线性代数B 矩阵的秩.

1、 秩秩( (rankrank) )是矩阵更深层的性质，是是矩阵更深层的性质，是 矩阵理论的核心概念矩阵理论的核心概念 秩秩是是德国数学家德国数学家弗洛贝尼乌斯弗洛贝尼乌斯在在 18791879年首先提出的年首先提出的 矩阵的秩矩阵的秩是是讨论线性方程组解的存讨论线性方程组解的存 在性、向量组的线性相关性在性、向量组的线性相关性等问题等问题 的重要工具的重要工具 矩阵的秩矩阵的秩 课本2.6 矩阵的秩 一、矩阵的一、矩阵的秩的概念秩的概念 二、矩阵的二、矩阵的秩的求法秩的求法 nm r OO OE F m n A r 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 r 行最简形矩阵行最简形矩阵 c 标准形标准形 (形

2、式不唯一形式不唯一) (形式唯一形式唯一) 矩阵常用的三种特殊的等价形式：矩阵常用的三种特殊的等价形式： 标准形由标准形由数数r r完全确定完全确定，r r也就是也就是A A的的行阶梯形中行阶梯形中非零非零 行的行数行的行数 这个数便是这个数便是矩阵矩阵A A的秩的秩. . 一、矩阵的秩的概念一、矩阵的秩的概念 nm r OO OE F m n A r 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 r 行最简形矩阵行最简形矩阵 c 标准形标准形 (形式不唯一形式不唯一) (形式唯一形式唯一) 矩阵常用的三种特殊的等价形式：矩阵常用的三种特殊的等价形式： 由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可由于矩阵的等价

3、标准形的唯一性没有给出证明，也可 以以借助行列式来定义矩阵的秩借助行列式来定义矩阵的秩 一、矩阵的秩的概念一、矩阵的秩的概念 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9 A 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9 A 1 1、k k 阶子式阶子式 例如例如 1 1 3 1 是是 A的一个二阶子式的一个二阶子式. . 说明说明 m n矩阵的矩阵的k阶子式阶子式有有 个个.C k nC k m (1,1)k mk n 定义定义1 在在m n矩阵矩阵A中中 任取任取 k 行行 k 列列 位于这些位于这些行行 列列 交叉处交叉

4、处 的的 k2 个元素个元素 不改变它们在不改变它们在A中所中所 处的位置次序而得的处的位置次序而得的k阶行列式阶行列式 称为矩阵称为矩阵A的的k阶子式阶子式. . 故故r(A) =0 A=O规定规定 等于等于0. .零矩阵的秩零矩阵的秩 矩阵矩阵A的秩，的秩，记作记作 r(A) 或或 R(A)或或 rank(A)或或 秩秩(A) . . 定义定义2 设在设在m n矩阵矩阵A中中有一个有一个不等于零的不等于零的r阶子式阶子式 D 且且所有所有r 1阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话)全等于全等于0 那么数那么数 r 称为称为 矩阵矩阵A的秩的秩 D 称为矩阵称为矩阵A的的最高阶非零子式最高

5、阶非零子式. . 2 2、矩阵的秩、矩阵的秩 提示提示 例例1和例和例2综合综合 求矩阵求矩阵A和和B的秩的秩 其中其中 174 532 321 A 00000 34000 52130 23012 B. 在在A中中 容易看出一容易看出一 个个2阶子式阶子式 01 32 21 A的的3阶子式只有一个阶子式只有一个|A| 经计经计 算可知算可知|A| 0 因此因此r(A) 2. . 解解 以以3个非零行的首个非零行的首 非零元为对角元的非零元为对角元的3阶子式阶子式 400 230 312 是一个上三角行列式是一个上三角行列式 它显然它显然 =24不等于不等于0 因此因此r(B) 3. . B是一

6、个有是一个有3个非零行的个非零行的 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 其所有其所有4阶子阶子 式全为零式全为零. . 对于对于行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 它它的的 秩秩就等于就等于非零行的行数非零行的行数. . 3 3、矩阵的秩的性质、矩阵的秩的性质 (1)若矩阵若矩阵A中中有某个有某个 s 阶子式不为阶子式不为0 则则r(A) s 若若A中中所有所有 t 阶子式全为阶子式全为0 则则r(A) t. . (2) 若若A为为m n矩阵矩阵 则则 0 r(A) minm n. . r(Am n) minm n (4)对于对于n阶矩阵阶矩阵A 当当|A| 0时时 r(A) n 当当|A| 0时时 r(A) n

