《定积分的概念》课件选修2-2

1、1.5定积分的概念 15.1曲边梯形的面积 15.2汽车行驶的路程 15.3定积分的概念 【课标要求】 1了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法 2会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 3了解定积分的概念 4了解定积分的几何意义和性质 【核心扫描】 1“以直代曲”、“以不变代变”的思想的考查(热点) 2学会求定积分(重难点) 自学导引 1连续函数 如果函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线， 那么就把它称为区间I上的 函数 连续 2曲边梯形的面积 (1)求曲边梯形面积的思想：如图所示，我们求yf(x)与x轴 所围成的在区间0,1上的曲边梯形的面积，我们可以采用分割， 以直代曲

2、、作和，逼近的思想方法求出其面积 即把区间0,1分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲 边梯形对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用 的面积近似 代替 的面积，得到每个 面积的近似值， 对这些近似值求和，就得到 面积的近似值可以想象， 随着拆分越来越细，近似程度就会越来越好也即用化归为计 算 和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积 矩形 小曲边梯形小曲边梯形 曲边梯形 矩形面积 平行于x轴的直线段 3求变速直线运动的位移(路程) 如果物体做变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么也可以采 用 ， ， ， 的方法，求出它在atb 内所作的位移s. 求解方法与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变

3、”的 方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动 的路程问题即将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间 上，由于v(t)的变化很小，可以认为汽车近似于做匀速直线运 动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和 得s的近似值，最后让n趋向于无穷大就得到s的精确值 分割近似代替求和 取极限 想一想：求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎 样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？ 提示为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小 曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到 的面积的误差越小 定积分 积分下限 积分上限 积分区间 被积函数 积分变量 被

4、积式 直线xa xb y0 6定积分的性质 名师点睛 1求曲边梯形面积 (1)曲边梯形：由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围 成的图形称为曲边梯形(如图) (2)求曲边梯形面积的方法与步骤： 分割：把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分 为一些小曲边梯形(如图)； 近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面 积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近 似值(如图)； 求和：把近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； 取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面 积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积 3正确理解定积分的概念 (1)求汽

5、车行驶的路程实际上也是求时间速度坐标系中的曲边 梯形的面积，“以直代曲”，“以不变代变”，近似值代替精 确值求和，无限细分逼近精确值的思想方法是它们共同的本质 特征，定积分的概念就是从这一共同的本质特征抽象提炼出来 的，这样我们就更容易理解定积分的几何意义和物理意义 (2)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分 的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即 (称为积分形式的不变性)， 另外定积分 与积分区间a，b息息相关，不同的积 分区间，所得的值也就不同，例如 的值就不同 题型一求曲边梯形的面积 【例1】 求抛物线f(x)1x2与直线x0，x1，y0所围成的曲 边梯形的

6、面积S. 思路探索 要求这个曲边梯形的面积，可以按分割，近似代 替、求和、取极限四个步骤进行 分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四 个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点： 思想：以直代曲；步骤：化整为零以直代曲积零为整 无限逼近；关键：以直代曲；结果：分割越细，面积越精 确 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲 边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题 转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、 取极限 题型三利用定积分定义计算定积分 【例3】 利用定积分定义计算 (1x)dx的值 思路探索 将区间1,2等分为n个小区间，然后用小矩形的

7、面 积近似替代小梯形的面积，再求其和，最后对其和取极限即 得所求定积分 (1)利用定积分的定义计算定积分的值能加深对定积分 的概念及其几何意义的理解，用定积分的定义求定积分的步骤是： 分割，近似代替，求和，取极限(2)在每个小区间xi1， xi上对i的选取是任意的，为了计算方便，i可都取为每个小区间 的左端点(或都取为右端点) 题型四定积分几何意义的应用 【例4】 用定积分的意义求下列各式的值 【题后反思】 (1)用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤 是： 准确画出各曲线围成的平面区域； 把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没 有区域； 解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限； 根据积分的性质写出结果 (2)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以 及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常 用分割法求面积，注意分割点的准确确定 【变式4】 利用定积分的几何意义求： 方法技巧无