (或等或等高高线线) ,) , 指向函数增大的方向指向函数增大的方向 梯度的几何意义：梯度的几何意义： 梯度的方向与等值面（或者等高线）梯度的方向与等值面（或者等高线）该点的法线该点的法线的的 一个方向一个方向相同相同 （从数值低的等高线指向数值高的）（从数值低的等高线指向数值高的）. 看书看书p46图图 2021/3/10讲解：XX21 等高线的画法等高线的画法 2021/3/10讲解：XX22 图形及其等高线图形图形及其等高线图形函数函数xyzsin 例如例

13、如, 2021/3/10讲解：XX23 例例 4 4 求求函函数数 yxzyxu2332 222 在在点点 )2 , 1 , 1 (处处的的梯梯度度，并并问问在在 哪哪些些点点处处梯梯度度为为零零？ 解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得 ),(),( z u y u x u zyxgradu )6 , 24 , 32(zyx 故故)12, 2 , 5()2 , 1 , 1( gradu 在在)0 , 2 1 , 2 3 ( 0 P处梯度为处梯度为 0. 2021/3/10讲解：XX24 势与势场 向量函数gradf(M)确定了一个向量场(梯度场), 它是 由数量场f(M)产生的. 通常称函数

14、f(M)为这个向量场的势, 而这个向量场又称为势场. 必须注意, 任意一个向量场不一定是势场, 因为它不 一定是某个数量函数的梯度场. 四. 数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的 数量f(M), 则称在这空间区域G内确定了一个数量场. 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的 向量F(M), 则称在这空间区域G内确定了一个向量场. 2021/3/10讲解：XX25 解 32 )( r mx x r r m r m x 同理 3 )( r my r m y 3 )( r mz r m z 从而 )( 2 kji r z r y r x r m r m grad

15、 记kjie r z r y r x r 它是与 r r m r m e 2 grad 32 )( r mx x r r m r m x )( 2 kji r z r y r x r m r m grad 它是与 OM同方向的单位向量 则 m r 试求的梯度.试求的梯度. 222 ,rOMxyz 例例5 设质量为设质量为 m 的质点位于原点的质点位于原点, 质量为质量为 1 的质点的质点 位于位于 ( , , ),M x y z 记记 2021/3/10讲解：XX26 它表示两质点间的引力它表示两质点间的引力, 方向朝着原点方向朝着原点, 大小与质量大小与质量 的乘积成正比的乘积成正比, 与两

16、点间距离的平方成反比与两点间距离的平方成反比. m r 这说明了引力场是数量场这说明了引力场是数量场 的梯度场的梯度场, 因此因此常称常称 m r 为为引力势引力势. 2021/3/10讲解：XX27 1 1、方向导数的概念、方向导数的概念 2 2、梯度的概念、梯度的概念 3 3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系 （注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别） （注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量） 小结小结 . ),( 最最快快的的方方向向 在在这这点点增增长长梯梯度度的的方方向向就就是是函函数数yxf 2021/3/10讲解：XX28 思考题思考题

17、 x fxf x z x )0 , 0()0 ,( lim 0 )0,0( . | lim 0 x x x 同同理理： )0,0( y z y y y | lim 0 故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在. 答答 2021/3/10讲解：XX29 ( , )lx y 沿沿任任意意方方向向的的方方向向 )0 , 0()0 ,0( lim )0,0( fyxf l z 1 )()( )()( lim 22 22 yx yx 所以沿着任意方向的方向导数都存在且相等所以沿着任意方向的方向导数都存在且相等 导数导数 2021/3/10讲解：XX30 思考与练习思考与练习 1. 设函数 z yxzyx

18、f 2 ),( (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 12 3 2 tz ty tx 在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 . 2021/3/10讲解：XX31 ,),( 2z yxzyxf曲线 12 3 2 tz ty tx 1. (1)在点 )3,4, 1 ( 1d d , d d , d d tt z t y t x )1 , 1 , 1( coscoscos zyx M fff l f 26 6 解答提示解答提示: 函数沿 l 的方向导数 l M (1,1,1) 处切线的方向向量 2021/3/10讲解：XX32 )0,1,2(grad)2( M f M M f l f grad 130 6 130 6 arccos M fgrad l cos M fgradl 2021/3/10讲解：XX33 2. 函数 )ln