多维随机变量及其分布

1、第二节 多维随机变量 及其分布(1) 一一、n 维随机变量及其分布函数维随机变量及其分布函数 第二章 三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量 二二、二维离散型随机变量二维离散型随机变量 四、两个常用的分布四、两个常用的分布 五、内容小结五、内容小结 1. n 维随机向量维随机向量 设随机试验设随机试验E的样本空间为的样本空间为 ， X= (X1 , X2 , ，Xn) 为为n 维随机变量，亦称维随机变量，亦称n 维随机向量维随机向量. 称它们构成的向量称它们构成的向量是定义在是定义在 上的上的n 个随机变量，个随机变量， 一、一、n 维随机变量及其分布维随机变量及其分布 定义定义 X1,

2、 X2, ,Xn 图示图示 e )(eY )(eX . ),( ,)()( , 量量或或二二维维随随机机变变量量 叫叫作作二二维维随随机机向向由由它它们们构构成成的的一一个个向向量量 上上的的随随机机变变量量是是定定义义在在和和设设 它它的的样样本本空空间间是是是是一一个个随随机机试试验验设设 YX eYYeXX eE 二维随机变量二维随机变量 定义定义 2. n 维随机向量的分布函数维随机向量的分布函数 定义定义 设设 X=( X1 , X2 , ，Xn )是是n 维随机向量，维随机向量， x1 ，x2 , , xn 是是n个任意实数，函数个任意实数，函数 ,),( 221121nnn xX

3、xXxXPxxxF 称为随机向量称为随机向量( X1 , X2 , ，Xn ) 的分布函数或联合的分布函数或联合 分布函数分布函数. 其中其中 )(: 1 n i ii xX , 2211nn xXxXxX 注注1 当当n=2时，二维分布函数时，二维分布函数 F(x, y)表示表示 随机点随机点 (X ,Y)落在平面区域落在平面区域 ,(,(yxD ,),(yvxuvu 内的概率内的概率. x y O ),(yx . 2 是整个实平面是整个实平面 二维分布函数的定义域二维分布函数的定义域 D 实例实例1 炮弹的弹着点的炮弹的弹着点的 位置位置 (X,Y) 就是一个二维就是一个二维 随机变量随机

4、变量. 二维随机变量二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与的性质不仅与X 、Y 有关有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. 实例实例2 考查某一地考查某一地 区学区学 前儿童的发育情况前儿童的发育情况 , 则儿则儿 童的身高童的身高 H 和体重和体重 W 就就 构成二维随机变量构成二维随机变量(H,W). 说明说明 3. 二维分布函数二维分布函数 F(x, y)的性质的性质 (1); 1),(0 yxF (2)为为单单调调不不减减函函数数，即即分分别别对对yxyxF,),( ),(),( 2121 yxFyxFxx 时时，当当 );,(),( 2

5、121 yxFyxFyy 时时，当当 , 0),(lim),()3( yxFyF x , 0),(lim),( yxFxF y , 0),(lim),( yxFF y x );,()0,( ),(), 0( ,),()4( yxFyxF yxFyxF yxyxF 右连续，即右连续，即分别关于分别关于 ; 1),(lim),( yxFF y x x o y y x ),( 22 yx 则则若若,)5( 2121 yyxx ),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF 0, 2121 yYyxXxP ),( 22 yxF),( 21 yxF ),( 12 yxF ),( 1

6、1 yxF 2 x 2 y ),( 12 yx x o y 1 y 1 x ),( 11 yx ),( 21 yx 证明证明, 2121 yYyxXxP , 0 , 212 yYyxXP , 22 yYxXP . 0),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF故故 , 211 yYyxXP , 12 yYxXP , 21 yYxXP , 11 yYxXP 可以证明：可以证明：一个函数若具有上述性质 一个函数若具有上述性质, 则此函数则此函数 一定是某二维随机向量的分布函数一定是某二维随机向量的分布函数. 二、二二、二 维离散型随机变量维离散型随机变量 1.1.定义定义

