基本不等式全题型

1、,.题型1基本不等式正用a b 2ab11例 1： (1) 函数f(x) x(x0)值域为 _；函数f (x) x(x R)值域为_；xx(2) 函数 f(x) x21的值域为 _x2 111解析： (1) x 0 ， x 2x 2 ，f(x)( x 0) 值域为 2 ， )；xx当 x R 时， f(x)值域为 (， 2 2 ， )；1( x2 1) 1x2 1111，当且仅当x 0 时等号成立(2) x212x2 1x2 1x2 1答案： (1)2 ， ) ( ， 2 2 ， )(2)1 ， )44 (2013 镇江期中)若 x 1 ，则 x的最小值为 _x 144 1 4 1 5.当且仅

2、当 x 1 4解析： x x1 ，即 x 3 时等号成立答案： 5x 1x1x 14 例 1 (1) 已知 x 0 ，则 f (x) 2 x 的最大值为 _x4444(1) x 0 ，x 0，f(x) 2 x x 2 x.x ( x)24 4，当且仅当 x x，即 x x4x2 4 2 ，f(x)的最大值为 2.2 时等号成立 f(x) 2 x2 x例：当 x0 时，则 f(x)x 2 1的最大值为 _2 x221解析： (1) x0 ，f (x) 1 ，当且仅当x ，即 x 1 时取等号x2 112xxxx2 23 函数 y(x1) 的最小值是 _x 1解析： x1 ，x 10. yx2 2

3、x2 2 x 2 x 2x22 x 1 2x 1 3x1 2 2 x 1 3x1x1x 1x 1x1 33223 2.当且仅当 x 1 33 时，取等号答案：2 322x 1，即 x 1 x 1x 1x 1,. 210 已知 x 0 ， a 为大于 2x 的常数，求 y1 x 的最小值a2 x1a 2 x a1aaa 2时取等号 故 y 1解：y 22 2.当且仅当 x x 的最小值为 2a2 x22222a 2xa.2ab题型 2基本不等式反用ab 21例： (1) 函数 f(x) x(1 x)(0 x1) 的值域为x1 x解析： (1) 0 x0, x(1 x)2； (2) 函数 f(x)

4、 x(1 2 x)0 x 的值域为210，12 ，f(x) 值域为.44(2) 0 x0. x(1 2 x) 2x(1 2 x) 22 ，f(x) 值域为0， .2228811答案： (1)0，4(2)0 ，83 (教材习题改编 ) 已知 0 x1 ，则 x(3 3 x)取得最大值时 x 的值为 _119311解析：由 x (3 3 x) 3 x(3 3 x) ，当且仅当3 x3 3 x，即 x 时等号成立答案：3344223 函数 y x1 x 2的最大值为 _解析： x1 x2x21 x2x2 1 x212 .24 已知 0 x1 ，则 x(3 3 x)取得最大值时x 的值为()1132A

5、.B.C.D.3243x 1 x31解析 0 x0. x(3 3 x) 3x(1 x)322 .当 x 1 x，即 x 时取等号答案B4210 已知 x 0 ， a 为大于 2x 的常数，求函数yx(a 2 x) 的最大值； 0 ，2，(21(21 2xa2 xa2a解：axx) 2xx) 2，当且仅当x 时取等号，故函数xy x a2a2284a2的最大值为 .8,.题型三：利用基本不等式求最值t2 4 t12 已知 t 0 ，则函数 yt的最小值为 _t 2 4 t 11时取等号答案2解析 t0 ，y t 42 4 2 ，且在 t 1tt2 x例：当 x0 时，则 f(x) x2 1的最大

6、值为 _2 x221解析： x0 ，f(x)1 1，当且仅当x ，即 x 1 时取等号x2 12xxx1 x(x 3) 的最小值； (2) 求函数 f(x)x2 3 x 1例 1： (1) 求函数 f(x)(x 3) 的最小值；x 3x 3a思维突破： (1) “添项”，可通过减3 再加 3 ，利用基本不等式后可出现定值(2) “拆项”，把函数式变为y M M的形式(1) x 3 ，x 3 0.f(x)11 3 5.当且仅当1 (x 3) 32 x3 x 3 ，即 x 4 时取等x 3x 3x 3号，f (x)的最小值是 5.t 32 3 t3 111(2) 令 x 3 t，则 x t3 ，且

7、 t 0.f( x)t t 3 2t 3 5.tt1x 4，当 x 4 时， f(x )有最小值为 5.当且仅当 t ，即 t 1 时取等号，此时tcx2 dx f技巧总结：当式子不具备“定值”条件时，常通过“添项”达到目的；形如y(a0，c0) 的函数，一ax bpt 的取值范围；般可通过配凑或变量替换等价变形化为y t (p 为常数 )型函数，要注意t例：设 x 1，求函数 y x4 6 的最小值；x 146 x 1 4x144解：x 1 ，x 10. y x 52 5 9 ，当且仅当 x 1，x1x 1x 1x 1即 x 1 时，取等号当 x 1时，函数 y 的最小值是 9.1 若 x0

