材料力学 第十一章压杆稳定(3,4)

1、一、欧拉公式的应用范一、欧拉公式的应用范 10-3 压杆的临界应力及临界应力总图压杆的临界应力及临界应力总图 1.1.推导欧拉公式的条件推导欧拉公式的条件 推导欧拉公式时使用了小变形假设，导出了挠推导欧拉公式时使用了小变形假设，导出了挠 曲线的近似微分方程曲线的近似微分方程 EIvM x ( ) 在推导该方程时在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，欧拉应用了胡克定律。因此，欧拉 公式也只有在满足胡克定律时才能适用：公式也只有在满足胡克定律时才能适用： （1 1）小变形）小变形 （2 2）线弹性）线弹性 p 2. 2. 压杆的临界应力压杆的临界应力 3.3.欧拉公式的应用范欧拉公式的应用范 P

2、EI l cr 2 2 () cr cr P A 2 2 EI lA() 22 2 E i A lA () () 2 2 )/(il E 令 l i 则 cr E 2 2 crp E 2 2 压杆的长细比压杆的长细比 压杆的柔度压杆的柔度 计算压杆的临界计算压杆的临界 应力的欧拉公式应力的欧拉公式 p E 或写成 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 满足该条件的杆称为细长杆（或大柔度杆）满足该条件的杆称为细长杆（或大柔度杆） p p E 记 p 称为临界柔度称为临界柔度 称为小柔度杆，欧拉公式不适用称为小柔度杆，欧拉公式不适用 p 二二. .临界应力总图临界应力总图 1.1.欧拉临界应力曲线

3、欧拉临界应力曲线 cr E 2 2 p 大柔度杆大柔度杆 p CL13TU20 l i cr O cr E 2 2 坐标系中做出曲线在 cr 曲线没有实际意义 pcr s s 结构钢的临界柔度值结构钢的临界柔度值 100 p p E 研究表明结构钢研究表明结构钢30 时压杆主要是强度不足时压杆主要是强度不足 造成破坏，这时的柔度造成破坏，这时的柔度 记为记为 。 s 2.临界应力总图临界应力总图 称为中柔度杆称为中柔度杆 cr ab cr E 2 2 s s a b p l i cr O 小柔度杆小柔度杆中柔度杆中柔度杆大柔度杆大柔度杆 s p ps 失稳前发生塑性变形失稳前发生塑性变形 采用

4、直线型临界应力的经验公式采用直线型临界应力的经验公式 cr a b 13-4 13-4 压杆的稳定计算压杆的稳定计算 一一. .压杆的稳定条件压杆的稳定条件 P P n cr st max P max P cr t s n n P P n st cr st max nst 稳定性条件也可以表示成稳定性条件也可以表示成 -为压杆实际的工作稳定安全系数。为压杆实际的工作稳定安全系数。 -压杆所受最大工作载荷压杆所受最大工作载荷 -压杆的临界压力压杆的临界压力 -压杆的规定稳定安全系数压杆的规定稳定安全系数 二二. .折减系数折减系数 st cr st n st cr n 令 压杆稳定条件压杆稳定条

5、件 st A F 即 三三. .钢截钢截 面分类表面分类表 1. TC15、TC17和TB20 四四. .木杆的折减系数木杆的折减系数 2 ) 80 (1 1 75 2 3000 75 2. TC11、TC13、TB17和TB15 2 ) 65 (1 1 91 2 2800 91 解：解： 例例11-1TC1311-1TC13的圆送木长的圆送木长L=6m,D=300mm,L=6m,D=300mm,允允 许应力为许应力为10MPa,10MPa,计算如图扒杆的许可压力。计算如图扒杆的许可压力。 （1 1）求临界柔度）求临界柔度 80, 1 1 1 i l p 面内失稳 160, 2 2 2 i l

6、 p 面外失稳 （2 2）计算许可压力）计算许可压力 109. 0 2800 2 26 ) 3 . 0( 4 )1010(109. 0 AF NF 3 1077 例例11-211-2柱高柱高L=7mL=7m，下、上两端分别与基础，下、上两端分别与基础 和梁连接和梁连接, ,取长度因数取长度因数1.31.3。柱由两根。柱由两根Q235Q235槽槽 钢组合而成。两端用螺栓和基础与梁钢组合而成。两端用螺栓和基础与梁 相连，同一截面有直径为相连，同一截面有直径为30mm30mm螺孔螺孔4 4个。个。 柱的轴向压力柱的轴向压力70KN, 70KN, ，选择，选择 槽钢型号。槽钢型号。 分析分析：选择槽钢

7、截面时先满足稳定选择槽钢截面时先满足稳定 条件而后在孔削弱处作强度校核。条件而后在孔削弱处作强度校核。 MPa170 L 欲求欲求A,A,需知需知I,I,既而要求得到既而要求得到值。要值。要 知道知道需知需知,既而要求得到既而要求得到w w值。值。 欲知欲知w w=()=()必须先计算必须先计算 出出A=A=w w=F/A=F/A。按此将无法求解。按此将无法求解。 做法：做法： 0 0 i A i i A i 1 1 1 1 1 10 0(?),(?),继续或结束。继续或结束。 稳定计算框图稳定计算框图 估计估计0 根据根据= ()求求 由由=L/i求求i 由由i求面积求面积A 由面积由面积A