7、若二维随机变量若二维随机变量 (X ,Y ),其分量其分量 X，Y 均是离散型随机变量，则称均是离散型随机变量，则称 (X,Y ) 为为 二维离散型随机变量，且称其分布为二维离散型随机变量，且称其分布为 离散型分布离散型分布. 2. 分布律分布律 的的所所有有可可能能取取值值为为若若),(YX ), 2 , 1,(),( jiyx ji ), 2 , 1,(, jipyYxXP ijji 则则称称 的的分分布布律律，可可记记为为为为),(YX X Y i xxx 21 j y y y 2 1 11 p 21 p 1 i p 12 p 22 p 2i p j p1 j p2 ij p 其中其中

8、), 2, 1,(0)1( jipij 满满足足： ij p 1)2( 11 ij ij p 例例1. 221，标有数字标有数字设袋中有三个球，分别设袋中有三个球，分别 放回袋中，再从放回袋中，再从从袋中任取一球后，不从袋中任取一球后，不 解解 21，的的可可能能取取值值：X 的的可可能能取取值值：),(YX)2, 2(),1 , 2(),2, 1(),1 , 1( .),( . 的分布律及分布函数的分布律及分布函数 的数字，求的数字，求第二次取得的球上所标第二次取得的球上所标 分别表示第一，分别表示第一，以以袋中任取一球袋中任取一球 YX YX 21，的的可可能能取取值值：Y ,jYBiXA

9、 ji 设设 )2, 1,( ji 122 )()( 21221 ABPAPp 3 1 2 1 3 2 )()( 22222 ABPAPp 3 1 2 1 3 2 的的分分布布律律为为：),(YX X Y 12 1 2 0 3 1 3 1 3 1 注注. 若为有放回摸取，则若为有放回摸取，则 的的分分布布律律为为：),(YX X Y 12 1 2 9 1 9 2 9 2 9 4 21 1 2 ox y )2 , 2()2 , 1( )1 , 1()1 , 2( ,11)1(时时或或当当 yx ),(yxF ),(yxF ,21 , 21)2(时时当当 yx ,2, 21)3(时时当当 yx),

10、(yxF ,yYxXP ; 0 11 p 1211 pp ;31 下面求分布函数下面求分布函数: 1 ; 9 所以所以( X ,Y ) 的分布函数为的分布函数为 0,11, 1 , 12,2,2,12 3 ( , ) 1 , 12,12, 9 1,2,2. xy xyxy F x y xy xy 或 或 , ),( xxyy ij ij pyxF 说明说明 离散型随机变量离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为的分布函数归纳为 . , ,求求和和的的其其中中和和式式是是对对一一切切满满足足jiyyxx ji . ,),( ),(,),( dd),(),( ,),( ),(),( 的联

11、合概率密度的联合概率密度和和机变量机变量 或称为随或称为随的概率密度的概率密度称为二维随机变量称为二维随机变量 函数函数量量是连续型的二维随机变是连续型的二维随机变则称则称 有有使对于任意使对于任意如果存在非负的函数如果存在非负的函数 的分布函数的分布函数对于二维随机变量对于二维随机变量 YX YX yxpYX vuvupyxF yxyxp yxFYX yx 1.定义定义2.5 三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量 . 1),(dd),()2( Fyxyxp .dd),(),( G yxyxpGYXP .),()(01 yxp 2.性质性质 的的概概率率为为 内内落落在在点点平平面面上

12、上的的一一个个区区域域是是设设GYXxOyG),(,)3( ).,( ),( ),(),()(yxp yx yxF yxyxp 2 ,4则则有有连连续续在在若若 非常重要！非常重要！ 表示介于表示介于 p(x, y)和和 xOy 平面之间的空间区域的平面之间的空间区域的 全部体积等于全部体积等于1. G yxyxpGYXPdd),(),()2( , 1dd),( yxyxp 3.说明说明 . ),(,),( 为为顶顶面面的的柱柱体体体体积积 以以曲曲面面为为底底的的值值等等于于以以yxpzGGYXP .),(,)1(表示空间的一个曲面表示空间的一个曲面几何上几何上yxpz 例例2的的分分布布密

13、密度度为为设设),(YX 其他其他, 0 0, 0, ),( )( yxCe yxp yx );,()2()1(yxFC分分布布函函数数；常常数数求求： 0, 0:,),()3( yxDDYXP由由其其中中 解解 .1所所围围成成的的三三角角形形区区域域及及 yx (1) 由分布密度的规范性，得由分布密度的规范性，得 00 ),(),(1dydxyxpdydxyxp 00 )( 1dydxCe yx 00 dyedxeC yx 1)()( 00 CeeC yx 1 C (2) xy dvduvupyxF),(),( 其他其他, 0 ;00,),( 00 yxdvduvup xy u v O )