8、 ， y0 ，且 xy 18 ，则 xy 的最大值是 _,.由于 x0 ， y0 ，则 x y2xy2 81 ，当且仅当 xy 9 时， xy 取到最大值解析xy ，所以 xy 81. 答案2815 已知 x， y R，且满足xy 1 ，则 xy 的最大值为34xyxyxy解析x0 ，y 0 且 1 2，xy3.当且仅当 时取等号答案33412346 (2013 大连期中)已知 x， y 为正实数，且满足4 x 3y 12 ，则 xy 的最大值为 _4 x 3 y ，3x ，解析： 12 4 x 3y 24x3y，xy 3.当且仅当即2时 xy 取得最大值3.答案： 34 x 3 y 12 ，

9、y 22 已知 m 0 ， n0 ，且 mn 81 ，则 m n 的最小值为 _解析：m0 ，n0 ，n2mn 18. 当且仅当mn 9 时，等号成立答案： 18m255 已知 x 0， y 0 ， lg x lg y 1 ，则 z 的最小值为 _xylg x lg251025min 2 ，当且仅当 2 y 5 x 时取等解析：由已知条件y 1 ，可得 xy 10. 则 22，故yxyxyx号又 xy 10 ，即 x2 ，y 5 时等号成立答案：2(2012 天津高考)已知 log 2 alog2 b1 ，则 3 a 9b 的最小值为 _a2 b解析：由 log 2a log 2b 1得 lo

10、g2 (ab )1，即 ab 2 ，3 a 9 b 3 a 32 b2 3( 当且仅当3a 3 2b，即 a 2b2时取等号 )a 2 b22 ab 4( 当且仅当a2 b 时取等号 )，3 a9 b 23 2 18. 即当 a2 b 时， 3 a 9b 有最小值 18.3 设 x， y R， a1 ， b 1 ，若 ax b y 3 ， a b 2113，则 的最大值为 ()xy31A2 B.C1 D.2211解析由 axb y 3，得： x log a3， y log b3，由 a1 ， b 1 知 x0 ，y 0 ， log 3 alog 3 b log 3 ab xylog 3a b3

11、 时“”成立，则11为1.答案C2 1 ，当且仅当 a b x 的最大值2y11 4 y 2 的最小值为 _6 (2011 湖南)设 x， y R，且 xy 0 ，则 x2 y2x2,.11 4y 2 5 1 4 x2 y 25 211解析x2x24x2 y2 9 ，当且仅当 x2 y2 时“”成立答案9y2x2y 2x2 y22例：若正数 x， y 满足 x3 y 5xy ，求 xy 的最小值解：x 0 ， y 0，则 5 xy x 3y21212x3y，xy，当且仅当 x 3 y 时取等号 xy 的最小值为.25254 若正实数 x，y 满足 2 x y 6 xy，则 xy 的最小值是 _

12、答案18解析由 x0 ， y0,2 x y 6 xy，得xy 22 xy 6( 当且仅当2 xy 时，取“” )，即 (xy )2 2 2 xy 60 ，( xy 32) ( xy2) 0.又xy0 ， xy 32，即 xy18.xy 的最小值为 18.例：已知 x0 ， y0 ， x2y 2 xy 8 ，则 x 2 y 的最小值是()911A 3B 4C.D.22解析依题意，得 (x 1)(2 y 1) 9 ，(x 1) (2 y 1) 2x12 y 1 6，即 x 2 y4.x 1 2 y 1 ，x2 ，当且仅当即时等号成立x 2y 2 xy 8 ，y 1x 2 y 的最小值是4.3若 x

13、，y (0 ， )， x 2 y xy 30.(1) 求 xy 的取值范围；(2) 求 xy 的取值范围解：由 x 2 y xy 30 ， (2 x)y30 x，30 x则 2 x0 ，y 0,0 x 30.2 x x2 30 x(1) xyx 2 x2 2 x 32 x 64 64x 2 x64 32x2,.x 26434 18 ，当且仅当 x6 时取等号，x 2因此 xy 的取值范围是 (0,18 (2) x y x30 x322 x x 1x 232x42 2，x y x 232330，因 x 2 3 82 3 ，当且仅当时，等号成立，又xx 2y 42 12此 x y 的取值范围是 8

14、2 3,30) 例：已知 a b 0 ，则 a216的最小值是 _a bb解析： a b 0 ，b(a b) b a ba222 ，4当且仅当 a2 b 时等号成立a2 1616a264a2 baba2a24264 16 ，当且仅当 a 22 时等号成立a2 a2当 a2 2， b 2 时， a2 16取得最小值 16.ba b8设 x，y， z 为正实数，满足y 2的最小值是 _x2 y 3 z0 ，则xzx3 z解析：由已知条件可得y ，2y 2x2 9 z2 6 xz所以xz4 xz1x9z 64zx1 x 9 z 2 63，4 z xy2当且仅当 x y 3 z 时，取得最小值3.xz