8、求求i1 1 0 )(A pc E/跟据材料求 Y 1.1.选槽钢型号选槽钢型号 （2 2）求）求A A 解：解： 令令0=0.5w w= = 0 =85MPa=85MPa 24 6 3 109 .15 101705 . 02 10270 2 m F A w (3)选槽钢选槽钢选选14a槽钢槽钢iz=55.2mm （4）复核）复核=L/iz=1.37000/55.2=174 1=0.232 结论：结论：0=0.5过大。过大。 (5)(5)设设= (0+ 1)/2=0.366 不可取不可取1=0.232 做法：做法： w w A i A i 按按(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)和和(4)

9、(4)步骤步骤 w w= = =62.22MPa.=62.22MPa. 23 6 3 1017. 2 1022.622 10270 2 m F A w (1)(1)设设0求求w w 2.2.确定组合截面间距确定组合截面间距 （6 6）试算）试算 2=0.327 取取2=0.327，按前述算法，按前述算法 w w= = 2 =55.6MPa=55.6MPa 24 6 3 1000242. 0 106 .552 10270 2 m F A w A=0.002515m2 =F/A=53.6MPa=F/A=53.6MPa 允许选允许选1616号槽钢号槽钢 iy=18.2mmiz=61mm (55.6-

10、53.6)/53.6=3.7%(55.6-53.6)/53.6=3.7% 选选16a槽钢槽钢iz=62.8mm=L/iz=145 选选16槽钢槽钢 2 2 2 2 )( 22 0 l IE l EI zy 2 / 0 zy II 222 0 2 /) 2/( 00 zyy AihzAAiI 0 222 00 )/(2/ziih yz 例例11-211-2托架托架ABAB杆是圆管，外径杆是圆管，外径D=50mmD=50mm，两端为球铰，两端为球铰， 材料为材料为A A3 3钢，钢，E=206GPa,E=206GPa, p p=100=100。若规定。若规定nnst st=3, =3,试确试确 定

11、许可荷载定许可荷载Q Q。 （1 1）分析受力）分析受力解：解： B A C 1500 Q D 500 30o 取取CBDCBD横梁研究横梁研究 NAB Q C B 02000150030sin:0 0 QNm ABc AB NQ 8 3 (2)(2)计算计算 并求临界荷载并求临界荷载 4/)( 64/)( 22 44 dD dD A I i mm dD i16 4 22 11730 30cos 1500 0 mmlAB 108 16 17301 i l A3A3钢，钢，p=100,p=100,pp，用欧拉公式，用欧拉公式 kNNA E P cr 54.1211054.121 3 2 2 (3

12、)(3)根据稳定条件求许可荷载根据稳定条件求许可荷载 st cr n N p 由：kN n p N st cr 5 .40 3 54.121 kNNQ2 .155 .40 8 3 8 3 mm h i94.21 12 例例11-311-3机车连杆，已知：机车连杆，已知：P=120kN,l=200cm,P=120kN,l=200cm, l l1 1=180cm,B=2.5cm,h=7.6cm=180cm,B=2.5cm,h=7.6cm。材料为。材料为A3A3钢钢 E=206GPa,E=206GPa,若规定若规定nst=2nst=2，试校核稳定性。，试校核稳定性。 结构如图所视结构如图所视 解解.

13、 求求： (1)xy(1)xy平面内失稳，平面内失稳，z z为为 中性轴：中性轴： =1=1 bh bh A I i z 12/ 3 2 .91 194.2 2001 1 1 i l （a a） l=200 P P x y y x l1=180 b z x （b b） bh hb A I i y 12/ 3 7 .124 7217 . 0 1805 . 0 2 1 2 i l 由于由于1 12 2，故先在，故先在xzxz平面内，以平面内，以y y为为 中性轴弯曲中性轴弯曲 cm b i7217. 0 12 （2 2）xzxz平面内失稳，平面内失稳， y y为中性轴：为中性轴： =0.5=0.5

14、 l1=180 b z x （b b） bh hb A I i y 12/ 3 7 .124 7217 . 0 1805 . 0 2 1 2 i l 由于由于1 12 2，故先在，故先在xzxz平面内，以平面内，以y y为为 中性轴弯曲中性轴弯曲 cm b i7217. 0 12 p=100p=1002 2 MPa E cr 7 .130 2 2 实际工作应力：实际工作应力： MPa bh P 16.63 076. 0025. 0 120000 st crcr n P p n07. 2 16.63 7 .130 满足稳定条件。满足稳定条件。 .求临界应力、校核稳定性：求临界应力、校核稳定性：

15、用欧拉公式用欧拉公式 p=100p=1002 2 MPa E cr 7 .130 2 2 实际工作应力：实际工作应力： MPa bh P 16.63 076. 0025. 0 120000 st crcr n P p n07. 2 16.63 7 .130 满足稳定条件。满足稳定条件。 例例11-411-4图示结构，图示结构，CFCF为铸铁圆杆，直径为铸铁圆杆，直径d1=10cmd1=10cm c c=120MPa,E=120GPa=120MPa,E=120GPa。BEBE为为A3A3钢圆杆钢圆杆, , 直径直径d2=5cmd2=5cm， =160MPa,E=200GPa, =160MPa,E=200GPa, 横梁视为刚性，求许可荷载横梁视为刚性，求许可荷载P P。 解：解：1 1、结构为一次、结构为一次 超静定，求杆内力超静定，求杆内力 aaa D E F C P B A D C P BA Ns Nc 0642 :0 PNN M cs A BCBE 2 1 变形条件：变形条件： 代入 EA N 2929 1 . 0 4 14. 3 10120 2 2 1 05. 0 4 14. 3 10200 2 cs NN 代入第一式后求解得：代入第一式后求解得： PNP