7、. . 可逆矩阵可逆矩阵(非奇异矩阵非奇异矩阵),又称为又称为满秩矩阵满秩矩阵 不可逆矩阵不可逆矩阵(奇异矩阵奇异矩阵),又称为又称为降秩矩阵降秩矩阵. . 可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵。可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵。 (3) r(A) r(AT)， 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 在秩是在秩是r 的矩阵中的矩阵中,有没有等于有没有等于0的的r 1阶子式阶子式? 有没有等于有没有等于0的的 r 阶子式阶子式? 解答：解答：可能有可能有 . 0100 0010 0001 A 00 00 010 001 000 例如例如 r(A) 3. . 是等

8、于是等于0的的2阶子式阶子式 是等于是等于0的的3阶子式阶子式. . 补充例补充例3 v定理定理1 若若A与与B等价等价 则则 r(A) r(B). . 根据这一定理根据这一定理 为求矩阵的秩为求矩阵的秩 只要把矩阵用只要把矩阵用初等初等(行行)变换变换变成变成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中行阶梯形矩阵中非零行的行数非零行的行数即是即是该矩阵的秩该矩阵的秩. . 二、矩阵的秩的求法二、矩阵的秩的求法 问题问题：经过初等变换后，矩阵的秩：经过初等变换后，矩阵的秩 变变 吗？吗？ 任何矩阵都可以经过任何矩阵都可以经过初等行变换初等行变换变成变成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵。 即初等变换不改变

9、矩阵的秩即初等变换不改变矩阵的秩 . 因为因为 解解 41461 35102 16323 05023 A 例例4 求矩阵求矩阵A的秩的秩 并求并求A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式 其中其中 41461 35102 16323 05023 A. 所以所以r(A) 3. . 为求为求A的最高阶非零子式的最高阶非零子式 考虑由考虑由A的的 1、2、4 列列构成的构成的 矩阵矩阵 161 502 623 523 0 A. 又因又因A0的子式的子式 0 502 623 523 所以所以这个子式是这个子式是A的最高阶非的最高阶非 零子式零子式. . 00000 84000 11340 4146

10、1 行变换行变换 161 041 004 000 可见可见r(A0 )3, 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 例例5 即即AB与与B等价等价 例例6 小结小结 (2)(2)初等变换法初等变换法 1. 1. 矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念 2. 2. 求矩阵的秩的方法求矩阵的秩的方法 (1)(1)定义法定义法 把矩阵用把矩阵用初等行变换初等行变换化为化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵中中非零行的行数非零行的行数就是矩阵的秩就是矩阵的秩. . 寻找矩阵中非零子式的最高阶数寻找矩阵中非零子式的最高阶数; ; P67:31练习题练习题 P67:31,32 11 11 11 x AxA x

11、31.设三阶矩阵，试求矩阵 的秩. P67:31练习题练习题 P67:31,32 11 11 11 x AxA x 31.设三阶矩阵，试求矩阵 的秩. P67:31练习题练习题 P67:31,32 11 11 11 x AxA x 31.设三阶矩阵，试求矩阵 的秩. 继续讨论继续讨论x的值的变化对矩阵的值的变化对矩阵A的秩的影响，结果同解法一。的秩的影响，结果同解法一。 P67:32 练习题练习题 P67:31,32 1231 212 5 40113 1104 2025 k AAAk 32.设 为的矩阵，且 的秩为3，求 . P67:32 练习题练习题 P67:31,32 1231 212 5

12、 40113 1104 2025 k AAAk 32.设 为的矩阵，且 的秩为3，求 . 111214 212224 313234 414244 -1 2 D= 0 1 aaa aaa aaa aaa 1 32 34 3 ( 1) ( 1)52 ( 1)30 1 ( 1)4 15 D 解： P21 ,2 P21 ,5(3) 1+1 -（1） 1 11 2 n-1n-1 1 2-1 1 2 n+1 .000.00 . =( 1)y ( 1) 00.00. 00.00.0 .00 . =+( 1)( 1) . 0. =+( 1) nn n nn xyy x xyxy xyx y xyy xy xy

13、 原式 P21 ,5(3) 习题习题1-5, P25 :51-5, P25 :5 (4) P40:3(3)、(4), (3) 4 P40-4 6 P40-6 113112 2123213 3123323 123123 23 232,2, 453 xyyyzz xyyyyzz xyyyyzz zzzxxx 已知两个线性变换 求 ， ， 到 ， ， 的线性变换. 作业：作业：P46:1(1),7(1)P46:1(1),7(1)；P66:18P66:18 P46:1(1), 7(1) 033 110 ,2 ,. 123 AABABB 设求 容易出错容易出错 P66:18 1 1 5.AAA 可逆矩阵性质（ ）若矩阵 可逆，则 1 * 1 ,32. 2 AAAAA 若三阶矩阵 的伴随矩阵为已知求 P66:22 84 34 43