15、答案： 3,.例：已知 x 0 ， y 0 ， xy x 2y，若 xym 2 恒成立，则实数m 的最大值是 _解析：由 x 0 ， y 0 ， xy x 2y22 xy ，得 xy 8 ，于是由 m 2 xy 恒成立，得 m 2 8，即 m 10.故 m 的最大值为 10.1已知正数x，y满足x 22 ()恒成立，则实数的最小值为 _xy xyx 22xy (2y) 2(xyx 22 xy2( 当且仅当x 2yx 2 2xy解析：依题意得)，即时取等号 )，即xxx yx yx 22 xy的最大值是 2 ；又 ，因此有 2 ，即 的最小值是 2.x y答案： 21已知关于 x 的不等式27

16、在 x (a， )上恒成立，则实数a 的最小值为 _2 xx a22( x a)22解析：因为 x a，所以 2 x 2 a22 x a 2 a 2 a 4 ，即 2 a4 7 ，x ax ax a33所以 a ，即 a 的最小值为 .223答案：25 圆 x2 y 2 2 x 4 y 1 0 关于直线2 ax by 2 0 ( a， b R)对称，则ab 的取值范围是()1111A. ，4B. 0，C. ，0D. ，444答案Aab21解析由题可知直线2 ax by 2 0 过圆心 (1,2) ，故可得 a b 1 ，又因 ab (a b 时取等号 )24故 ab 的取值范围是1， .4分)

17、已知 a、 b 均为正实数，且11典例： (12a b 1，求 y ab 的最小值ab易错分析在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到审题视角(1) 求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件 (2) 可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围规范解答11解 方法一 y a b ab,.1ba1 ab ab 2ababab11ab ab2 4 ab 3 ab 2ab241a b2325ab 3 4 2.10 分 ab22411125当且仅当 a b 时， yab 取最小值，最小值为.12 分 2

18、ab4111ab方法二y ab ab ababba ab 1 a2 b 21a b2 2 abab abababab2分 ab 2.8ab令 t ab a b1122 ，即 t 0 ， .4420 ，110 分又 f(t) t 在上是单调递减的，t41331当 t 时， f (t )min ，此时， a b .442125.12 分 当 ab 时， y 有最小值24温馨提醒(1) 这类题目考生总感到比较容易下手但是解这类题目却又常常出错(2) 利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错(3) 本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等

19、号成立的条件.方法与技巧1 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数 (式 )的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点2 恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形比如：(1) 当 x2时， x11 (x 2) 222 4.x 2x 2(2)081x0 ， y0 ，且 2 xy1 ，则 的最小值是xy答案81212解析因为 (2 x y)xyxyy4 xy 4 x114 4 2 8，等号当且仅当 y ， x时成立xyx y2411例：已知 x 0 ， y0 ，且 2 x y

20、1 ，则 的最小值为 _；xy解析x0 ， y0 ，且 2 x y 1 ，1 1 2 x y 2 x yx y xyy 2 x3 322.xyy 2 x当且仅当 x y 时，取等号91例：已知 x 0 ， y 0 ，且 1 ，求 x y 的最小值xy91思维突破：“整体代换” ，将 1 用 代替，则 x y (x y) x y91解析： 1，xy,.9 1 ，再化简，用基本不等式求解x y919 yx9 y xx y (x y )10 10 2 16.xyxyx y9 y x 9 1当且仅当 且 1 ，即 x 12 ， y 4时取等号xyxy当 x 12 ， y 4 时， xy 有最小值为16

21、.总结：已知条件与“1 ”有关，常利用“1 ”进行整体代换，转化为能使积为定值的形式116 1 ，求 x y 的最小值例：已知 x， y 为正实数，且xy116解析： 1 ，xy11616 xyx y (x y )17 xyyx17216 x yy 25.x16 xy116当且仅当 且 1 时，等号成立yxxyx 5 ， y 20 时， x y 有最小值 25.4 (2012 浙江)若正数 x， y 满足 x 3y 5 xy ，则 3 x 4y 的最小值是 ()2428A.B.C 5D 655答案C113 1.解析 x0 ， y0 ，由 x 3y 5 xy 得x5y1133 x 4 y (3

22、x 4y )5yx1 3 x12 y49x5y,.1313 x12 y1313 x 12 yy 255x55y x 5( 当且仅当x 2 y 时取等号 )，3 x 4 y 的最小值为5.1911 (2013 泉州模拟) 正数 x， y 满足 1.xy(1) 求 xy 的最小值；(2) 求 x2 y 的最小值191 919解： (1)由 1 2得 xy36 ，当且仅当，即 y 9x 18 时取等号，故 xy 的最小值为 36.xyx yxy1 92 y 9x2 y 9 x2 ，当且仅当2 y 9 x(2) 由题意可得 x2 y (x 2 y) 1919 2x 196，即 9 x2xyxyyxy 2 y2 时取等号，故x 2 y 的最小值为19 62.3 函数 y log a(x 3) 1 ( a0 ，且 a1) 的图像恒过定点A，若点 A 在直线 mx ny 1 0 上，其中 m ， n 均12大于 0 ，则 m n的最小值为()A 2B 4C8D16答案C解析点 A( 2， 1)，所以2m n 1.1212n4m11所以 m n (2 m n) m 4 m n8 ，当且仅当 n 2m ，即 m