14、,(yx x y (3).),(),( D dydxyxpDYXP 1 yx 1 o x y D . 1 0 1 0 )( x yx dyedx 1 0 1 0 x yx dyedxe 1 0 1 0 )(dxee x yx 1 0 1 )1(dxee xx 1 0 1) (dxee x 2642. 021 1 e 1.均匀分布均匀分布 定义定义 设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为 S,若二若二 维随机变量维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度具有概率密度 则称则称( X , Y )在在 D 上服从上服从 均匀分布均匀分布. ., ,),(, ),( 其其它

15、它0 1 Dyx Syxp 四、两个常用的分布四、两个常用的分布 已知随机变量已知随机变量 ( X , Y ) 在在 D上服从均匀分布上服从均匀分布, 试求试求( X , Y )的分布密度的分布密度,其中其中D为为x 轴轴,y 轴及直线轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域所围成的三角形区域 . 解解 o 1 xy ., 0 ,),(, 2 ),( 其它其它 得得 Dyx yxp 1 1 ., 0 ,),(,1 ),( 其它其它 由由 DyxS yxp 例例3 ., 0 ,),(, 2 ),( 其它其它 或或 Dvu vup D x y u v -1 1 1 uv D O 2.二维正态分

16、布二维正态分布 若二维随机变量若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度具有概率密度 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 )()(2)( )1 ( 2 1 2 21 12 1 ),( y yx x e yxp . 11, 0, 0, 212121 且且均均为为常常数数其其中中 ),( yx 记记为为正正态态分分布布 的的二二维维服服从从参参数数为为则则称称 . ,),( 2121 YX ),(),( 2 2 2 121 NYX 二维正态分布的图形二维正态分布的图形 1. 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 .,),(yYxXPyxF 2. 二维离散型随机变量的分布律及分

17、布函数二维离散型随机变量的分布律及分布函数 , ijji pyYxXP ;, 2 , 1, ji .),( yy xx ij j i pyxF 3. 二维连续型随机变量的概率密度二维连续型随机变量的概率密度 .d),(),(vuvupyxF yx d 五、内容小结五、内容小结 解解,dd),()(11 yxyxp因因为为 1dd)6( 2 0 4 2 xyyxk所所以以; 8 1 k .4)4(;5 . 1)3( ;3, 1)2(;) 1 ( ., 0 , 42, 20),6( ),( ),( YXPXP YXPk yxyxk yxp YX 求求 求求确定常数确定常数 其它其它 具有概率密度具

18、有概率密度设二维随机变量设二维随机变量 备份题备份题 例例2-1 .)();,()( ., , ),( ),( )( XYPyxF yxe yxp YX yx 求概率求概率求分布函数求分布函数 其它其它 具有概率密度具有概率密度设二维随机变量设二维随机变量 21 0 002 2 例例2-2 解解 yx yxyxpyxFdd),(),()(1 ., 0 , 0, 0,dd2 00 )2( 其它其它 yx yx yxyxe ., 0 . 0, 0),1)(1( ),( 2 其其它它 得得 yxee yxF yx 已知随机变量已知随机变量 ( X , Y ) 在在 D上服从均匀分布上服从均匀分布,

19、试求试求( X , Y )的分布密度及分布函数的分布密度及分布函数,其中其中D为为x 轴轴, y 轴及直线轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域所围成的三角形区域 . 解解 o 1 xy ., 0 ,),(, 2 ),( 其它其它 得得 Dyx yxp 1 1 ., 0 ,),(,1 ),( 其它其它 由由 DyxS yxp 例例3 ., 0 ,),(, 2 ),( 其它其它 或或 Dvu vup D x y u v -1 1 1 uv D O ,01)1(时时或或当当 yx vuvupyxF xy dd),(),( vu xy dd0 ; 0 ,10 , 01)2(时时当当 xyx ,),( ,),(, 0),( yvxuvuD Dvuvup 其中其中 u v -1 1 1 uv D O ),(yx ),(vu ),(yx ),(vu x